北京大附中2022-2023学年九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y22．如图，把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°后，是（）A． B． C． D．3．如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为（）A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB=1：2：4，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于()A．1：2：4 B．1：4：16 C．1：3：12 D．1：3：75．已知关于轴对称点为，则点的坐标为()A． B． C． D．6．已知抛物线，则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下 B．抛物线的对称轴是直线C．当时，的最大值为 D．抛物线与轴的交点为7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A．1．71s B．1．71s C．1．63s D．1．36s8．若点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．9．抛物线的顶点坐标是()A．(3，5) B．(-3，-5) C．(-3，5) D．(3，-5)10．下列事件中，必然事件是（）A．打开电视，正在播放宜春二套 B．抛一枚硬币，正面朝上C．明天会下雨 D．地球绕着太阳转二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图,在矩形中，在上,在矩形的内部作正方形．当,时，若直线将矩形的面积分成两部分，则的长为________.12．如图，正方形ABOC与正方形EFCD的边OC、CD均在x轴上，点F在AC边上，反比例函数的图象经过点A、E，且，则________.13．如图，在中，，，延长至点，使，则________.14．连接三角形各边中点所得的三角形面积与原三角形面积之比为：．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是______．16．如图，若内一点满足，则称点为的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知中，，，为的布罗卡尔点，若，则________．17．一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，计算出该几何体的表面积是__________．18．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形ABCD的面积是9，则k的值为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图1，是内任意一点，连接，分别以为边作（在的左侧）和（在的右侧），使得，，连接．（1）求证：；（2）如图2，交于点，若，点共线，其他条件不变，①判断四边形的形状，并说明理由；②当，，且四边形是正方形时，直接写出的长．20．（6分）我市要选拔一名教师参加省级评优课比赛：经笔试、面试，结果小潘和小丁并列第一，评委会决定通过摸球来确定人选．规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个蓝球，小潘先取出一个球，记住颜色后放回，然后小丁再取出一个球．若两次取出的球都是红球，则小潘胜出；若两次取出的球是一红一蓝，则小丁胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．21．（6分）放寒假，小明的爸爸把油箱注满油后准备驾驶汽车到距家300的学校接小明，在接到小明后立即按原路返回，已知小明爸爸汽车油箱的容积为70，请回答下列问题：（1）写出油箱注满油后，汽车能够行使的总路程与平均耗油量之间的函数关系式；（2）小明的爸爸以平均每千米耗油0.1的速度驾驶汽车到达学校，在返回时由于下雨，小明的爸爸降低了车速，此时每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油是否够回到家？如果不够用，请通过计算说明至少还需加多少油？22．（8分）如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上处放一面镜子，向后退到处，恰好在镜子中看到楼的顶部；再将镜子放到处，然后后退到处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部（在同一条直线上），测得，如果小明眼睛距地面高度，为，试确定楼的高度．23．（8分）试证明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程.24．（8分）在直角坐标平面内，某二次函数图象的顶点为，且经过点．（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线y=-x-1与该二次函数图象的交点坐标．25．（10分）如图，的半径为，是的直径，是上一点，连接、.为劣弧的中点，过点作，垂足为，交于点，，交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）连接，若，如图2.①求的长；②图中阴影部分的面积等于_________.26．（10分）伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在市场上的销售量y（吨）与销售价x（万元）之间的函数关系为y＝-x＋2.6（1）当每吨销售价为多少万元时，销售利润为0.96万元？（2）当每吨销售价为多少万元时利润最大？并求出最大利润是多少？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】分析：直接利用反比例函数的性质分析得出答案.详解：∵点（﹣1，y1），（﹣1，y1），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，∴（﹣1，y1），（﹣1，y1）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y1．故选：D．点睛：此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．2、A【分析】根据旋转的性质判断即可.【详解】解:∵把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°，∴图形A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查的是图形的旋转，和学生的空间想象能力，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.3、B【分析】根据平行可得，∠A=∠O，据圆周角定理可得，∠C=∠O，结合外角的性质得出∠ADB=∠C+∠A=60°，可求出结果．【详解】解：∵OB∥AC，∠A=∠O，又∠C=∠O，∴∠ADB=∠C+∠A=∠O+∠O=60°，∴∠O=40°．故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质以及外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．4、C【分析】由于DE∥FG∥BC，那么△ADE△AFGABC，根据AD：AF：AB=1：2：4，可得出三个相似三角形的面积比，进而得出△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积比.【详解】设△ADE的面积为a,则△AFG和△ABC的面积分别是4a、16a;则分别是3a、12a;则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=1：3：12故选C.【点睛】本题主要考察相似三角形，解题突破口是根据平行性质推出△ADE△AFGABC.5、D【分析】利用关于x轴对称的点坐标的特点即可解答.【详解】解：∵关于轴对称点为∴的坐标为（-3，-2）故答案为D.【点睛】本题考查了关于x轴对称的点坐标的特点，即识记关于x轴对称的点坐标的特点是横坐标不变，纵坐标变为相反数.6、D【分析】根据二次函数的性质对A、B进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对C进行判断；利用抛物线与轴交点坐标对D进行判断．【详解】A、a=1＞0，则抛物线的开口向上，所以A选项错误；B、抛物线的对称轴为直线x=1，所以B选项错误；C、当x=1时，有最小值为，所以C选项错误；D、当x=0时，y=-3，故抛物线与轴的交点为，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．7、D【分析】找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答.【详解】解：h=3.5t-4.9t2=-4.9（t-）2+，∵-4.9＜1∴当t=≈1.36s时，h最大．故选D.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出顶点式在解题中的作用是解题关键.8、D【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出x1，x2，x3的大小关系，本题得以解决．【详解】解：∵反比例函数（m为常数），m2+1＞0，

