大一学科任务-高等数学期末复习提纲

考试范围

1-5章（每章最后两节不做考试要求）第一章不考的内容：用数列与函数的极限定义来证明极限存在、双曲函数不作要求。第二章：相关变化率、微分在近似计算中的应用不作要求；复合函数求导问题不超过二阶。隐函数、参数方程求导问题只要求掌握到二阶。第三章：只考第一节、第三节、第四节和第五节内容；而且柯西中值定理不作要求第四章：分部积分的递推公式形式(P193例10不做考试要求)、需要用到三角函数积化和差等比较复杂的三角函数的积分或者含有三次及以上次数的三角积分不作要求、第四节有理函数积分只要求掌握P196例2这种类型、万能公式变换不做要求(即P198例5、例6内容不作要求)。

第五章：广义积分只要求会用定义求无穷限的广义积分，无界函数的广义积分不作要求；定积分在物理上的应用不作要求，定积分在几何中的应用只考平面图形的面积及旋转体的体积(涉及极坐标的只考简单的)，求平行截面面积已知的立体的体积以及弧长不做要求。P271的积分表不作要求，P175的积分表还是需要记住自变量趋于有限值时函数的极限(不考定义)

即注意事项：（1）定义中

x→x0的过程中,

x≠x0

成立。x0y函数极限的几何解释P21

（2）极限值

与函数f(x)在x0处是否有意义无关

左极限

右极限x

仅从x0

的左侧趋于x0

，记作或记作或左极限与右极限P24x

仅从x0

的右侧趋于x0

，没有意义的点以及分段函数的交接点求极限的时候需要考虑左右极限的问题函数极限的性质P24极限唯一性若且，则A=B（1）若，则，使得有有，则设局部保号性（2）若存在，使得有，则如何算极限P50数列极限的四则运算法则P28函数极限的四则运算法则P29消除零因子=1/4=1P32

如果函数

f(x)在某个极限过程中的极限为零，那么就称f(x)是此极限过程的无穷小（量）无穷小P26

无穷小是以零为极限的函数，不是绝对值很小的固定数。但0可以作为无穷小的唯一的常数P21

无穷小与自变量的变化过程有关，如时是无穷小，但时，则不是无穷小。

同一个极限过程的两个无穷小的和或差，仍是无穷小。无穷小的性质P26推论：（1）有限个无穷小之和仍是无穷小；（2）常数与无穷小的乘积是无穷小；（3）有限个无穷小的乘积仍是无穷小。有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。P26

如果函数f(x)在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值可以无限增大，那么就称f(x)是此极限过程的无穷大（量）。

只有一种趋势包括两种趋势无穷大P27注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。无穷小和无穷大的关系P27

一般的在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。重要极限IP35公式特点：凑括号里面重要极限Ⅰ凑sin练习P355定义.或设是自变量同一变化过程中的无穷小,若则称

是比高阶的无穷小,记若则称

是比低阶的无穷小;若则称

是的同阶无穷小;若则称

是关于的k阶无穷小;若则称

是

的等价无穷小,记作定理2.

设且存在,则

P42注：在计算两个无穷小之比的极限过程中，可将分子或者分母的乘积因子(或者整体)替换为与其等价的无穷小，以简化求极限过程P42熟练记住P42页的常用等价无穷小量一、函数的连续性P44则称函数(3)可见,函数在点连续必须具备下列条件:(2)极限存在;定义:在的某邻域内有定义,设函数且(1)在点即有定义

,存在;左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型P46在点连续的等价形式总结：

初等函数考虑没有意义的那些点；

分段函数考虑没有意义的和定义域的交接点自变量的增量函数的增量◆增量的概念P42则有一般地，初等函数在其定义域内连续，所以若考虑初等函数的整体连续性可以直接说在定义域内连续，不需严格证明；而题目要求讨论(分段)函数在某点处的连续性时必须用点连续的概念来验证，即定理3.(介值定理P54

