高中数学人教A版第一章三角函数 全市获奖

2023学年黑龙江省大庆市铁人中学高一（上）期中数学试卷(B卷)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各式：①1∈{0，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2}；④{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣ D．f（x）=﹣|x|3．函数的f（x）=log3x﹣8+2x零点一定位于区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）4．sin30°+tan240°的值是（）A．﹣ B． C．﹣+ D．+5．已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C． D．﹣6．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（1）＜f（） C．f（）＜f（）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（）7．已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（）A． B． C． D．8．函数y=loga（|x|﹣1），（a＞1）的大致图象是（）A． B． C． D．9．某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价（）A．15% B．10% C．12% D．50%10．已知函数f（x）=loga（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，2） B．（1，2） C．（1，2] D．[2，+∞）11．已知函数f（x）=﹣log2x，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x＜x0，则函数f（x）的值（）A．等于0 B．恒为正 C．恒为负 D．不大于012．已知集合，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．若f（x）的定义域为，则函数f（lgx）的定义域为．14．经过一刻钟，长为10cm的分针所覆盖的面积是．15．若角α的终边与直线y=3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|=，则m﹣n=．16．已知函数，若f（a）＞f（﹣a），求实数a的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．18．（10分）已知任意角α的终边经过点P（﹣3，m），且cosα=﹣（1）求m的值．（2）求sinα与tanα的值．19．（10分）已知函数y=|x|（x﹣4）（1）画出函数的图象；（2）利用图象回答：当f（x）为何值时，方程x，y∈R有一解？有两解？有三解？20．（10分）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．21．（15分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证：f（x）+f（﹣x）=0；（2）若f（﹣3）=a，试用a表示f（24）；（3）如果x∈R+时，f（x）＜0，且，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最大值和最小值．22．（15分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．

2023学年黑龙江省大庆市铁人中学高一（上）期中数学试卷(B卷)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各式：①1∈{0，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2}；④{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】元素与集合关系的判断．【分析】对于①根据元素与集合之间的关系进行判定，对于②根据空间是任何集合的子集，对于③集合与集合之间不能用属于符号进行判定，对于④根据集合本身是集合的子集进行判定，对于⑤根据集合的无序性进行判定即可．【解答】解：：①1∈{0，1，2}，元素与集合之间用属于符号，故正确；②∅⊆{0，1，2}；空集是任何集合的子集，正确③{1}∈{0，1，2}；集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；④{0，1，2}⊆{0，1，2}，集合本身是集合的子集，故正确⑤{0，1，2}={2，0，1}，根据集合的无序性可知正确；故选：A【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合之间的关系，属于基础题．2．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣ D．f（x）=﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由题意知A和D在（0，+∞）上为减函数；B在（0，+∞）上先减后增；c在（0，+∞）上为增函数．【解答】解：∵f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数，∴A不正确；∵f（x）=x2﹣3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，∴B不正确；∵f（x）=﹣在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，∴C正确；∵f（x）=﹣|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确．故选C．【点评】本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答．3．函数的f（x）=log3x﹣8+2x零点一定位于区间（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）【考点】函数的零点．【分析】利用根的存在性定理分别判断，在区间端点符合是否相反即可．【解答】解：函数f（x）=log3x﹣8+2x为增函数，∵f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞1＞0，∴函数在（3，4）内存在零点．故选：C．【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用根的存在性定理是解决此类问题的基本方法．4．sin30°+tan240°的值是（）A．﹣ B． C．﹣+ D．+【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简得解．