2017-2018学年八年级数学下册第16章二次根式学科素养思想方法（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精8-学必求其心得，业必贵于专精PAGE二次根式学科素养·思想方法一、转化思想【思想解读】转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想,是将不易解决的问题，设法变成容易解决的问题，在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题,将不熟悉的问题转化为已学过的问题的一种数学思想.【应用链接】在本章中，体现转化思想的知识点共有三个：一是把确定二次根式有意义时字母的取值范围问题转化成解不等式或不等式组的问题；二是在化简形如的二次根式时，要转化为绝对值;三是在二次根式的运算中，遇除法运算一般要转化为乘法运算后再进行求解.【典例1】（2017·贺州中考）要使代数式有意义，则x的取值范围是________。【思路点拨】根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于0,转化为不等式组进行求解。【自主解答】由题意可得:2x—1≥0,且x-1≠0，解得x≥且x≠1。答案:x≥且x≠1【变式训练】化简：(a<2).【解析】==.∵a<2,∴a-2〈0，∴==-(a—2)=2—a。二、数形结合思想【思想解读】结合具体问题，合理进行“数”与“形”的相互转换，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质；同时利用代数知识可以解决复杂的问题,简化解题的方法。【应用链接】数形结合思想在二次根式中主要体现在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值范围,然后利用二次根式的性质进行化简。【典例2】（2017·福建模拟）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简+的结果为________。导学号42684156【思路点拨】由实数a在数轴上的对应点的位置判断出a的范围,再根据二次根式的性质及绝对值的相关知识进行化简。【自主解答】根据数轴可知—1〈a<0,所以1—a〉0,所以+=1-a-a=1—2a.答案:1—2a【变式训练】实数a在数轴上的位置如图所示,则化简-=________.【分析】先根据数轴确定a及a—1的正负，再利用二次根式及绝对值的性质把二次根号及绝对值化去,化简即可。【解析】由数轴可知：a<0且a<1，所以-=—=-（a—1）-（—a)=-a+1+a=1.答案：1三、分类讨论思想【思想解读】指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决,而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一加以解决,从而使问题得到解决.注意:分类要做到不重不漏。【应用链接】分类讨论主要体现在二次根式的化简中,当二次根式中含有字母且未给出字母的取值范围时，一般需要进行分类讨论.分类的关键是根据分类的目的,找出分类的对象，分类时既不能重复，也不能遗漏.【典例3】已知=5,=3，且ab〉0,则a+b的值为(）导学号42684157A.8 B.-2 C。8或-8 D.2或-2【思路点拨】由于a,b的符号不能确定,再根据ab>0可知a,b同号,分两种情况计算a+b的值.【自主解答】选C.由=5，=3，可知a=±5,b=±3，又因为ab>0，所以a，b同号，当a〉0即a=5时,b=3,此时a+b=8;当a<0即a=—5时，b=—3，此时a+b=-8.【变式训练】化简:(x〈1且x≠0)。【分析】x2-2+=，由x〈1且x≠0并不能确定x-的符号，需分三种情况讨论：(1）0〈x<1。（2）-1≤x〈0.(3)x〈—1。【解析】==.当0〈x<1时，x—〈0,∴原式==—x.当-1≤x〈0时，x-≥0,∴原式==x—；当x〈—1时,x-<0,∴原式==—x。四、整体思想【思想解读】在数学问题中，对于有的问题可以从整体角度思考,即将局部放在整体中进行观察分析，探究问题的解决方法,从而简捷巧妙地解决问题.【应用链接】二次根式中的整体思想主要体现在与整式和分式的化简求值的综合应用上,把已知或已知变形后的式子作为一个整体，代入求值式或者求值式的化简式子中，往往可以避免局部运算带来的麻烦，达到简化计算的目的.在二次根式中，见到对称式、倒数式的求值问题请考虑使用整体代入。【典例4】已知x=-1,y=+1,求+的值导学号42684158【思路点拨】先将+进行化简，然后再计算x+y和xy的值,最后代入计算.【自主解答】+==。∵x=—1，y=+1，∴x+y=（-1）+(+1)=2，xy=(-1）（+1）=2-1=1，∴原式==6。【变式训练】已知x=3+2,y=3—2，求+—4的值。【分析】因为x=3+2,y=3-2,则有x+y=6,xy=1,再将所求代数式用x+y和xy表示出来，即可求出代数式的值。【解析】+-4==。∵x=3+2，y=3-2，∴x+y=（3+2）+(3-2)=6,xy=（3+2）(3-2