人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数

第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数

直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各条边的名称吗？┓C斜边c邻边对边abC┓AB

某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m，扶梯的长度是多少?BAC┓30°7m实际问题

在上面的问题中，如果高为10m，扶梯的长度是多少？

已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABC┓在Rt△ABC中,∠C＝90°．当∠A＝30°时,当∠A＝45°时,固定值固定值

在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是唯一确定的吗？想一想所以＝＝Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3

所以，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不论三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值．

观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的对边与斜边有什么关系？

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即一个角的正弦表示定值、比值、正值．知识要点正弦

在直角三角形中，

对于锐角A的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一确定的吗？想一想

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比，∠A的邻边与斜边的比，∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．归纳

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即一个角的余弦表示定值、比值、正值．知识要点余弦

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即一个角的正切表示定值、比值、正值．知识要点正切

锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数（trigonometricfunctionofacuteangle）知识要点

1．sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)．

2．sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）．

3．sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关．提示1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠P的对边是_________,∠P的邻边是___________;

∠M的对边是________,∠M的邻边是___________.2、设Rt△ABC，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的三个三角函数值.

a=5，c=13.小练习在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠B.这五个元素之间有如下等量关系：ABCcab(1)三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间关系：课堂小结第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形导入新课复习引入ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

问题

如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290°讲授新课已知两边解直角三角形一如图，在Rt△ABC中，（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABCα6=75°互动探究如图，在Rt△ABC中，（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABCα62.4在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.已知一边及一锐角解直角三角形二典例精析例2

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).ABCb=20ca35°解：例3

如图，已知AC=4，求AB和BC的长．解析：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD的长，从而得解．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°，D解：如图，作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，∴BD=CD=2，已知一锐角三角函数值解直角三角形三例4

如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.解：ACB设∴AB的长为在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.练一练1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4B．6C．8D．10D2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，则菱形的周长是（）A．10B．20C．40D．28C图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.图①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°.当△ABC为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD-CD=12-5=7.∴BC的长为7或17.当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.例5

在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的长.当堂练习2.如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（）A．3B．3.75C．4.8D．5B1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）

D3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形.DABC6解：因为AD平分∠BAC，4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形.（1）a=30,b=20；解：根据勾股定理得ABCb=20a=30c在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形.

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：5.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：过点A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=解直角三角形依据解法:只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课堂小结28.2.2应用举例——什么是仰角、俯角？如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？——什么是坡度、坡比？——如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即

.

坡度通常写成1:m的形式，如

i＝1:6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有

显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．＝

tanα．

1、学生探究：在RtΔABC中，若∠C=90°，问题1：两锐角∠A、∠B有什么关系？问题2：三边a、b、c的关系如何？问题3：∠A与边的关系是什么？2、数学知识、数学运用解直角三角形有下面两种情况：（1）已知两条边求直角三角形中的其他元素；（2）已知一边及一角求直角三角形中的其他元素.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为13+5=18（米）答：大树在折断之前高为18米.5m12m例2如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东400的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）ADCB4002000例3如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°.求旗杆BC的高.

解：在Rt△CDE中，CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80.BC=BE+CE=DA+CE≈1.50+12.80=14.3.答：旗杆BC的高度约为14.3米.1.(1)如图，一辆消防车的梯子长为18m，与水平面间的夹角为60°，如果这辆消防车的高度为2m，求梯子可达到的高度．AC=100m(2)我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为100米，山高为100米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？AC100米100米B2.（1）某货船沿正北方向航行，在点A处测得灯塔C在北偏西30°，船以每小时20海里的速度航行2小时，到达点B后，测得灯塔C在北偏西60°方向，请问当这艘货船到达C的正东方向时，船距灯塔C有多远？（2）如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员，在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？3.(1)植树节，某