【解答】解：sin30°+tan240°=+tan（180°+60°）=tan60°=．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5．已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C． D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．【解答】解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．6．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（1）＜f（） C．f（）＜f（）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由已知中函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，我们可得函数y=f（x）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），由此要比较f（），f（1），f（）的大小，可以比较f（），f（3），f（）．【解答】解：∵函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，∴函数y=f（x）在[2，4]上单调递减且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）即f（1）=f（3）∵f（）＜f（3）＜f（）∴f（）＜f（1）＜f（）故选B【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件，判断出函数在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），是解答本题的关键．7．已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（）A． B． C． D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】解出点P的具体坐标，即可求解θ的值．【解答】解：点P（sinπ，cosπ）即P；它落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），∴故选D．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．8．函数y=loga（|x|﹣1），（a＞1）的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由函数定义域可排除A、B，当x＞1时，y=loga（|x|﹣1）=y=loga（x﹣1）可由y=logax向右平移一个单位得到，由此可得答案．【解答】解：由|x|﹣1＞0，得x＜﹣1，或x＞1，排除A、B．当x＞1时，y=loga（x﹣1），其图象可看作由y=logax向右平移1个单位得到的，又a＞1，故选D．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，关于函数图象的选择题，要充分利用函数的性质及特殊点进行筛选．9．某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价（）A．15% B．10% C．12% D．50%【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】设明年比今年降价x%，依题意得（1+25%）（1﹣x%）=1+10%，解出即可．【解答】解：设明年比今年降价x%，依题意得（1+25%）（1﹣x%）=1+10%，解得x=12，故选：C．【点评】本题考查了列方程解应用题，属于基础题．10．已知函数f（x）=loga（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，2） B．（1，2） C．（1，2] D．[2，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】若函数f（x）=loga（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，则y=logat为增函数，且当x=2时，t=4﹣ax≥0，解得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=loga（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，∴y=logat为增函数，且当x=2时，t=4﹣ax≥0，即，解得：a∈（1，2]，故选：C．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．11．已知函数f（x）=﹣log2x，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x＜x0，则函数f（x）的值（）A．等于0 B．恒为正 C．恒为负 D．不大于0【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意得，函数的零点就是方程的根，也即是函数图象与x轴交点的横坐标．又知函数的单调性，即可求出f（x）的符号．【解答】解：由于x0是函数f（x）=﹣log2x的零点，则f（x0）=0，又因为函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，所以当0＜x＜x0时，f（x）＞f（x0）即f（x）＞0．即函数f（x）的值恒为正．故选：B【点评】本题主要考查函数的零点及函数的单调性．函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．12．已知集合，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．【分析】求得A={x|a（2x）2﹣2•2x﹣1=0}，B={x|﹣1＜x≤1}．再由A∩B≠∅，可得方程at2﹣2t﹣1=0在（，2]上有解．设f（t）=at2﹣2t﹣1，则由题意可得函数f（t）在区间（，2]上有解，结合所给的选项可得，a＞0．故有①f（）f（2）＜0，或②，或③f（2）=0．分别求得①、②、③的解集，再把①②③的解集取并集，可得a的范围．【解答】解：∵A={x|a4x﹣2x+1﹣1=0}={x|a（2x）2﹣2•2x﹣1=0}，B={x|≤1}={x|≤0}={x|﹣1＜x≤1}．由于﹣1＜x≤1，故有＜2x≤2，再由A∩B≠∅，可得方程at2﹣2t﹣1=0在（，2]上有解．设f（t）=at2﹣2t﹣1，则由题意可得函数f（t）在区间（，2]上有零点，结合所给的选项可得，a＞0．故有①f（）f（2）=（﹣2）（4a﹣5）＜0，或②，或③f（2）=0．解①可得＜a＜8，解②可得a无解，解③可得a=．