初中数学浙教版八年级下册第4章平行四边形 全省一等奖

第4章自我评价一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图形是中心对称图形的是(A)2．在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D等于(B)A．36°B．108°C．72°D．60°【解】设∠A＝2x，则∠B＝3x.∵∠A＋∠B＝180°，∴2x＋3x＝180°，∴x＝36°.∴∠D＝∠B＝3x＝108°.3．下列图形中，具有稳定性的有(B)(第3题)A.2个B.3个C.4个D.5个【解】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，就具有稳定性．显然具有稳定性的是②④⑤这三个，故选B.(第4题)4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O.若AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线长的和是(C)A．18B．28C．36D．46【解】∵△OCD的周长为23，即OC＋OD＋CD＝23，又∵CD＝AB＝5，∴OC＋OD＝18.∵OA＝OC，OB＝OD，∴AC＋BD＝2(OC＋OD)＝36.5．一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为(A)A.5B.6C.7D.8【解】设这个多边形的边数为n.则570°－180°<(n－2)×180°<570°，∴eq\f(25,6)<n<eq\f(31,6)，∴n＝5.(第6题)6．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝9，AD＝a，则(C)A.a≥16B.a＜2C.2＜a＜16D.a＝16【解】连结AC.(第6题解)∵AB＝3，BC＝4，∴4－3＜AC＜4＋3，即1＜AC＜7.又∵CD＝9，∴9－7＜AD＜9＋7，即2＜AD＜16.7．有下列命题：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题有(A)A．4个B．3个C．2个D．1个8．有六个等圆，按如图①②③所示的三种形状摆放，使相邻的两圆均只有一个交点，且圆心的连线(虚线)过这个交点，这些虚线分别构成正六边形、平行四边形、等边三角形，将圆心连线外侧的6个扇形(阴影部分)的面积之和分别记做S，P，Q，则(D)(第8题)A．S＞P＞QB．S＞Q＞PC．S＞P＝QD．S＝P＝Q【解】图①中所有阴影部分圆心角之和为6×360°－6×120°＝1440°；图②中所有阴影部分圆心角之和为6×360°－360°－2×180°＝1440°；图③中所有阴影部分圆心角之和为6×360°－180°－3×180°＝1440°.∴S＝P＝Q.(第9题)9．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的图形，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的点C有(D)A.4个B.6个C.8个D.10个【解】当AB是直角边时，点C共有6个位置，如解图①所示．(第9题解)当AB是斜边时，点C共有4个位置，如解图②所示．10．如图，四边形ABCD，四边形BEFD，四边形EGHD均为平行四边形，其中C，F两点分别在EF，GH上．若四边形ABCD，四边形BEFD，四边形EGHD的面积分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(D)(第10题)A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．a＝b＝c【解】连结EH.∵四边形ABCD，四边形BEFD，四边形EGHD均为平行四边形，∴S△BDC＝S△BDE＝S△DEF＝S△DEH.∵a＝2S△BDC，b＝2S△DEF，c＝2S△DEH，∴a＝b＝c.二、填空题(每小题3分，共30分)11．在▱ABCD中，若∠A＋∠C＝200°，则∠A＝100°．【解】易知∠A＝∠C，∴∠A＋∠C＝2∠A＝200°，∴∠A＝100°.(第12题)12．如图，在▱ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF.若△BEF的面积为2cm2，则▱ABCD的面积为__9__cm2【解】∵BF＝2AF，∴BF＝eq\f(2,3)AB，∴S△ABE＝eq\f(3,2)S△BEF＝3cm2.∵AE＝2EC，∴AC＝eq\f(3,2)AE.∴S△ABC＝eq\f(3,2)S△ABE＝eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2)(cm2)．∴S▱ABCD＝2S△ABC＝2×eq\f(9,2)＝9(cm2)．13．已知一个多边形有35条对角线，则这个多边形的边数为__10__．【解】eq\f(n（n－3）,2)＝35，解得n1＝－7(舍去)，n2＝10.(第14题)14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是(2，5)．【解】易知AD平行且等于BC，∴点D的纵坐标一定是5，且AD＝BC＝4，∴点D的横坐标为－2＋4＝2，∴点D的坐标为(2，5)．(第15题)15．如图，l1∥l2，AD∥BC，点E，F分别在l2，l1上，CD∶CF＝2∶1.若△CEF的面积为6，则四边形ABCD的面积为__24__．【解】设CF＝x，l1与l2之间的距离为h，则CD＝2x.∵△CEF的面积为6，∴eq\f(1,2)CF·h＝6，即eq\f(1,2)xh＝6，∴xh＝12.∵l1∥l2，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∴S▱ABCD＝CD·h＝2xh＝2×12＝24.16．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的△ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是7，3，10．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，则当N＝5，L＝14时，S＝__11__(用数值作答)．(第16题)【解】由图可知格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是7，3，10.不妨设某个格点四边形由1个小正方形组成，此时，S＝1，N＝0，L＝4.