武康平-高级微观经济学05基于偏好的需求课件

Lecture5基于偏好的需求DemandBasedonPreference1TopicstobeDiscussed从效用最大化出发推导出来的消费者需求，是以消费者偏好为前提的，可称作基于偏好的需求。然而现实需求实实在在，看得见、摸得着。比如，你只需观察家庭主妇在商场购买的东西，就知道她的需求是什么。我们把现实中这种看得见、摸得着的需求叫做可观察的需求。研究消费者需求的目的，是要解释现实需求如何决定。但若基于偏好的需求与现实的需求差别很大，尤其是两种需求在性能上差异很大的话，那么基于偏好的需求就失去了意义。因此，我们需要研究基于偏好的需求的性能，看看它是否符合现实需求的特点。基于这样的考虑，本讲讨论需求的决定、需求的连续与可微性能、以及价格和收入的变动对于需求的影响等问题。需求的决定、连续性与可微性价格和收入的变动对于需求的影响：替代效应、收入效应2需求的决定、连续性与可微性

需求决定是需求分析的基础，而效用最大化理论不但明确了需求的含义，而且奠定了需求决定的基础。效用最大化理性消费者

(X

,

)

的需求是明确的、实在的：((

p,

r))(

D(

p,

r)

=

{x

(

p,

r):(y

(

p,

r))(

y

x)}

)需求可以通过边际方程加以确定，即对任何(

p,

r)，都有：(xX

)(

(xD(

p,

r))(

>

0)((u(x)

=

p)(

px

=

r))

)

将会看到，如此决定的需求集映D

:

X是上半连续的。这就是说，一阶条件(边际方程)决定上半连续的需求集映。进而在严格凸偏好下，一阶条件决定了连续的需求函数。若考虑效用最大化的二阶条件，则又将看到，二阶条件决定了可微的需求函数。需求函数的可微性是通常分析需求规律时，必不可少的一个前提。因此，效用最大化二阶条件十分重要，由此引出了效用函数的强拟凹性概念。3例1.移动通讯需求

信息技术的发展让移动通讯业在全球迅速兴起，尤其在中国，手机的使用已经十分普遍，移动通讯需求相当旺盛，该行业的竞争也迅速展开。我们来分析一下移动通讯的需求情况。假定市场上有两家公司A和B(比如联通和移动)在提供移动通讯业务，这两家公司提供的服务相同，但话费可能不同。

p1：公司A的话费(元/分种)。

p2：公司B的话费(元/分种)。x1：消费者使用公司A的网络通话的时间(分钟)。

x2：消费者使用公司B的网络通话的时间(分钟)。r：消费者准备用于支付话费的收入。这样，平面上的向量

x

=

(x1,x2)

表示消费者的通话选择：使用网络A通话

x1分钟，使用网络B通话

x2分钟。这样，消费者的消费集合便为。(一)

一阶条件决定连续需求需求的决定、连续性与可微性5(1)偏好关系的确定既然两家公司的服务完全相同，那么在不考虑价格因素的情况下，不论使用谁的网络，对消费者来说都一样。因此，消费者对移动通讯消费方案的评价可以按照通话总时间多少来确定：(x,

yX)(((x1,x2)

(

y1,y2))(x1+x2

y1+y2))。即消费者认为，移动通话的总时间越多越好。无差异曲线：x1+x2=U(0

U

<

)x

=

(x1,x2)的话费：px=p1x1+

p2

x2预算集合：

(

p,

r)={xX

:px

r}

下面来确定移动通讯需求D(

p,

r)。为此，对任何

(

p,

r)

，可按照三种情形分别讨论：p1>

p2、p1<

p2、p1=

p2。x1x20例1.移动通讯需求(一)

一阶条件决定连续需求需求的决定、连续性与可微性

(

p,

r)无差异曲线预算线X6(2)需求集合的确定x1x20例1.移动通讯需求(一)

