高考数学三轮冲刺压轴小题05 双重最值问题的解决策略 (解析版)

双重最值问题的解决策略一、方法综述形如求SKIPIF1<0等的问题称为“双重最值问题”．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正常数，则（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．证明：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等，即SKIPIF1<0．二、解题策略一、一元双重最值问题1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可．例1．对于a，bSKIPIF1<0R，记Max｛a，b｝=SKIPIF1<0，函数f（x）=Max｛SKIPIF1<0，SKIPIF1<0｝（xSKIPIF1<0R）的最小值是（）(A)．SKIPIF1<0(B)．1(C)．SKIPIF1<0(D)．2【答案】C【解析】f（x）=Max｛SKIPIF1<0，SKIPIF1<0｝=SKIPIF1<0故答案为SKIPIF1<0．2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值．例2．【2020河北正定一模】设函数f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0） B．[﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0） D．[﹣2，+∞）【答案】C【解析】在同一坐标系内画出三个函数y＝1﹣x，y＝x+1，y＝x2﹣1的图象，以此作出函数f（x）图象，观察最小值的位置，通过图象平移，可得a＜﹣1，且（a+2）2﹣1＞a+1，①或﹣（a+2）+1＞a2﹣1，②，解不等式即可得到所求范围．f（x）＝min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}＝，作出f（x）的图象，可得f（a+2）＞f（a）变为a＜﹣1，且（a+2）2﹣1＞a+1，①或﹣（a+2）+1＞a2﹣1，②①变为a2+3a+2＞0，解得a＜﹣2；②变为a2+a＜0，解得﹣1＜a＜0．则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．二、多元一次函数的双重最值问题1．利用不等式的性质例3．【2020江苏模拟】设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1·x2·x3·x4·x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是__________．【答案】9【解析】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时等号成立，所以最小值为SKIPIF1<02．利用绝对值不等式例4．【2020绍兴模拟】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等．3．利用均值不等式例5．设max{f(x)，g(x)}=SKIPIF1<0，若函数n(x)=x2+px+q(p，q∈R)的图象经过不同的两点（SKIPIF1<0，0）、（SKIPIF1<0，0），且存在整数n使得n<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0<n+1成立，则（）A．max{n(n)，n(n+1)}>1B．max{n(n)，n(n+1)}<1C．max{n(n)，n(n+1)}>SKIPIF1<0D．max{n(n)，n(n+1)}>SKIPIF1<0【答案】B4．利用柯西不等式例6．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由柯西不等式得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0取等，即SKIPIF1<0．5．分类讨论例7．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，=1\*GB3①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等；=2\*GB3②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等．综上，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等，即SKIPIF1<0．6．待定系数法例8．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．7．构造函数例9．【2020宜昌一模】已知二元函数f（x，θ）＝（x∈R，θ∈R），则f（x，θ）的最大值和最小值分别为？【解析】当x＝0时，f（x，θ）＝＝0，当x≠0时，f（x，θ）＝＝，令u＝，则|u|≥，即u≤﹣，或u≥，则f＝，其意义为平面上单位圆上动点（cosθ，sinθ）与（﹣u，0）点连线斜率k的倒数，∵k∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故f＝∈[﹣，]故f（x，θ）的最大值和最小值分别为，﹣，8．利用韦达定理例10．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．解：注意到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称性，故可设SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0有两个不大于SKIPIF1<0的实根，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．9．数形结合例11．【2020•绍兴二模】设函数f（x）＝min{|x﹣2|，x2，|x+2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．下列说法错误的是（）A．函数f（x）为偶函数 B．若x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x） C．若x∈R时，f（f（x））≤f（x） D．若x∈[﹣4，4]时，|f（x）﹣2|≥f（x）【答案】D【解析】在同一直角坐标系中画出y＝|x﹣2|，y＝x2，y＝|x+2|，可得f（x）＝，显然f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数；当x≥1时，f（x）＝|x﹣2|，f（x﹣2）的图象可看做f（x）的图象右移2个单位得到，显然x≥1时，f（x）的图象在f（x﹣2）图象之上，则若x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x）；若x∈R时，f（x）≥0，可令t＝f（x），由y＝f（t）和y＝t（t≥0），且y＝t在曲线y＝f（t）的上方，显然f（f（x））≤f（x）成立；若x∈[﹣4，4]，f（﹣4）＝2，f（﹣4）﹣2＝0，显然f（﹣4）＞|f（﹣4）﹣2|，则D不正确，故选：D．三、强化训练1．已知实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【解析】令SKIPIF1<0，原不等式整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边除以SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为增函数.又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0上递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.故选：B.2．已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=SKIPIF1<0，又函数g（x）=﹣2lnx+SKIPIF1<0x2+x+m．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，SKIPIF1<0] B．（﹣∞，SKIPIF1<0] C．[SKIPIF1<0） D．[SKIPIF1<0）【答案】B【解析】根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，SKIPIF1<0，

可得：当0≤x≤1时，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0，

当1＜x＜2时，f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f（x）＜1，

又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；

则在x∈[6，8）上，f（x）=23•f（x-6），则有0≤f（x）≤4，

则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，

则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0；

对于函数SKIPIF1<0，

有SKIPIF1<0，

得在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，

在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，

则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值SKIPIF1<0若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立，

必有g（x）min≤f（x）max，即SKIPIF1<0解可得SKIPIF1<0，即m的取值范围为SKIPIF1<0故选B．3．已知函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时设SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取到最小值时SKIPIF1<0（）A．0 B．1 C．2 D．SKIPIF1<0【来源】浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题【答案】A【解析】SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时设SKIPIF1<0的最大值，在端点处或最低点处取得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，最小值为2SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，最小值为4.5SKIPIF1<0，最小值SKIPIF1<0综上可得，SKIPIF1<0取到最小值时SKIPIF1<00.故选：A4．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时为SKIPIF1<0增函数,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在实数SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：D5．定义：SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两数中较小的数．例如SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若对任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【来源】湖南省常德市第二中学2020届高三下学期临考冲刺数学（文）试题【答案】C【解析】由题意可得,函数SKIPIF1<0,即函数SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图象如图所示：由图象可得,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；因为函数SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的增函数,所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.由题意知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选:C6．如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，那么SKIPIF1<0的最大值为()A．16 B．18 C．25 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0无最大值．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象开口向下，要使SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0则SKIPIF1<0而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无最大值．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图象开口向上，要使SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取“SKIPIF1<0”，此时满足SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为18.选B.7．已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得不等式SKIPIF1<0成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，令t=SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,对称轴为SKIPIF1<0，故最大值为SKIPIF1<0，即f(x)得最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，令u=sinx∈[0,SKIPIF1<0],则SKIPIF1<0,当a=