)设

且则对A

与B

之间的任一数C,一点使至少有推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.CxyoabB

零点存在定理P53

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,那么，在开区间(

a,b)内至少存在一点μ，使得o例证而第一章：极限的定义与性质如何求极限连续的定义与判定间断点的分类重点：如何求极限；函数在某点连续性的讨论如何求间断点以及间断点的分类无穷小的比较和等价无穷小的灵活运用两个重要极限连续函数在闭区间上的性质(证明题)(零点存在、介值定理

)◆导数定义的不同形式P71差商解答若要考虑某些参数取何值时函数可导，一般考虑点导数公式，特别是分段函数的交接点处必须用到点导数公式若题目需要考虑两个未知参数取何值时函数可导，要结合点导数公式并且注意到可导一定连续，特别是分段函数的交接点处必须用到点导数公式◆导数的几何意义P74MxyoT法线是过切点且与切线垂直的直线的切线方程为法线方程为◆单侧导数P73

左导数

右导数函数在点x0处可导左导数和右导数都存在，并且相等。导数的本质就是一个差商的极限例5

已知解因为所以

，从而

◆如何求导数？如果求导函数，直接用到P84页的求导公式即可如果考虑点导数(特别分段函数交接点)时要用？函数在点x0处可导左导数和右导数都存在，并且相等。◆基本导数公式P84◆函数的和差积商的求导法则P78特别推广注：和差公式可以推广到有限个函数的情形

P79◆反函数的求导法则P79例5

设，求

P80

记住反三角函数的求导公式即可◆复合函数的求导法则P81推广链式法则◆对数求导法P92对数求导法常用于幂指函数和乘、除、乘方、开方运算等函数的求导。一般地，幂指函数的求导，可用一般公式：如

规律：每四阶导数重复一次；正弦、余弦交替出现。例11解所以即思考：◆由参数方程所确定的函数的导数P90注意一阶导数也是

t的函数求由摆线的参数方程所确定的函数的二阶导数。P94解例16是t的函数◆隐函数的导数P90隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导，把y看成x的函数隐函数的求导方法——方程二阶导数就是一阶导数的求导，这时候要把y看成x的函数解将方程两边同时对x

求导，得：将上式两边再对x

求导得：注意y是x的函数，且二次导数就是一次导数的导数例14第二章：导数的定义与性质如何求导数(点导数、公式法，复合函数、隐函数、参数方程对数、幂指函数、反函数(只需记住反三角函数的求导公式即可))微分的定义和求法重点：如何求导数(点导数、公式法，复合函数、隐函数、参数方程对数、幂指函数)，包括一阶导数与二阶导数在某点处的可导性以及连续性的讨论◆罗尔定理(2)

在开区间内可导；则在内至少存在一点，使

(1)

在闭区间上连续(3)

若函数满足：推论1：如果函数f(x)在(a,b)上的导数恒为零，那么f(x)在(a,b)上是一个常数P119推论2：如果函数f(x)与函数g(x)在(a,b)内每一点处的导数都相等，那么这两个函数在(a,b)内最多相差一个常数P119构造有关的函数确定应用区间应用Lagrange定理计算导数后的等式转化为不等式例4解所以所以解题思路：例3

证明证明令而所以而所以◆洛必达法则P129若不存在也不是无穷大，则不能使用洛必达法则（3）形如的未定式

解题方法：将未定式先取自然对数、变形，再按情形（1）处理◆其它形式的未定式的定值P131例2

求极限解这是型的未定式，且当时，所以，原式适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算，P133。解令例7