∴在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵点A（x1，-6），B（x2，-2），C（x3，2）在反比例函数（m为常数）的图象上，∵，

∴x2＜x1＜x3，故选：D.【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．9、C【解析】由题意根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），求出顶点坐标即可．【详解】解：∵；∴顶点坐标为：（-3，5）．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义是解决问题的关键．10、D【解析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案．【详解】解：、打开电视，正在播放宜春二套，是随机事件，故错误；、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故错误；、明天会下雨是随机事件，故错误；、地球绕着太阳转是必然事件，故正确；故选：．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．二、填空题(每小题3分,共24分)11、或【分析】分二种情形分别求解：①如图１中，延长交于，当时，直线将矩形的面积分成两部分．②如图２中，延长交于交的延长线于，当时，直线将矩形的面积分成两部分．【详解】解：如图1中，设直线交于，当时，直线将矩形的面积分成两部分．，，，．如图2中，设直线长交于交的延长线于，当时，直线将矩形的面积分成两部分，易证∴，，，，．综上所述，满足条件的的值为或．故答案为：或．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．12、6【分析】设正方形ABOC与正方形EFCD的边长分别为m，n，根据S△AOE=S梯形ACDE+S△AOC-S△ADE，可求出m2=6，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义即可求解.【详解】设正方形ABOC与正方形EFCD的边长分别为m，n，则OD=m+n，∵S△AOE=S梯形ACDE+S△AOC-S△ADE，∴，∴m2=6，∵点A在反比例函数的图象上，∴k=m2=6，故答案为：6.【点睛】本题考查了正方形的性质，割补法求图形的面积，反比例函数比例系数k的几何意义，从反比例函数（k为常数，k≠0）图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数.13、【分析】过点A作AF⊥BC于点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，目的得到直角三角形利用三角函数得△AFC三边的关系，再证明△ACF∽△DCE，利用相似三角形性质得出△DCE各边比值，从而得解.【详解】解:过点A作AF⊥BC于点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，∵，∴∠B=∠ACF，sin∠ACF==，设AF=4k，则AC=5k，CD=，由勾股定理得：FC=3k，∵∠ACF=∠DCE，∠AFC=∠DEC=90°，∴△ACF∽△DCE，∴AC：CD=CF：CE=AF：DE，即5k：=3k：CE=4k：DE，解得：CE=，DE=2k，即AE=AC+CE=5k+=，∴在Rt△AED中，DE：AE=2k：=.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数定义、相似三角形的判定与性质，解题关键是构造直角三角形.14、1：1【分析】证出DE、EF、DF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出，证出△DEF∽△CBA，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【详解】解：如图所示：∵D、E、F分别AB、AC、BC的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，∴DE=BC，EF=AB，DF=AC，∴∴△DEF∽△CBA，∴△DEF的面积：△CBA的面积=（）2=．故答案为1：1．考点：三角形中位线定理．15、【解析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．【详解】解：把代入得；把代入得，所以a的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．16、【分析】作CH⊥AB于H．首先证明，再证明△PAB∽△PBC，可得，即可求出PA、PC.【详解】解：作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，

∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，∴BC=2CH,

∴AB=2BH=2=，∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，

∴∠PAB=∠PBC，

∴△PAB∽△PBC，，∵，∴PA=，PC=,∴PA+PC=，故答案为：.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．17、【分析】根据三视图可得出该几何体为圆锥，圆锥的表面积=底面积+侧面积（侧面积将圆锥的侧面积不成曲线地展开，是一个扇形．），用字母表示就是S=πr²+πrl（其中l=母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离）．【详解】解：由题意可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为2，母线长为6，∴故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是几何体的三视图以及圆锥的表面积公式，熟记圆锥的面积公式是解此题的关键．18、1．【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，首先得出矩形EODA的面积为：4，利用矩形ABCD的面积是9，则矩形EOCB的面积为：4+9=1，再利用xy=k求出即可．【详解】过点A作AE⊥y轴于点E，∵点A在双曲线y＝上，∴矩形EODA的面积为：4，∵矩形ABCD的面积是9，∴矩形EOCB的面积为：4+9＝1，则k的值为：xy＝k＝1．故答案为1．【点睛】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出矩形EOCB的面积是解题关键．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）①四边形是矩形．理由见解析；②．【分析】（1）根据,得到,,再证,方法一:通过证明,,从而四边形是平行四边形,,所以为矩形.方法二:证明方法三:证,,．【详解】（1）∵，∴，．∴，，即．．∴．（2）①四边形是矩形．理由如下：方法一：由（1）知，．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴，．∴，，即．∴．∴．∵．∴．∴．∴．∴．∴四边形是平行四边形．∵，，点共线，∴．∴四边形是矩形．方法二：如图由（1）知，∴．∵，，点共线，∴．∴，．又∵，∴．∴．∴．∵,∴，即．∴．∵，∴，∴，，即．∴，∴．∵，，点共线，∴．∴，．∴，即．∴．∵，，∴四边形是矩形．方法三：由（1）知，．∴．∵，∴．∴．∴．由（1）知，∴．∵，，点共线，∴．∴，．又∵，∴，∴．∴．∵，∴，即．∴．∵，∴．∴四边形是矩形．②【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质以及矩形的性质.20、这个规则对双方是公平的【分析】根据树状图列出共有9种可能，两次都是红球和一红一蓝的概率是否相同，相同即公平，不同即不公平,即可判断出.【详解】解：树状图或列表对由此可知，共有9种等可能的结果，其中两红球及一红一蓝各有4种结果∵P（都是红球）=，P（1红1蓝）=∴P（都是红球）=P（1红1蓝）∴这个规则对双方是公平的【点睛】此题主要考查了用树状图求概率的方法，将实际生活中转化为数学模式是解题的关键.21、（1）；（2）不够，至少要加油20L【分析】（1）根据总路程×平均耗油量=油箱总油量求解即可；（2）先计算去时所用油量，再计算返回时用油量，与油箱中剩余油量作比较即可得出答案．【详解】解：（1）由题意可得出总路程与平均耗油量的函数关系式为：；（2）小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油不能够回到家小明爸爸去时用油量是：（）油箱剩下的油量是：（）返回每千米用油量是：（）返回时用油量是：（）.所以，油箱里的油不能够回到家，至少要加油：【点睛】本题考查的知识点是求反比例函数的解析式，比较基础，易于掌握．22、32米【分析】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，先根据镜面反射的基本性质，得出，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．【详解】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，由题意可知且、∴∴∴即：∴∴答：楼的高度为米.【点睛】本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键.23、证明见解析.【分析】由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到＞0，根据一元二次方程的定义证明结论．【详解】解：利用配方法把二次项系数变形有，∵（m+1）2≥0，∴，因为，所以不论为何值，方程是一元二次方程.【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念、配方法的应用，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键．24、（1）；（2）两个函数图象的交点坐标是和．【分析】（1）根据题意可设该二次函数的解析式为，把点代入函数解析式，求出a值，进而得出该二次函数的解析式；（2）由题意直线y=-x-1与该二次函数图象有交点得，进行求解进而分析即可.【详解】解：（1）依题意可设该二次函数的解析式为，把代入函数解析式，得，解得，故该二次函数的解析式是.