2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1用向量方法解决平行问题练习含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE1第1课时用向量方法解决平行问题课时过关·实力提升基础巩固1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ACB1的一个法向量为()A.解析:由于直线BD1⊥平面ACB1,所以BD1是平面答案:A2设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于()A.2 B.-4 C.4 D.-2解析:∵α∥β,∴答案:C3若ABA.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内解析:∵AB=λCD+μCE,答案:D4若两个不同的平面α与β的法向量分别是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面α与平面β的关系是()A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.无法推断解析:∵a=-b,∴a∥b,∴α∥β.答案:A5若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,则能使l∥α的是()A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),u=(1,0,1)C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1) D.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)解析:∵l∥α,∴a⊥u,即a·u=0.故选D.答案:D6已知两个不同的平面α与β有公共的法向量n=(1,-1,1),则平面α,β的位置关系为.

答案:α∥β7如图,在正三棱锥S-ABC中,点O是△ABC的外心,点D是棱BC的中点,则平面ABC的一个法向量可以是,平面SAD的一个法向量可以是.

答案:OS8已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两个平行平面的法向量,则λ=.

答案:29已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.求证:MN∥平面ADD1A1.证明:以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E∵M,N分别为AE,CD1的中点,∴M∴取n=(0,1,0),明显n⊥平面A1D1DA,且MN·n=∴MN⊥n.又MN⊄平面ADD1A1∴MN∥平面ADD1A1.10如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π4,PA⊥底面ABCD,PA=2,点M为PA的中点,点N为BC的中点.AF⊥CD于点F,如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥解:由题设知,在Rt△AFD中,AF=FD=DMNPD设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=2,得n=因为MN·n=1-24,24,-1·(0,4实力提升1已知直线l的方向向量a=2,3,13,平面α的法向量为A.4 B.-解析:∵l∥α,∴a⊥n,即a·n=0,∴2×6+3λ-16=答案:B2给出下列命题:①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,且向量a与平面α共面,则a·n=0.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.0解析:①中,α与β可能重合;②中,α∥β可得到n1∥n2.答案:A3在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.BC.(1,1,1) D.(2,-2,1)解析:PA设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),则x-2=0,又1答案:A4已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=k,k+3,32,解析:①当k=0时,a与b不平行.②当k≠0时,由4k=答案:-25已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且a·n=12,n·b=14,则n=.

解析:设n=(0,y,z),由题意得解得故n=(0,-1,3).答案:(0,-1,3)6已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则αβ.(填“⊥”或“∥”)

解析:AB则n·ABn·AC又α与β不重合,故α∥β.答案:∥7在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面AMN∥平面EFBD.证法一:建立如图所示的空间直角坐标系,取MN,DB及EF的中点R,T,S,连接RA,ST,则A(2,0,0),M(1,0,4),NF∴AR∴∴MN∥EF,AR∥TS,∴MN∥平面EFBD,AR∥平面EFBD.又MN∩AR=R,∴平面AMN∥平面EFBD.证法二:由证法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N则DE设平面AMN,平面EFBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则令x1=1,得z1=又令y2=-1,得z2=∴n1=1,-2∴n2=32n1,得∴平面AMN∥平面EFBD.8★如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,求证:FH∥平面EDB.证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC.又EF⊥FB,FB∩BC=B,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.又AB∩BC=B,∴F