一阶条件决定连续需求需求的决定、连续性与可微性预算线x2x2x1x100无差异曲线无差异曲线预算线D(

p,

r)D(

p,

r)D(

p,

r)XXX服务相同时，通讯价格低的公司完全占领市场。7例2.线性支出系统

消费者为了生存，需要保证一个最低消费。假定商品i的最低消费量为

i

(i

=

1,2,,)，则向量

=

(

1,

2,,

)代表生活基本需要。当收入用于生活必需后还有剩余时，为了得到更大的满足，需要进行更多的消费。那么，消费者如何把剩余收入用于增加各种商品的消费呢？下面应用消费最优化理论来分析这个问题。注意，此问题中的消费集合，价格收入空间为。假定消费者具有Cobb-Douglass形式的效用函数：这种效用函数表示的消费者偏好是连续的、无满足的、内部严格凸的，并且满足假设HU和边界最差假设。因此，消费者均衡必然在消费集合内部实现。偏好的内部严格凸性还保证了消费者均衡的唯一性，从而需求映射是确定的。(一)

一阶条件决定连续需求需求的决定、连续性与可微性9(1)效用函数的变形可对上述效用函数进变形以便于使用。第一步，采用与v

(x)等价的效用函数w(x)：

其中

i=

i

/(

1+

2++)

(i

=

1,2,,)。第二步，既然均衡在消费集合内部实现，故不必考虑边界消费，从而效用函数w(x)可以进一步变成为更简单的形式：

其中

1+

2++

=

1，

i

0

(i

=

1,2,,)。需求

x

=

(

p,

r)由边际方程u(x)

=

p&px

=

r

唯一确定。需求的决定、连续性与可微性(一)

一阶条件决定连续需求例2.线性支出系统10(2)需求函数的求解解的意义：p

是消费者必需的最小支出，pi

i

是消费者在商品

i

上的最小支出。上式说明，消费者把剩余收入r

p

按照比例

i

用于增加商品

i

的消费。线性支出：在这个需求系统中，pix

i

=

pi

i

+

i(r

p)。即消费者在商品i上的支出是各种商品的价格和收入的线性函数。鉴于线性支出的意义，人们把这个需求系统叫做线性支出系统，它在计量经济学中有重要应用。例2.线性支出系统(一)

一阶条件决定连续需求需求的决定、连续性与可微性111.二阶充分条件：效用函数强拟凹二阶必要条件并不充分，但若将其中的“半负定”改换成“负定”，则可得到效用最大化的二阶充分条件：定义(强拟凹性)

设效用函数

u(x)

二阶可微。称

u

在点

xX

处强拟凹，是指海森矩阵u(x)在切空间(x)上负定，即对任何

z(x)，z

0，

都有。称

u

是强拟凹的效用函数，是指

u

在

X

内部各点处都强拟凹。强拟凹性是关于偏好的性质，与效用函数选择无关：若

u

和

v

是等价的二阶可微效用函数，则

u

强拟凹

v

强拟凹。

这一事实的证明留作练习。

在假设HU下，若

xX

满足边际方程且u(x)

在切空间

(x)

上负定，则

x

是maxu(x)s.t.px=r的局部唯一解。二阶充分条件也叫做效用函数强拟凹，具体定义如下。(二)二阶条件决定可微需求需求的决定、连续性与可微性132.强拟凹效用函数的特点函数u(x)在点x处的加边海森矩阵H(u(x))是指下述矩阵：拟凹性定理

1

设消费集合X满足假设HC，效用函数

u(x)

弱拟凹且满足假设HU。则u(x)强拟凹当且仅当

u(x)在

X

内部严格拟凹并且对任何xX

，加边海森矩阵H(u(x))都可逆。拟凹性定理

2设效用函数

u(x)

满足假设

HU。对任何

xX

，如果

u

在点

x

处强拟凹，则对任何实数

0，矩阵

H(u(x),

)

都是可逆的。这里，矩阵

H(u(x),

)

的定义如下：(二)二阶条件决定可微需求需求的决定、连续性与可微性14假设HC+HP+HU

保证边际方程“u(x)

p

=

0

&

r

px

=

0”唯一确定了连续的需求映射

x

=

(

p,

r)，即(

p,

r)是边际方程确定的隐函数。根据隐函数存在定理，(

p,

r)是否连续可微，取决于边际方程的雅克比矩阵

J(x,

)

