2023年中考数学考点总动员系列专题39与圆有关的角（含解析）

考点三十九：与圆有关的角聚焦考点☆温习理解一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。3、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。名师点睛☆典例分类考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.【例1】〔2023湖南张家界第3题〕如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，假设∠ACO=30°，那么∠BOC的度数是〔〕A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】D．【解析】试题分析：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．应选D．考点：圆周角定理．【点睛】此题运用了圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【举一反三】〔2023海南第12题〕如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，那么∠BOC的度数为〔〕A．25° B．50° C．60° D．80°【答案】B.考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.考点典例二、圆周角与垂径定理的关系【例2】〔2023河池第8题〕如图，⊙的直径垂直于弦，那么的大小是〔〕A．B．C.D．【答案】B.考点：圆周角定理；垂径定理.【举一反三】〔2023贵州黔东南州第5题〕如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，那么弦CD的长为〔〕A．2 B．﹣1 C． D．4【答案】A．【解析】试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=OC=1，∴CD=2OE=2，应选A．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．考点典例三圆周角与切线之间的关系【例3】〔2023贵州如故经9题〕如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，那么AD的长为〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】试题解析：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=，∴cos∠A=cos∠BOC=．又∵cos∠A=，AB=4，∴AD=．应选B．考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．【举一反三】〔2023黑龙江哈尔滨第18题〕如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．假设AE=6，OA=5，那么线段DC的长为．【答案】4.【解析】试题分析：令OC交BE于F，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AD⊥CD，∴BE∥CD，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，在Rt△ABE中，，∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4．考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理.考点典例四与圆周角有关的证明【例4】〔2023湖南怀化第23题〕如图，是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，.(1)求证：；(2)求证：是的切线.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【解析】试题分析：〔1〕根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；〔2〕连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．试题解析：〔1〕∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；〔2〕连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．【举一反三】〔2023新疆建设兵团第22题〕如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．〔1〕求证：BE是⊙O的切线；〔2〕当BE=3时，求图中阴影局部的面积．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕．【解析】试题分析：〔1〕连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE是⊙O的切线；〔2〕在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影局部的面积．试题解析：〔1〕如下图，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；课时作业☆能力提升一．选择题1．〔2023甘肃兰州第4题〕如图，在中，，点在上，，那么()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题解析：∵在⊙O中,，点D在⊙O上，∠CDB=25°，∴∠AOB=2∠CDB=50°．应选B．考点：圆周角定理．2.〔2023广西贵港第9题〕如图，是上的四个点，是的中点，是半径上任意一点，假设，那么的度数不可能是〔〕A．B．C.D．【答案】D【解析】试题解析：∵B是的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．那么不符合条件的只有85°．应选D．考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．3.〔2023山东烟台第9题〕如图，□中，，，以为直径的⊙交于点，那么弧的长为〔〕A．B．C.D．【答案】B．【解析】试题解析：连接OE，如下图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴的长=.应选：B．考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．4.〔2023新疆建设兵团第9题〕如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．假设AB=8，CD=2，那么△BCE的面积为〔〕A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A.【解析】试题解析：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，∴AC=BC=AB=4．设OA=r，那么OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC2+OC2=OA2，即42+〔r﹣2〕2=r2，解得r=5，∴AE=10，∴BE==6，∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．应选A．考点：圆周角定理；垂径定理5.〔2023江苏徐州第6题〕如图，点，在⊙上，，那么〔〕A．B．C.D．【答案】D．【解析】试题解析：根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，即∠ACB=36°，应选D．考点：圆周角定理．6.如下图，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，那么∠BOC的度数是〔〕 A． 26° B． 116° C． 128° D． 154°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．应选C．考点：圆周角定理．二．填空题1.〔2023重庆A卷第15题〕如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，那么∠ACB=．【答案】32°．【解析】试题解析：∵AO=OC，∴∠ACB=∠OAC，∵∠AOB=64°，∴∠ACB+∠OAC=64°，∴∠ACB=64°÷2=32°．考点：圆周角定理.2.〔2023甘肃庆阳第14题〕如图，△ABC内接于⊙O，假设∠OAB=32°，那么∠C=°．【答案】58°．【解析】试题解析：如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=32°，∴∠OAB=∠OAB=32°，∴∠AOB=116°，∴∠C=58°．考点：圆周角定理．3.〔2023江苏盐城第14题〕如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，假设∠ACB=70°，那么∠ADB=°．【答案】110°考点：圆周角定理.4.〔2023四川宜宾第17题〕如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，那么AD=．【答案】4.【解析】试题解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴，∴，∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD•tan60°=•=4，∴AD=BC=4．考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.含30°角的直角三角形.5.〔2023湖南株洲第15题〕如图，AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，那么∠EOM=．【答案】80°.【解析】试题分析：连接EM，∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°，∴∠EOM=2∠EAM=80°，故答案为：80°．考点：圆周角定理．6.〔2023湖北孝感第15题〕半径为的中，弦，弦，那么的度数为．【答案】150°或30°考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.等边三角形的判定与性质；4.圆周角定理.7.〔2023青海西宁第17题〕如图，四边形内接于，点在的延长线上，假设，那么______.【答案】60°【解析】试题分析：∵∠BOD=120°，∴∠A=∠BOD=60°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE=∠A=60°．考点：1.圆内接四边形的性质；2.圆周角定理．8.〔2023海南第18题〕如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，假设点M、N分别是AB、AC的中点，那么MN长的最大值是．【答案】.【解析】试题分析：根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，∴MN最大=．故答案为：．考点：三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形.三、解答题1.〔2023湖北孝感第23题〕如图，的直径弦的平分线交于过点作交延长线于点，连接〔1〕由，，围成的曲边三角形的面积是；〔2〕求证：是的切线；〔3〕求线段的长.【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析；〔3〕．试题解析：〔1〕如图，连接OD，∵AB是直径，且AB=10，∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠A