广东省汕尾市海丰县后门中学2021年高三数学理测试题含解析

广东省汕尾市海丰县后门中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则下列四个命题正确的是（）①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β．A．②④ B．①② C．③④ D．①③参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m?平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确；②如图，由图可知②不正确；③∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，又m?平面β，∴α⊥β，③正确；④由②图可知④不正确．∴正确的命题为①③．故选：D．2.在中，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.已知锐角满足，则（

）A． B． C． D．参考答案：C∵锐角满足，∴也是锐角，由三角函数的基本关系式可得，则，故选C．4.给出下列命题：①若命题“p或q为真命题，则命题p或命题q均为真命题”②命题．则，使；③已知函数是函数在R上的导数，若为偶函数，则是奇函数；④已知，则“”是“”的充分不必要条件；其中真命题的个数是（

）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B略5.在等差数列中，，则此数列前13项的和为……………（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A．

B．C． D．参考答案：【知识点】三视图求表面积.G2A

根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：,所以,所以,,,在三角形ABD中，，,,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和，故选A。【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状，然后分别求出各个面的面积，再求和即可。7.已知点，和向量a，若a//，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C根据A、B两点的坐标可得＝（3，1），∵∥，∴，解得8.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则A.

B.C.

D.参考答案：B9.设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（A．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞） B．（﹣∞，2]∪[2，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，整理得mn=m+n+1，由可求得m+n的范围．【解答】解：由直线与圆相切，可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，即=1，化简可得|m+n|=，整理得mn=m+n+1，由可知，m+n+1≤，解得m+n∈（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞），故选：A．10.函数y=x+cosx的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读右侧程序框图，则输出的数据为________.参考答案：012.已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为

．参考答案：考点：圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率．解答： 解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）∵抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，∴a2+1=4，∴a=∴e==故答案为：点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题．13.现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花种在其中的2个花盆里（每个花盆种一种花），若要求每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是

（用数字作答）参考答案：14【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出没有限制的种数，再排除三个空盆相邻的种数，问题得以解决．【解答】解：没有限制的种花种数为A52=20种，其中三个空盆相邻的情况有A33=6种，则每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是20﹣6=14种，故答案为：14．14.设F1，F2为椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，则椭圆C的方程为．参考答案：

【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件知列出a，b，c的方程，结合三角形的面积，求出a，b求出椭圆的方程．【解答】解：F1，F2为椭圆的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为的等边三角形，可得：，×=4，a2=b2+c2，解得a2=18，b2=12，c2=6．所求的椭圆方程为：．故答案为：．15.下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______________.

参考答案：3【命题立意】本题考查了程序框图的识别与应用。第一次循环有，第二次循环有，第三次循环有，第四次循环有，第五次循环有，此时不满足条件，输出,16.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则_________.参考答案：17.若，则的值为

．参考答案：14略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（2）若，求的值。参考答案：19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=AC，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是正方形．（1）求证：A1B∥平面AC1D；（2）求证：CE⊥平面AC1D．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）设A1C∩AC1=0，根据O、D分别为CA1、CB的中点，可得OD∥A1B．再利用直线和平面平行的判定定理证得A1B∥平面AC1D．（2）由题意可得三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，利用平面和平面垂直的性质可得AD⊥平面BCC1B1，可得AD⊥CE．再根据B1BCC1是正方形，D、E分别为BC、BB1的中点，证得C1D⊥CE．从而利用直线和平面垂直的判定定理证得CE⊥平面AC1D．【解答】（1）证明：设A1C∩AC1=0，则由三棱柱的性质可得O、D分别为CA1、CB的中点，∴OD∥A1B．∵A1B?平面AC1D，OD?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．（2）证明：由BB1⊥平面ABC，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∵AB=AC，∴AD⊥BC．由平面ABC⊥平面BCC1B1，AD?平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，可得AD⊥平面BCC1B1．又CE?平面BCC1B1，故有AD⊥CE．∵B1BCC1是正方形，D、E分别为BC、BB1的中点，故有C1D⊥CE．这样，CE垂直于平面AC1D内的两条相交直线AD、C1E，∴CE⊥平面AC1D．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，属于基础题．20.（14分）（2015?菏泽一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：考点：数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：综合题．分析：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出bn．（Ⅲ）=n（3n+1）=n?3n+n，所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{cn}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，bn+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n?3n+n，∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．21.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线:，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线：。（1）将曲线上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的、倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；（2）点为曲线上一点，求点到直线的距离最大值。参考答案：（1）由题意知，直线的直角坐标方程为：2x-y-6=0。设为曲线上任一点，为曲线上对应的点，依题意，所以，因为在曲线上，所以。∴曲线的参数方程为：（为参数）。（2）圆的圆心为（0,0）圆心到直线的距离为因此曲线上点P到直线的距离最大值为。22.（本小题满分14分）已知数列的相邻两项是关于的方程的两实根，且

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）是数列的前项的和．问是否存在常数，使得对都成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）证明：是关于的方程的两实根，

……2分

故数列是首项为，公比为-1的等比数列．……4分

（