求极限则所以所以◆函数单调性的判别定理P135（1）如果函数在内有，则函数在上是严格单调递增的(P7)。（2）如果函数在内有，则函数在上是严格单调递减的(P7)。设函数在上连续，在内可导，则P135的注2小结：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点(P115)；（3）判断所有驻点及一阶导数不存在的点左右两边的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。则，函数在内单调增加，在内单调减少。(一般函数时候可以考虑特殊值法)◆极值存在的第一充分条件P142设函数在点的某个邻域内可导（点可除外）则在点处取得极大值；则在点处取得极小值；则在点处无极值；小结：求函数的极值点的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点(P115)；（3）判断所有驻点及一阶导数不存在的点左右两边的符号；（4）根据第一充分条件的判别定理，确定极值点。函数的极值可疑点是驻点或导数不存在的点。◆极值存在的第二充分条件P144

注意：第二充分条件只能用于判断驻点是否为极值点，不能判断不可导点是否为极值点；一般若函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；而二导数为零的点，就需要用到其他方法求函数最值的一般步骤与方法P145（1）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及

一阶导数不存在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。◆凹凸弧的判别定理P139定理设函数在区间上具有二阶导数，在该区间上：（1）当时，曲线弧是凹的；（2）当时，曲线弧是凸的。注:P139拐点是点的坐标；驻点、极大值点、极小值点以及最值点都是指x的取值

第三章：主要介绍导数的应用：包括两个中值定理；洛必达法则单调性；极值点；凹凸性的讨论重点：中值定理或者函数单调性证明不等式或者根的存在性或者某个函数在某个内是一个常数,极值；凹凸性；最值；洛必达法则求极限定义2.在区间

I上全体原函数称为上的不定积分,其中P173若则(C为任意常数

)C

称为积分常数不可丢!例如,记作三、不定积分的性质P175先积分，后微分，形式不变；先微分，后积分，相差一个常数。（是常数）有限多个函数和差的积分等于积分的和差◆不定积分的计算方法

直接积分法、换元积分法、分部积分法第一类换元积分法第二类换元积分法P1782，3

◆第一换元法P179◆第二换元法P184注：单调、可导，且凑微分

一般地：第二类换元法主要是利用三角关系式P184化根式为三角函数的有理式，再积分。则对于令(1)下面，均假设为各对应反三角函数的主值区间。则则对于对于令令(2)(3)P18931,30

解令

则P185

求不定积分原式辅助三角形P199

求不定积分解

则令原式直接令根式为u，化根式为有理式◆一般规律令幂函数为令幂函数为两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解

注意：第一次使用分部积分公式时，u与dv可任选，但第二次使用分部积分公式时，u与dv的选择，必须与第一次的选择同类。令指数函数为拆成部分分式之和将真分式分解为部分分式之和．P195上面等式两边乘以，则故P196.

求解:

原式第四章：不定积分的定义和性质如何求不定积分P175和P187的积分公式表重点：如何求不定积分三、定积分的几何意义

P215曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和若是奇函数，则若是偶函数，则a-a◆定积分的几何意义P228-aa补充规定：◆定积分的基本性质P216若a>b时，◆定积分的基本性质P216(5).

若在[a,b]上则推论1.

若在

[a,b]

上则推论2.其中是的最小值，是的最大值。设在上连续，则在上至少有一点使（定积分之中值定理）◆定积分的基本性质P217特别地一般地P221

例4.

求解:原式例1.

求解:设在区间上连续，是它的任意一个原函数，则有◆微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式P223记作定积分的换元法要注意以下几点：P227例

定积分的换元法P228换元必须换限解原式定积分的分部积分法小结

P231

1、u与dv的选择规律，与不定积分的规律完全相同；2、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函数的函数值之差。例

定积分的分部积分法P231已积出的部分要求值解原式◆无穷区间上的广义积分假设被积函数f(x)是连续函数，则有如下定义：注意：和都存在时，

才存在。解当时，当时，若,则广义积分发散；若,则广义积分收敛于的敛散性。P237例2例2

讨论广义积分

综上所述：当时，广义积分发散；当时，广义积分收敛。◆直角坐标系下的平面图形的面积

P2411、由x=a，x=b,y=0

及

y=f(x)

所围成的平面图形的面积为2、由x=