广东省汕头市澄海汇璟中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省汕头市澄海汇璟中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】写出抛物线的焦点即为圆心，焦点到准线的距离即为圆的半径，可求得圆的方程.【详解】由知，焦点为，由圆与准线相切知：所以圆心为，半径为，所以圆的方程，故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的简单几何性质，圆的标准方程，属于中档题.2.已知函数，定义如下：当，（

）A有最大值1，无最小值

B．有最小值0，无最大值

C．有最小值—1，无最大值

D．无最小值，也无最大值参考答案：C3.过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的右顶点和右焦点以及渐近线方程，可得A，再由圆的性质可得|AF|=|OF|=c=2，解方程可得a，b，进而得到双曲线方程．解答： 解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），由x=a和一条渐近线y=x，可得A（a，b），以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则|AF|=|OF|=c=2，即有=2，c2=a2+b2=4，解得a=1，b=，即有双曲线的方程为x2﹣=1，故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用和圆的性质，考查运算能力，属于基础题．4.已知sin(π＋α)＝，则cosα的值为()．A．±

B.C.

D．±参考答案：D5.已知定义域为的函数是奇函数，当时，||，且对，恒有，则实数的取值范围为（

）A．[0，2]

B．[，]

C．[1，1]

D．[2，0]参考答案：B6.已知函数，则“是奇函数”是“”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B试题分析：当为奇函数时，有，得，由诱导公式得，因此，得，得不到；当时，为奇函数，因此“是奇函数”是“”的必要不充分条件,故答案为B.考点：1、奇函数的应用；2、充分条件和必要条件的判断.7.设为等差数列的前项和,,，则=

（）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，结合函数值的变化趋势可排除B，得到答案．【解答】解：∵f（x）=eln|x|+∴f（﹣x）=eln|x|﹣f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反，故函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，可排除A，D，当x→0+时，y→+∞，故排除B故选：C．9.已知，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用诱导公式可得，代入求得结果.【详解】由题意得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用诱导公式求值，属于基础题.10.有编号为1，2，…，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品为样品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出如下四个结论：①若随机变量ξ服从正态分布N（1，δ2）且P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=0.16；②?a∈R*，使得f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若命题p：?x∈R，ex＞x+1，则￢p为真命题；以上四个结论正确的是

（把你认为正确的结论都填上）．参考答案：①②③④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：①根据随机变量X服从正态分布N（1，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4），得到结果．②令g（x）=，确定其单调性，可得g（2）＜0，g（﹣1）＞0，即可得出结论；③回归直线方程中x的系数为正值时y随x的增加而增加（平均），x的系数为负值时y随x的增加而减少（平均）；④￢p：?x∈R，ex≤x+1，比如x=0时成立．解答： 解：①∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），μ=1，∴P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16．故正确；②令g（x）=，则g′（x）=，函数在（﹣∞，﹣1）、（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，又g（2）＜0，g（﹣1）＞0，故?a∈R*，使得f（x）=﹣a有三个零点，正确；③由方程y=3﹣2x得，变量x增加1个单位时，y平均减少2个单位，正确．④若命题p：?x∈R，ex＞x+1，则￢p：?x∈R，ex≤x+1，比如x=0时成立，故为真命题．故答案为：①②③④点评：本题考查正态分布，考查了回归直线方程的应用，考查命题的否定，知识综合性强．12.若函数图象的对称中心是，则正数的最小值是______.参考答案：13.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是

（结果用最简分数表示）。参考答案：三位同学从三个项目选其中两个项目有中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为。14.已知函数在区间(1,3)上有最大值，则实数a的取值范围是__________.参考答案：.15.若,则

.参考答案：16.某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有种游览选择．参考答案：13考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：从8个风景点中选两个风景点共有种方法，从中排除甲和乙两个风景点都不选的种方法，即可得答案．解答：解：从8个风景点中选两个风景点共有=28种方法，若甲和乙两个风景点都不选，共有=15种方法，故甲和乙两个风景点中至少需选一个的方法共有=28﹣15=13种，故答案为：13点评：本题考查排列组合及简单的计数原理，间接考虑是解决问题的关键，属中档题．17.

设函数，则__________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围参考答案：（Ⅰ）当时，；当时，；当时，.（Ⅱ）的范围为.试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到.联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则.所以当时，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，所以.（Ⅱ）设为在区间内一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有.解得.当时，在区间内有最小值.若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.又，故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，故在内有零点.综上可知，的取值范围是.【考点定位】导数的应用及函数的零点.19.已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且,求四边形面积的最小值．参考答案：（1）由题意得：，得，因为椭圆过点，则解得所以，所以椭圆方程为:．………………4分（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得当直线斜率存在时，设直线方程为：，与联立得，令，则，，∵，∴直线的方程为：，将直线与椭圆联立得，，令，，由弦长公式，∴四边形的面积,令，上式，所以．最小值为．………………12分20.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为.（I）求椭圆的方程；（II）坐标原点为，且满足，(i)求的取值范围；(ii)求的面积.参考答案：（I）由已知，于是

所以椭圆的方程为

…………3分

（II）设直线AB的方程为，设联立，得

----------①

…………6分

∵

……7分

=

……8分

……9分

又直线AB的斜率不存在时，所以的取值范围是.…11分

(ii)设原点到直线AB的距离为d，则.

……14分

21.（本小题满分12分）若实数满足，则称为的不动点．已知函数，其中为常数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点．求实数的值；参考答案：【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.B12【答案解析】（Ⅰ）当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，；（Ⅱ）

。解析：（Ⅰ）因，故．……1分当时，显然在上单增；………3分当时，由知或．…………5分所以，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，………6分（Ⅱ）由条件知，于是，………………8分

即，解得………………11分从而．……………12分【思路点拨】（Ⅰ）先对原函数求导，然后分类讨论即可；（Ⅱ）由条件先解出再求出b的之即可。22.已知命题p：关于x的方程有实根；命