初中数学北师大版八年级下册第五章分式与分式方程本章复习与测试 全市一等奖

专训1.分式的意义及性质的四种题型名师点金：1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零；(4)分式值为正数⇔分子、分母同号；(5)分式值为负数⇔分子、分母异号．2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础．分式的识别1．在eq\f(3x,4x－2)，eq\f(－5,x2＋7)，eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)，eq\f(2m2,m)中，不是分式的式子有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．分式有无意义的条件3．无论a取何值，下列分式总有意义的是()\f(a＋1,a2)\f(a－1,a2＋1)\f(1,a2－1)\f(1,a＋1)4．当x＝________时，分式eq\f(x－1,x2－1)无意义．5．已知不论x为何实数，分式eq\f(3x＋5,x2－6x＋m)总有意义，试求m的取值范围．分式值为正、负数或0的条件6．若eq\f(x＋2,x2－2x＋1)的值为正数，则x的取值范围是()A．x＜－2B．x＜1C．x＞－2且x≠1D．x＞17．若分式eq\f(3x－4,2－x)的值为负数，则x的取值范围是________．8．已知分式eq\f(a－1,a2－b2)的值为0，求a的值及b的取值范围．分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是()\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)\f(a,b)＝eq\f(ab,a＋b)\f(a,b)＝eq\f(a＋c,b＋c)\f(a,b)＝eq\f(ab,b2)10．要使式子eq\f(1,x－3)＝eq\f(x＋2,x2－x－6)从左到右变形成立，x应满足的条件是()A．x＞－2B．x＝－2C．x＜－2D．x≠－211．已知eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)≠0，求eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq\f(x,|y＋z|)＋eq\f(y,|z＋x|)＋eq\f(z,|x＋y|)的值．专训2.分式运算的八种技巧名师点金：分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果．约分计算法1．计算：eq\f(a2＋6a,a2＋3a)－eq\f(a2－9,a2＋6a＋9).整体通分法2．计算：a－2＋eq\f(4,a＋2).顺次相加法3．计算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1).换元通分法4．计算：(3m－2n)＋eq\f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq\f(2n－3m,3m－2n－1).裂项相消法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))5．计算：eq\f(1,a（a＋1）)＋eq\f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq\f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq\f(1,（a＋99）（a＋100）).整体代入法6．已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，求eq\f(abc,ab＋bc＋ac)的值．倒数求值法7．已知eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq\f(x2,x4－9x2＋1)的值．消元法8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq\f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．答案专训11．C点拨：eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)不是分式．2．6点拨：以a－1为分母，可构成3个分式；以x2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．3．B4.±15．解：x2－6x＋m＝(x－3)2＋(m－9)．因为(x－3)2≥0，所以当m－9＞0，即m＞9时，x2－6x＋m始终为正数，分式总有意义．6．C点拨：x2－2x＋1＝(x－1)2.因为分式的值为正数，所以x＋2＞0且x－1≠0.解得x＞－2且x≠1.7．x＞2或x＜eq\f(4,3)8．解：因为分式eq\f(a－1,a2－b2)的值为0，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.9．D11．解：设eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)＝k(k≠0)，则x＝4k，y＝6k，z＝7k.所以eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)＝eq\f(4k＋2×6k＋3×7k,6×4k－5×6k＋4×7k)＝eq\f(37k,22k)＝eq\f(37,22).12．解：由x＋y＋z＝0，xyz≠0可知，x，y，z必为两正一负或两负一正．当x，y，z为两正一负时，不妨设x＞0，y＞0，z＜0，则原式＝eq\f(x,|－x|)＋eq\f(y,|－y|)＋eq\f(z,|－z|)＝1＋1－1＝1；当x，y，z为两负一正时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0，则原式＝eq\f(x,|－x|)＋eq\f(y,|－y|)＋eq\f(z,|－z|)＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1.专训21．解：原式＝eq\f(a（a＋6）,a（a＋3）)－eq\f(（a＋3）（a－3）,（a＋3）2)＝eq\f(a＋6,a＋3)－eq\f(a－3,a＋3)＝eq\f(9,a＋3).点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．2．解：原式＝eq\f(a－2,1)＋eq\f(4,a＋2)＝eq\f(a2－4,a＋2)＋eq\f(4,a＋2)＝eq\f(a2,a＋2).点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．3．解：原式＝eq\f(x＋1,x2－1)＋eq\f(x－1,x2－1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(2x,x2－1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(2x（x2＋1）＋2x（x2－1）,（x2－1）（x2＋1）)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(4x3,x4－1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(4x3（x4＋1）＋4x3（x4－1）,（x4－1）（x4＋1）)＝eq\f(8x7,x8－1).点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．解：设3m－2n＝x，则原式＝x＋eq\f(x3,x＋1)－x2－eq\f(x,x－1)＝eq\f(x（x2－1）＋x3（x－1）－x2（x2－1）－x（x＋1）,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(－2x,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(4n－6m,（3m－2n＋1）（3m－2n－1）).5．解：原式＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,a＋1)－eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,a＋2)－eq\f(1,a＋3)＋…＋eq\f(1,a＋99)－eq\f(1,a＋100)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a＋100)＝eq\f(100,a（a＋100）).点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．6．解：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，上面各式两边分别相加，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))×2＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,15)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(31,180).易知abc≠0，所以eq\f(abc,ab＋bc＋ac)＝eq\f(1,\f(1,c)＋\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(180,31).7．解：由eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，知x≠0，所以eq\f(x2－3x＋1,x)＝－1.所以x－3＋eq\f(1,x)＝－1.即x＋eq\f(1,x)＝2.所以eq\f(x4－9x2＋1,x2)＝x2－9＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)－11＝22－11＝－7.所以eq\f(x2,x4－9x2＋1)＝－eq\f(1,7).8．