广东省汕头市金堡中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

广东省汕头市金堡中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列{an}的前n项和为.若则a8=（）A.12

B.14

C.16

D.18参考答案：C根据已知可得，所以，又因为，所以，所以.2.已知函数，若数列满足，且是递减数列，则实数的取值范围是(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C3.已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若； ②若；③若； ④若.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D略4.已知集合则

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知等比数列{an}的公比q＝－，Sn为其前n项和，则＝________.参考答案：-5略6.若复数z满足（z﹣3）（1﹣3i）=10（i为虚数单位），则z的模为（）A． B．5 C．2 D．25参考答案：B【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案．【解答】解：∵（z﹣3）（1﹣3i）=10，∴z=+3=1+3i+3=4+3i，故|z|==5，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．7.复数等于

A. B. C. D.参考答案：B略8.已知数列满足，且，则的值是

(A)

(B)-5

(C)5

(D)(8)已知点落在角的终边上，且，则的值为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略9.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A把三棱锥补为长方体，则对角线为外接球直径，所以，所以外接球的表面积为，故选A．10.已知上三点，的延长线与线段AB的延长线交于外点。若的取值范围为（

）

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f(n)＝1+(n∈N*)，经计算得f(4)＞2,f(8)＞,f(16)＞3,f(32)＞,……，观察上述结果，则可归纳出一般结论为

。参考答案：12.已知集合，，则_____________．参考答案：，，所以。13.在极坐标系中，曲线和相交于点、，则

▲

．参考答案：略14.设为函数图象上一动点，记，则当最小时，点的坐标为

.参考答案：略15.已知实数、满足，则－3的最大值是____．参考答案：-116..给出下列命题,其中正确的命题是（写出所有正确命题的编号）．①在中，若,则是锐角三角形；②在中,是的充要条件；③已知非零向量，则“”是“的夹角为锐角”的充要条件；④命题“在三棱锥中，已知，若点在所在的平面内，则”的否命题为真命题；⑤函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数，

那么为恒均变函数参考答案：

①②④⑤17.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：对于任意的正整数n，不等式恒成立．参考答案：(1)(2)见证明【分析】（1）求出的导数，两次求导，分三种情况讨论，当时，当时，当时，分别求出单调区间，求得最小值，即可得到的范围；（2）对要证的不等式等价变形，可得①，且②，运用（1）中的结论，对①相当于（1）中，对②相当于（1）中，利用单调性即可得证．【详解】（1）由，得，则，①当时，，则在上递增，∴，∴在上递增，∴，∴②当时，，则在上递减，∴，∴在上递减，∴，且仅有，∴时，不等式不恒成立，③当时，令，当时，，∴在上递减，从而，∴在上递增，即，且仅有，∴时，不等式不恒成立，综上，的取值范围为：．（2）要证对，不等式恒成立，即证，即证，即证①，且②，对①相当于（1）中，有在上递减，即而且仅有，取，有成立，对②相当于（1）中，有，而且仅有，取，有成立，∴对，不等式恒成立．【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.19.已知函数f（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式f（x）＞ax只有一个正整数解，求实数a的取值范围．参考答案：(1)不等式的解集为{或};(2).试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）作出函数与的图象，由图象可知当时，不等式只有一个正整数解.试题解析：（1）当时，，解得，∴；当时，，解得，∴；当时，，解得，∴.综上，不等式的解集为或.（2）作出函数与的图象，由图象可知当时，不等式只有一个正整数解，∴.20.设数列{an}是前n项和Sn=an﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1?a2；（Ⅱ）求证：数列{an}为等比数列．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求a1?a2；（Ⅱ）根据等比数列的定义即可证明数列{an}为等比数列．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=an﹣1，∴当n=1时，a1=a1﹣1，得a1=﹣2，当n=2时，S2=a2﹣1，即a1+a2=a2﹣1，即a2=﹣1﹣a1=﹣1﹣（﹣2）=1，则a2=2，则a1?a2=﹣2×2=﹣4．（Ⅱ）证明：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣（an﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，即an=﹣an﹣1，则an=﹣an﹣1，即=﹣1，即数列{an}为公比q=﹣1的等比数列．【点评】本题主要考查等比数列的证明，利用数列的递推关系是解决本题的关键．21.在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设箱底边长为x，根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得答案．【解答】解：设箱底边长为x，则箱高为h=×（0＜x＜a），…箱子的容积为V（x）==（0＜x＜a），．

…由V′（x）==0解得x=0（舍），x=，…且当x∈（0，）时，V′（x）＞0；当x∈（，a）时，V′（x）＜0，所以函数V（x）在x=处取得极大值，…这个极大值就是函数V（x）的最大值：V（）==．…答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为．

…22.一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别是AB1、A1C1的中点．（1）求证：MN⊥AB1，MN∥平面BCC1B1；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间向量的数乘运算．【分析】（1）要证直线与直线垂直，利用空间直角坐标系，根据坐标求数量积为0即可；证线与平面平行，证明向量共线即可．（2）二面角的余弦值，利用三垂线定理，作出二面角的平面角，求解即可．【解答】（1）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=3，BC=BB1=4∴CA，CB，CC1两两垂直以C为原点，CA，CB．CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可得：C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，4，4），故M，2，2），N，0，4）∴，∴∴MN⊥AB1，∵，∴∴MN∥BC1，∵MN?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1；∴MN∥平面BCC1B1；（2）解：