2023年北师大版七下相交线垂线三线八角知识点加练习

相交线、垂线、三线八角(一）概念知识点:一、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠１=∠2邻补角443∠3与∠4有公共顶点∠３与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。∠３＋∠4=180°注意点:⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵假如∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β;反之假如∠α＝∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶假如∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α＋∠β=１80°；反之假如∠α+∠β=1８0°,则∠α与∠β不一定是邻补角。⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。二、垂线ABCABCDO符号语言记作:如图所示：AＢ⊥CＤ，垂足为O⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。三、垂线的画法:⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。注意：①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。四、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。PPABO如图，PO⊥AB,同Ｐ到直线AB的距离是PO的长。PＯ是垂线段。PＯ是点P到直线AB所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。五、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念⑴垂线与垂线段区别:垂线是一条直线,不可度量长度；垂线段是一条线段,可以度量长度。联系:具有垂直于已知直线的共同特性。(垂直的性质）⑵两点间距离与点到直线的距离区别:两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。联系:都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量;线段是一种图形，它们之间不能等同。六、三线八角1212345678如图，直线被直线所截①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方,叫做同位角(位置相同）②∠５与∠3在截线的两旁(交错)，在被截直线之间（内)，叫做内错角(位置在内且交错)③∠5与∠4在截线的同侧,在被截直线之间(内），叫做同旁内角。④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;内错角是“Z”型；同旁内角是“Ｕ”型。(二)习题练习及讲解一、选择题:1．如图所示,∠1和∠２是对顶角的图形有()A.１个B.2个C．３个Ｄ.4个2.如图１所示,三条直线AＢ,CD,EＦ相交于一点O，则∠ＡOE+∠DOB+∠ＣOＦ等于()A．１5０°Ｂ.1８0°C．２10°D.12０°（1）（2）(３)3.下列说法对的的有()①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A．1个B．2个C.3个D．4个4.如图2所示，直线AＢ和CD相交于点O,若∠AＯD与∠BOC的和为２36°,则∠AOＣ的度数为()A.6２°B.11８°Ｃ．7２°D.5９°5.如图3所示，直线Ｌ1，L2,L３相交于一点,则下列答案中,全对的一组是()A.∠1=9０°,∠2=30°,∠3=∠4=６0°；B.∠１=∠3=90°,∠2=∠4＝３０C．∠1=∠３=9０°,∠2=∠４=6０°;D.∠1＝∠3=90°，∠2=60°,∠4＝30°6、.已知OA⊥OC，∠AOB：∠ＡＯC=2：3，则∠ＢOC的度数是( ）． A.30°ﻩＢ.150° Ｃ.３0°或者说５0°ﻩD．以上答案都不对7、假如∠1与∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是(ﻩ). A.(∠1+∠2)ﻩﻩB.∠1ﻩﻩC.(∠１–∠２)ﻩD.∠28、下列说法对的的是（ ﻩ）. Ａ.两条直线相交成四个角,假如有三个角相等,那么这两条直线垂直．ﻩＢ.两条直线相交成四个角,假如有两个角相等,那么这两条直线垂直.ﻩC.两条直线相交成四个角,假如有一对对顶角互余,那么这两条直线垂直. D.两条直线相交成四个角,假如有两个角互补,那么这两条直线垂直.9、如图4-56,与∠C是同旁内角的有（ )个.ﻩA.2ﻩB.3ﻩC.４ D.510、下列说法对的的是（ ﻩ). A.在同一平面内,过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条.ﻩB．连结直线外一点和直线上任一点,使这条线段垂直于已知直线.ﻩC.作出点P到直线的距离 Ｄ.连结直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离.１１、.如图４-57,OA⊥OB,OC⊥OD,则(ﻩ). Ａ.∠AＯC＝∠AOＤﻩB.∠ＡOD=∠DOB C.∠AOC＝∠BODﻩD.以上结论都不对12.如图4-58,ＰO⊥ＯR,OQ⊥ＰR，能表达点到直线(或线段）的距离的线段有( )．A.1 Ｂ.２ﻩﻩＣ.3条ﻩﻩＤ．5条13.两条相交直线与此外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是( ）． Ａ.1ﻩB.２ C．3或２ﻩ Ｄ．1或2或31４．下列语句对的的是(ﻩ).ﻩA.相等的角为对顶角 ﻩﻩB．不相等的角一定不是对顶角ﻩC.不是对顶角的角都不相等 ﻩD.有公共顶点且和为18０°的两角 A.1 ﻩB．２ ﻩＣ．3条ﻩﻩＤ．5条二、填空题:(每小题2分，共１6分)如图４所示,AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角＿__.（４)(５）(６）2．如图4所示,若∠1=25°，则∠2=__＿___＿,∠3=__＿_＿_,∠４=__＿____.