把①②③的解集取并集，可得a的范围为[，8），故选B．【点评】本题主要考查指数方程、分式不等式的解法，两个集合的交集的定义，二次函数的性质的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．若f（x）的定义域为，则函数f（lgx）的定义域为．【考点】指、对数不等式的解法；函数的定义域及其求法．【分析】根据f（x）的定义域为，由＜lgx＜3求解x的取值集合即可得到答案．【解答】解：∵f（x）的定义域为，由＜lgx＜3，得．∴函数f（lgx）的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的定义域及其求解方法，考查了复合函数定义域的求法，是基础题．14．经过一刻钟，长为10cm的分针所覆盖的面积是25πcm2．【考点】扇形面积公式．【分析】求出经过15分钟，分针所转过的弧度数，代入面积公式计算面积．【解答】解：分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，∴经过15分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，∴长为10cm的分针所覆盖的面积是=25πcm2，故答案为25πcm2．【点评】本题考查面积公式的应用，易错点是角度和弧度的转化，利用弧长、面积公式解题时要把圆心角的单位化为弧度．15．若角α的终边与直线y=3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|=，则m﹣n=2．【考点】终边相同的角．【分析】依据题中的条件，建立关于m，n的方程组，解出m，n的值．再利用sinα＜0，α的终边在第三象限，进一步确定m，n的值．【解答】解：依题意知，解得m=1，n=3，或m=﹣1，n=﹣3，又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，∴n＜0，∴m=﹣1，n=﹣3，∴m﹣n=2．故答案为2．【点评】本题考查终边相同的角的定义，终边与直线y=3x重合的角可能在第一象限，也可能在第三象限，利用三角函数在各个象限的符号，来确定角的终边所在的象限．16．已知函数，若f（a）＞f（﹣a），求实数a的取值范围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】通过对a＞0与a＜0，利用分段函数，写出f（a）＞f（﹣a），利用对数的性质，求出a的范围即可．【解答】解：当a＞0时，由f（a）＞f（﹣a）得＞，即＞﹣，可得：a＞1；当a＜0时，同样得＞，即﹣＞．可得：﹣1＜a＜0；综上得：﹣1＜a＜1或a＞1．所求a的范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞）【点评】本题考查分段函数的解析式的应用，对数函数的基本性质，考查计算能力．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2023秋•深圳期末）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】（1）求出集合B中不等式的解集确定出集合B，求出集合A与集合B的公共解集即为两集合的交集，根据全集为R，求出交集的补集即可；（2）求出集合C中的不等式的解集，确定出集合C，由B与C的并集为集合C，得到集合B为集合C的子集，即集合B包含于集合C，从而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：（1）由集合B中的不等式2x﹣4≥x﹣2，解得x≥2，∴B={x|x≥2}，又A={x|﹣1≤x＜3}，∴A∩B={x|2≤x＜3}，又全集U=R，∴∁U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}；（2）由集合C中的不等式2x+a＞0，解得x＞﹣，∴C={x|x＞﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴﹣＜2，解得a＞﹣4；故a的取值范围为（﹣4，+∞）．【点评】此题考查了交集及补集的元素，集合的包含关系判断以及应用，学生在求两集合补集时注意全集的范围，由题意得到集合B是集合C的子集是解第二问的关键．18．（10分）（2023秋•兴国县校级期中）已知任意角α的终边经过点P（﹣3，m），且cosα=﹣（1）求m的值．（2）求sinα与tanα的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数线．【分析】（1）先求出|OP|，再利用cosα=﹣，即可求m的值．（2）分类讨论，即可求sinα与tanα的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（﹣3，m），∴|OP|=．又∵cosα=﹣==，∴m2=16，∴m=±4．（2）m=4，得P（﹣3，4），|OP|=5，∴sinα=，tanα=﹣；m=﹣4，得P（﹣3，﹣4），|OP|=5，∴sinα=﹣，tanα=；【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查三角函数的定义，比较基础．19．（10分）（2023秋•红岗区校级期中）已知函数y=|x|（x﹣4）（1）画出函数的图象；（2）利用图象回答：当f（x）为何值时，方程x，y∈R有一解？有两解？有三解？【考点】分段函数的应用；函数的图象．【分析】（1）去绝对值符号，化为分段函数，画图即可，（2）结合图象即可求出答案．【解答】解：（1）y=，图象如图所示，（2）k＞0或者k＜﹣4方程有一解k=0或者k=﹣4方程有二解当﹣4＜k＜0方程有三解【点评】本题考查了绝对值函数的图象的画法和方程的解的个数问题，属于基础题．20．（10分）（2023春•南充期末）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可；（2）先由f（0）=0求得a=1，再证明f（﹣x）=﹣f（x），恒成立．【解答】解：∵f（x）=a﹣（a∈R）．∴f′（x）=＞0恒成立，∴函数f（x）在R上为增函数（2）由f（0）=a﹣=0，得a=1，∴f（x）=1﹣=，∵f（﹣x）===﹣=﹣f（x）所以当a=1时，f（x）为奇函数．【点评】本题主要考查了导数与函数的单调性的关系以及函数的奇偶性，属于基础题．21．（15分）（2023秋•新余期末）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证：f（x）+f（﹣x）=0；（2）若f（﹣3）=a，试用a表示f（24）；（3）如果x∈R+时，f（x）＜0，且，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最大值和最小值．【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）令x=y=0得f（0），再令y=﹣x得f（﹣x）=﹣f（x）变形．（2）由（1）知得f（3）