是否可逆。计算

J(x,

)：

3.需求函数的可微性定理(可微性)

在假设HC、HP和HU下，如果效用函数

u

强拟凹，(

p,

r)

且

x

=

(

p,

r)X

，则

在(

p,

r)附近连续可微。HC+HP+HU+内部均衡+强拟凹需求函数连续可微。

可见，只要u强拟凹，J(x,

)就可逆，这就得到下面的定理。(二)二阶条件决定可微需求需求的决定、连续性与可微性15(一)

基本矩阵方程这些变化

d

p、d

r、d

x、d

之间的关系可通过对边际等式求微分加以确定：

写成矩阵形式，即用E表示

阶单位方阵，则上式又可改写成：此式称为需求的基本矩阵等式或基本矩阵方程。

价格与收入变动对需求的影响17注意，

p

=

u(x)，。于，从而，即。

矩阵S叫做斯勒茨基矩阵，其元素

shk

叫做斯勒茨基系数。1.

Slutsky’sMatrix是从拟凹性定理2知，基本矩阵方程左边的矩阵可逆，可令：(一)

基本矩阵方程价格与收入变动对需求的影响18求解基本矩阵方程：这就得到斯勒茨基方程：

2.

Slutsky’sEquation(一)

基本矩阵方程价格与收入变动对需求的影响19(二)

变动效应分析收入效应：当商品价格不发生变化而收入发生变化时，商品的需求量明显地会受到影响。这种纯粹因收入变动而引起的需求变动，叫做收入效应。实际问题：现实中，常会遇到这样的情况：某种商品的价格没有变化，消费者收入也没有变化，该种商品的需求量却发生了变化。这是为什么呢？解释：其实，需求的这种变动一方面来自实际收入变化引起的收入效应，另一方面来自商品替代而产生的替代效应。价格变化导致消费者实际收入水平变动，产生收入效应；价格变动还引起商品贵贱情况发生相对变化，又产生替代。替代效应：扣除收入效应(即让实际收入水平不变)后，这种纯粹因商品相互替代而引起的需求变动，叫做替代效应。总效应：价格与收入变动引起的需求总变动。它等于替代效应与收入效应之和：总效应

=收入效应

+替代效应。价格与收入变动对需求的影响211.总效应根据需求变动的微分公式和导数公式，价格与收入变动的总效应可以写成：(二)

变动效应分析价格与收入变动对需求的影响dr

xdp：实际收入变动。dp——价格变动，dr——名义收入变动，xdp

——价格变动引起的实际收入变动。由此可以看出，dr

xdp

正是由价格和收入变动引起的实际收入变动。x/r：收入效应系数向量。即在价格不变的情况下，收入增加一单位所引起的各种商品需求的增加量。由此可见：价格和收入变动的收入效应为

(dr

xdp

)x/r。扣除收入效应：即让

dr

xdp

=0(实际收入不变)。当扣除收入效应后，dx=Sdp，这就是替代效应，即价格和收入变动的替代效应为

Sdp。222.收入效应(二)

变动效应分析价格与收入变动对需求的影响收入效应(dr

–

xdp)

x

/r

中有两项：dr

x

/r

和

(–

xdp)x

/r。dr

x

/r

：名义收入效应——直接由名义收入变动引起的需求变动，属于直接收入效应。(–

xdp)x

/r：价格收入效应——由价格变动引起实际收入变动，进而由实际收入变动引起的需求变动。这是一种间接收入效应，纯粹反映了价格变动的收入效应。在研究收入效应时，人们更加关注价格变动的收入效应。商品h

对

k

的价格收入效应系数：

hk

=

xk

xh

/r

——当商品k涨价一单位而其余商品价格及名义收入都不变时，价格变动对商品

h

的收入效应。即

hk

表示商品

h

的收入效应中，纯粹来自于商品

k

涨价一单位的那一部分。234.替代效应系数(二)

