人教版九年级数学下册综合复习试题含答案

人教版九年级数学下册综合复习试题含答案第26章三、解答题(共66分)19．(6分)已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6.求y关于x的函数解析式．解：设y＝eq\f(k,x)(k≠0)，∵当x＝2时，y＝6.∴k＝xy＝12，∴y＝eq\f(12,x).∴y关于x的函数解析式为y＝eq\f(12,x).20．(8分)(常州中考)如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝eq\f(8,x)(x＞0)的图象交于点A(a，4).点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D.求a的值及正比例函数y＝kx的解析式．解：把点A(a，4)代入反比例函数y＝eq\f(8,x)(x＞0)，得a＝eq\f(8,4)＝2.∴把点A(2，4)代入y＝kx，得k＝2，∴正比例函数y＝kx的解析式为y＝2x.21．(8分)如图，已知直线l：y＝－x＋5.若反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)的图象与直线l在第一象限内相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2－x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式－x＋5＜eq\f(k,x)的解集．解：设点A(m，－m＋5)，而x2－x1＝3，则点B(m＋3，－m＋2)，∴m(－m＋5)＝(m＋3)(－m＋2)，解得m＝1，∴点A，B的坐标分别为(1，4)，(4，1)；将点A的坐标代入反比例函数解析式，解得k＝4×1＝4，观察函数图象知，当－x＋5＜eq\f(k,x)时，解集为0＜x＜1或x＞4.22．(8分)已知反比例函数y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3).(1)求这个函数的解析式；(2)当－1＜x＜2且x≠0时，求y的取值范围．解：(1)这个函数的解析式为y＝eq\f(6,x).(2)当x＝－1时，y＝－6，当－1<x<0时，y随x的增大而减小，y<－6；当x＝2时，y＝3，当0<x<2时，y随x的增大而减小，y>3.∴当－1<x<2且x≠0时，y<－6或y>3.(10分)某中学为了预防新冠肺炎，对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例．药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物6min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为4mg.(1)写出药物燃烧前后，y与x之间的函数解析式；(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生方能回到教室？解：(1)设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x(k1＞0)，代入(6，4)得k1＝eq\f(2,3).设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝eq\f(k2,x)(k2＞0)，代入(6，4)得k2＝24，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝eq\f(2,3)x(0≤x≤6)，药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝eq\f(24,x)(x＞6).(2)令y＝eq\f(24,x)中y≤1.6，得x≥15，即从消毒开始，至少需要经过15分钟，学生方能回到教室．24．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝eq\f(m,x)(x＞0)的图象经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,2)))，点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．(1)m＝__6__，点C的坐标为__(2，0)__；(2)若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，把Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,2)))，C(2，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝\f(3,2)，,2k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,4)，,b＝－\f(3,2)．))∴直线AB的解析式为y＝eq\f(3,4)x－eq\f(3,2).∵点D为线段AB上的一个动点，∴设Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(3,4)x－\f(3,2)))(0＜x≤4).∵DE∥y轴，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(6,x)))，∴S△ODE＝eq\f(1,2)x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,x)－\f(3,4)x＋\f(3,2)))＝－eq\f(3,8)x2＋eq\f(3,4)x＋3＝－eq\f(3,8)(x－1)2＋eq\f(27,8)，∴当x＝1时，△ODE的面积最大为eq\f(27,8).(14分)已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象交于A(－3，2)，B(1，n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．解：(1)∵反比例函数y＝eq\f(m,x)经过点A(－3，2)，∴m＝－6，∵点B(1，n)在反比例函数图象上，∴n＝－6.∴B(1，－6).把A，B的坐标代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋b＝2，,k＋b＝－6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－4.))∴一次函数的解析式为y＝－2x－4，反比例函数的解析式为y＝－eq\f(6,x).(2)设直线AB交y轴于C，则C(0，－4)，∴S△AOB＝S△OCA＋S△OCB＝eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×4×1＝8.(3)由题意，得OA＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，当AO＝AP时，可得P1(－6，0)；当OA＝OP时，可得P2(－eq\r(13)，0)，P4(eq\r(13)，0)；当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J.设OP3＝P3A＝x，在Rt△AJP3中，则有x2＝22＋(3－x)2，解得x＝eq\f(13,6)，∴P3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,6)，0)).