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微专题数列的函数特征CONTENTS目录02类型2数列的单调性及最值01类型1数列的周期性03类型3函数情境下的数列数列本身就是一种特殊的函数,这种函数的定义域是N*(或其有限子集),因此数列具有函数的特征,求解关于数列的周期性、单调性、最值等问题可以类比函数同类问题的求解策略.01类型1数列的周期性C|技法点拨|数列{xn}满足存在正整数M,T,使得对任意大于M的自然数n,都有xn+T=xn成立,则称数列{xn}为周期数列,称T为它的一个周期.周期数列往往以递推式的形式给出,因此常常用递推数列的知识研究数列的周期性.

无穷数列{an}满足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1,则称{an}为“和谐递进数列”.若{an}为“和谐递进数列”,Sn为其前n项和,且a1=1,a2=2,a4=1,a6+a8=6,则a7=________;S2021=________.解析:因为数列{an}是“和谐递进数列”,且a1=a4=1,a2=2,所以a5=a2=2,同理有a3=a6,a7=a4=1,a8=a5=2,又a6+a8=6,所以a3=a6=4,则数列{an}:a1=1,a2=2,a3=4,a4=1,a5=2,a6=4,a7=1,a8=2,…,故数列{an}是以3为周期的数列,所以S2021=S673×3+2=(1+2+4)×673+(1+2)=4714.1

471402类型2数列的单调性及最值|技法点拨|求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值,根据f(x)的类型作出相应的函数图象,或利用求函数最值的方法,求出f(x)的最值,进而求出数列的最大(小)项;C

03类型3函数情境下的数列C|技法点拨|取整函数y=[x]是一类常见的特殊函数,基于取整函数为载体的信息题型在高考中时常出现,本题结合函数值域中元素个数构造数列求和,其关键点在于该数列通项的推导,理解x[x]=nx的范围至关重要,由n2<x[x]<n(n+1)不难得到an=n(n∈N*).

已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bn

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