变动效应分析价格与收入变动对需求的影响根据上面对斯勒茨基系数s

hk的解释，我们看到：s

hk

表示纯粹由商品

k

的价格变动对商品

h

的需求产生的替代效应率，故可称为商品

h

对

k

的(价格)替代效应系数。根据需求变动的导数公式，我们有

xh

/pk

=

shk

–

xkxh

/r，即解释：xh

/pk

表示商品k涨价一单位引起的商品h的需求增加量，但这与实际收入减少

xk

个单位相伴随。若对消费者进行补偿使其实际收入不变，则需补偿

xk

个单位的收入，这引起商品h的需求增加xk

xh

/r个单位。结果，在实际收入不变的情况下，商品k涨价一单位引起的商品h的需求增加量总共为xh

/pk

+

xk

xh

/r，这一增加量本来就是shk。可见，shk

必然要与

xh

/pk

+

xk

xh

/r

相等。25(三)替代矩阵与需求变动的特点价格与收入变动对需求的影响鉴于斯勒茨基系数的意义，可把斯勒茨基矩阵

S

称作替代矩阵(替代效应系数矩阵)。注意

S

的定义

S

=

Z

及

Z

的定义：我们有：。替代效应的实际支出不变：。解释：当商品k涨价一单位时，各种商品h的替代效应分别为shk

(h

=1,2,,)。若按变化前的价格计算，即按实际收入不变的价格计算(即按不变价格计算)，替代引起了消费支出增加

，这个量为0。所以，替代效应的实际支出不变。增加的收入等于增加的支出：。解释：收入增加一单位引起支出增加，其值为1。26计算行列式：。可见，S

是奇异矩阵。(1)不可祈求替代矩阵负定(三)替代矩阵与需求变动的特点价格与收入变动对需求的影响2.半负定与反方向例3.奇异的替代矩阵事例消费集合，效用函数需求函数29(2)低档商品与吉芬商品(三)替代矩阵与需求变动的特点价格与收入变动对需求的影响2.半负定与反方向正常商品与低档商品的区分：利用需求函数xh

=

h(p,

r)来区分。xh

/r

>

0h

为正常商品；xh

/r

0h

为低档商品。低档商品价格变动的效应：xhph

=shh

xh

xhr，其中

h

为低档商品，即xh

/r

0。可见，低档商品价格变动的替代效应shh非正，收入效应xh

xhr

非负。由于

shh

0，故xhph是否小于

0

不能确定，要看

shh

与

xh

xhr

哪一个绝对值更大。若shh

xh

xhr，即替代效应的绝对值不低于收入效应，则商品

h

为普通低档商品：xhph

0，价格上涨，需求量下降。若shh

>

xh

xhr，即替代效应的绝对值低于收入效应，则商品h

为特殊低档商品——吉芬商品：xhph

>

0，价格上涨，需求量反而上升。实际中，吉芬商品极为少见。303.替代与互补(三)替代矩阵与需求变动的特点价格与收入变动对需求的影响过去，我们用需求对价格的交叉导数来判断商品之间的替代与互补：交叉导数为正即代表替代，为负则代表互补。这种办法其实不够准确，准确的做法是用替代效应系数来判断。替代品：当

shk

>

0

时，商品

h

与

k

互为替代品。互补品：当

shk

<

0

时，商品

h

与

k

互为补充品。独立品：当

shk

=

0

时，商品

h

与

k

之间相互独立。。这说明，当商品

k

涨价时，替代性支出(即

phshk>

0

的那些项之和)不低于互补性支出(即

phshk<

0

的那些项之和)。

因此，我们可以说：在消费活动中，商品之间的替代现象比互补现象更为普遍。31(四)实际收入水平不变的含义价格与收入变动对需求的影响直到目前，说实际收入水平不变，是指

dr

xdp=0。但这是一个微分等式，实际操作中不好把握。因此，需要探讨这个等式的其他含义，我们借助间接效用函数来讨论。这说明，dr

xdp=0

其实是说价格与收入变动没有改变消费者的效用水平。这样一来，“实际收入不变”就是说“效用水平不变”。进一步，若让

dp

=

0，则。可见，。321.罗伊恒等式(四)实际收入水平不变的含义价格与收入变动对需求的影响从可得到间接效用函数的导数：由此可得到一个恒等式，称为罗伊恒等式(Roy’sidentity)：罗伊恒等式的含义：当商品

h涨价一单位时，消费者实际收入减少

x