３.如图5所示,直线AB,CD,EＦ相交于点O，则∠AOD的对顶角是___＿_,∠AOC的邻补角是_____＿＿;若∠AOＣ=5０°,则∠BOD＝__＿___,∠ＣＯB=__＿___＿.4．如图6所示，已知直线AＢ，ＣＤ相交于O，ＯA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BＯＤ=＿____＿.5.对顶角的性质是_＿＿＿__＿_＿___＿_______＿_．6.如图7所示,直线AB,ＣD相交于点O,若∠1-∠２=70,则∠ＢＯＤ=__＿＿_，∠2=＿__＿.（7)（８)(９)7.如图８所示,直线AB,CD相交于点O,ＯE平分∠AOC,若∠ＡOD－∠ＤOＢ=5０°，则∠EOB=＿__.8．如图9所示,直线ＡB,CＤ相交于点O,已知∠AOC=70°,OE把∠ＢOD提成两部分,且∠BOE:∠EOD=2：3,则∠EOD=＿＿__＿___.9、如图4-49，直线ＡB,CD被EF所截,∠1=∠2,要证∠2+∠4=１80°，请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:∵直线AＢ与EF相交,∴∠1=∠３（_＿_＿＿＿___________＿___）,又∵∠1+∠4=1８0°（＿_____＿＿____＿＿____＿＿_）,∠1=∠２(已知),∴∠2＝∠３,∠2+∠4=1８0°（_＿___＿＿________＿_____）。10、.如图4-50,要证ＢO⊥OD,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据：∵AO⊥CO(已知),∴∠AＯＣ=_＿__＿___＿__＿___(＿____＿＿_＿_＿_______＿＿___＿).又∵∠COD＝4０°(已知),∴∠AOD=___＿＿_＿____＿.∵∠BOC＝∠ＡＯD＝50°（已知),∴∠BOＤ＝_____＿＿_,∴_＿_＿＿__⊥____＿__(_________________＿_____＿___＿____).1１、.通过直线外或直线上一点,有且只有＿_＿＿＿_________＿直线与已知直线垂直.12、.从直线外一点到这条直线的＿＿_________＿＿__叫做这点到直线的距离.13、直线外一点与直线上各点连结的线段中,以_____＿___＿___＿_为最短.14、如图４-5１，ＡB是一直线，ＯM为∠AOC的角平分,ON为∠BOＣ的角平分线,则OＭ,OＮ的位置关系是_＿____＿___＿____.１5、如图4－52,AＢ⊥CD于Ｏ,EF为过点O的直线,MN平分∠AOC,若∠EOＮ=1００°，那么∠ＥOＢ＝________＿______,∠BＯM＝＿_＿＿_______＿_＿_．１6、如图4－５３，直线AB,ＣD相交于O,OE平分∠AOD,FO⊥ＯD于O，∠1=4０°,则∠2=__＿__＿,∠４=____＿_.17、如图4-54,∠1的同位角是＿＿___＿__,∠1的内错角是_______＿＿,∠1的同旁内角是__＿__＿___＿.18、如图4-5５,直线截直线所得的同位角有____＿对,它是＿__＿_＿__＿＿______;内错角有______对，它们是_________＿＿＿____；同旁内角有__＿＿_对,它们是_________＿＿_＿___;对顶角有_＿__对,它们是＿＿_______＿__＿＿_＿．三、判断.1、如图4-47,其中共有4对同位角,4对内错角，4对同旁内角. ﻩﻩ(ﻩ)２、Ｏ是直线ＡＢ上一点,C,Ｄ分别在AB的两侧，且∠DOＢ=∠AOＣ,则Ｃ,O,D三点在同一条直线上. ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ（ )3、如图4－48，∠２和∠10是内错角.ﻩﻩ ﻩ ﻩ（ﻩ)4、如图4-48,∠９和∠10是同旁内角,∠1和∠7也是同旁内角． ﻩ(ﻩ)5、如图４-４８，∠1和∠3是同位角.ﻩ ﻩﻩ ﻩ ﻩ(ﻩ)6、如图4-４8,∠2和∠4是同位角. ﻩ ﻩﻩﻩ ﻩﻩ（ )7、如图4－８,∠2和∠８是对顶角.ﻩﻩﻩﻩﻩ ( )8、直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离. ﻩ （ﻩ)9、相交直线构成的四个角中若有一个角是直角,就称这两条直线互相垂直．ﻩ（ﻩ）1０、顶点相同并且相等的两个角是对顶角. ﻩ ﻩﻩ (ﻩ)四、训练平台:1、如图所示,AB,ＣＤ,EF交于点O,∠1=２0°,∠BＯC=80°,求∠2的度数．2、如图所示，L１，L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=８:１,求∠4的度数.五、提高训练：如图所示,ＡB,CD相交于点O,OE平分∠ＡOD,∠AOC=１２0°,求∠BOＤ,∠ＡＯＥ的度数.如图所示,直线AB与ＣＤ相交于点O，∠AOＣ：∠AOD=２:３，求∠BOD的度数．如图所示,直线a,b,c两两相交,∠1=2∠3,∠2=6５°,求∠４的度数.六、探索发现：若4条不同的直线相交于一点,则图中共有几对对顶角？若n条不同的直线相交

于一点呢?在一个平面内任意画出6条直线，最多可以把平面提成几个部分?n条直线呢？(三）课后练习：１、如图１,ＡC⊥ＢC，CD⊥AB,垂足为Ｄ,图中共有___个直角,它们是＿_＿__＿__＿＿__＿_＿___,图中线段＿_＿__＿_的长表达点C到AB的距离,线段__＿_＿___的长表达点Ａ到ＢC的距离.2、如图2，请你写出一组内错角：___＿_；一组同位角_____；一组同旁内角_____;(2)(2)(1）（2）(3）3、如图3，当剪子口∠AOB增大1５°时，∠ＣＯＤ增大_＿＿_______＿_。4、如图４，计划把河水引到水池Ａ中，先引AB⊥CＤ,垂足为B，然后沿ＡB开渠,能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_＿＿＿_＿__＿____＿____________＿____＿____＿＿__＿。5、如图５有一个与地面成3０°角的斜坡，,现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡所成的角α=__度角时,电线杆与地面垂直。(5)（6)6、观测图形（６),下列说法对的的个数是（)①过点Ａ有且只有一条直线AＣ垂直于直线l;②线段AC的长是点A到直线l的距离。③线段ＡB、ＡＣ、AD中，线段AC最短,根据是垂线段最短；④线段AB、AＣ、AＤ中，线段AC最短,根据是两点之间线段最短;A.1个Ｂ.2个C.3个