∵格点多边形的面积S＝aN＋bL＋c，∴结合图中的格点三角形ABC及多边形DEFGHI，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝4b＋c，,2＝6b＋c，,7＝3a＋10b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\f(1,2)，,c＝－1.))∴S＝N＋eq\f(1,2)L－1.将N＝5，L＝14代入，得S＝11.17．如果一个多边形的边数增加1，它的内角和增加eq\f(1,10)，那么这个多边形为__12__边形．【解】设边数为n，则eq\f(1,10)(n－2)×180°＝(n－2＋1)×180°－(n－2)×180°，解得n＝12.18．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3eq\r(3)，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为__3__．(第18题)【解】连结DN.∵E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝eq\f(1,2)DN.∴要使EF最大，只要DN最大即可．根据题意知，当点N与点B重合时，DN最大．∵∠A＝90°，AB＝3eq\r(3)，AD＝3，∴DN＝DB＝eq\r(（3\r(3)）2＋32)＝6，此时，EF＝eq\f(1,2)DN＝3.19．在▱ABCD中，AC，BD交于点O，若AB＝6，AC＝8，则BD的取值范围是4<BD<20．【解】∵6－4<BO<6＋4，∴2<BO<10，∴4<BD<20.(第20题)20．如图，在▱ABCD中，AD＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为__eq\r(3)__．【解】连结BD，DE，PD，可证得△ADC≌△ABC，∴▱ABCD关于AC对称．∴PE＋PB＝PE＋PD，故PE＋PB的最小值为DE.可证△ABD为等边三角形，据“三线合一”可证DE⊥AB，由勾股定理可得DE＝eq\r(3).三、解答题(共40分)21．(6分)如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF，连结DF，EF.求证：四边形DAEF是平行四边形．(第21题)【解】∵△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∠ABD＝∠CBF，∴∠DBF＝∠ABC.∴△DBF≌△ABC(SAS)．∴DF＝AC.∵AC＝AE，∴DF＝AE.同理，AD＝EF.∴四边形DAEF是平行四边形．(第22题)22．(6分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：(1)BE⊥AC.(2)EG＝EF.【解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2BO，AD＝BC.又∵BD＝2AD，∴BO＝BC.又∵E是OC的中点，∴BE⊥AC(三线合一)．(2)由(1)知∠AEB＝90°，又∵G是AB的中点，∴EG＝eq\f(1,2)AB.∵E，F分别是OC，OD的中点，∴EF是△OCD的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.∴EG＝EF.23．(8分)如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，CD＝BC，点E，F分别在AB和BC上，且∠EDF＝60°.(1)求证：AE＝BF.(2)若∠ADE＝15°，试求∠BFD的度数．(第23题)【解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠C＝∠A＝60°.又∵BC＝CD，∴AB＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AD＝BD，∠ADB＝∠A＝60°.∵BC＝CD，∠C＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠DBF＝60°.∴∠A＝∠DBF.∵∠ADE＋∠EDB＝∠ADB＝60°，∠BDF＋∠EDB＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠BDF.又∵AD＝BD，∠A＝∠DBF，∴△ADE≌△BDF(ASA)．∴AE＝BF.(2)∵∠ADE＝15°，△ADE≌△BDF，∴∠BDF＝∠ADE＝15°.又∵∠BDC＝60°，∴∠FDC＝∠BDC－∠BDF＝45°.∵∠BFD是△DCF的外角，∴∠BFD＝∠C＋∠FDC＝105°.24．(8分)如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，(第24题)且AE＝AD，CF＝CB.求证：四边形AFCE是平行四边形．【解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ADE＝∠DAB＝60°.又∵AE＝AD，∴△ADE为等边三角形．同理，△CBF为等边三角形．∴AD＝DE，BC＝BF.∵AD＝BC，∴DE＝BF.∵AB＝CD，∴AB＋BF＝CD＋DE，即AF＝CE.又∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．25．(12分)如图，在▱ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，AN和BM交于点E，CM和DN交于点F，连结EF.(第25题)(1)当M，N分别为AD，BC的中点时，试判断四边形MENF的形状，并说明理由．(2)试探求：①当AM，BN满足什么条件时，一定有EF平行且等于eq\f(1,2)AD？并说明理由．②当AM，BN满足什么条件时，一定有四边形MENF为平行四边形？并说明理由．【解】(1)四边形MENF为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD平行且等于BC.∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝NC，MD＝BN.又∵AM∥NC，MD∥BN，∴四边形AMCN和四边形BNDM都为平行四边形，∴EN∥MF，ME∥NF，∴四边形MENF为平行四边形．(2)①当AM＝BN时，一定有EF平行且等于eq\f(1,2)AD.理由如下：