综上所述，满足条件的点P的坐标为(－6，0)或(－eq\r(13)，0)或(eq\r(13)，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,6)，0))第27章三、解答题(共66分)19．(6分)如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．(1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；(2)已知△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是__16__．解：(1)如图，△A1B1C1为所作．20．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．(1)求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，若∠APC＝2∠ABC.求证：PD∥AB.(1)解：如图所示．(2)证明：∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC，∴PD∥AB.21．(8分)赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，求学校旗杆的高度．解：过点D作DE⊥AB于点E，根据题意，得eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,1.2)，即eq\f(AE,9.6)＝eq\f(1,1.2)，解得AE＝8.则AB＝AE＋BE＝8＋2＝10(米).答：学校旗杆的高度为10米．22．(8分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于点E.(1)求证：CD2＝DE·DA；(2)当∠BED＝47°时，求∠ABC的度数．(1)证明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴CD∶AD＝DE∶CD，∴CD2＝DE·AD.(2)解：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵CD2＝DE·AD，∴BD2＝DE·AD，∴BD∶AD＝DE∶BD.又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB，∴∠BED＝∠ABC.∵∠BED＝47°，∴∠ABC＝47°.∴∠ABC的度数是47°.23．(10分)(苏州中考)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.(1)求证：△ABE∽△DFA；(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA.(2)解：∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2.∵AB＝6，∴AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4.∵△ABE∽△DFA，∴eq\f(AB,DF)＝eq\f(AE,AD)，∴DF＝eq\f(AB·AD,AE)＝eq\f(6×4,2\r(10))＝eq\f(6,5)eq\r(10).24．(12分)如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，eq\f(AD,AB)＝eq\f(A′D′,A′B′)，当eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．解：△ABC与△A′B′C′相似．理由：过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC).同理，eq\f(A′D′,A′B′)＝eq\f(D′E′,B′C′)＝eq\f(A′E′,A′C′)，∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(A′D′,A′B′)，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(D′E′,B′C′)，∴eq\f(DE,D′E′)＝eq\f(BC,B′C′)，同理，eq\f(AE,AC)＝eq\f(A′E′,A′C′)，∴eq\f(AC－AE,AC)＝eq\f(A′C′－A′E′,A′C′)，即eq\f(EC,AC)＝eq\f(E′C′,A′C′)，∴eq\f(EC,E′C′)＝eq\f(AC,A′C′).∵eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)，∴eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(DE,D′E′)＝eq\f(EC,E′C′)，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′.∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°.同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB＝∠A′C′B′.∵eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(BC,B′C′)，∴△ABC∽△A′B′C′.25．(14分)如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．(1)当x为何值时，PQ∥BC；(2)是否存在某一时刻，使△APQ与△CQB相似？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；(3)当CQ＝10时，求eq\f(S△APQ,S△ABQ)的值．解：(1)由题可得AP＝4x，CQ＝3x.∵BA＝BC＝20，AC＝30，∴BP＝20－4x，AQ＝30－3x.若PQ∥BC，则有△APQ∽△ABC，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(AQ,AC)，∴eq\f(4x,20)＝eq\f(30－3x,30)，解得x＝eq\f(10,3).∴当x＝eq\f(10,3)时，PQ∥BC.(2)存在．∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.要使△APQ∽△CQB，只需eq\f(AP,CQ)＝eq\f(AQ,CB).此时eq\f(4x,3x)＝eq\f(30－3x,20)，解得x＝eq\f(10,9)，∴AP＝4x＝eq\f(40,9).要使△APQ∽△CBQ，只需eq\f(AP,CB)＝eq\f(AQ,CQ)，此时eq\f(4x,20)＝eq\f(30－3x,3x)，解得x1＝－10(舍去)，x2＝5.当x＝5时，AP＝20.∴AP＝eq\f(40,9)或20.∴当AP的长为eq\f(40,9)或20时，△APQ与△CQB相似.(3)当CQ＝10时，3x＝10，∴x＝eq\f(10,3)，∴AP＝4x＝eq\f(40,3)，∴eq\f(S△APQ,S△ABQ)＝eq\f(AP,AB)＝eq\f(\f(40,3),20)＝eq\f(2,3).第28章三、解答题(共66分)19．(6分)计算：(1)sin230°＋sin60°－sin245°＋cos230°；(2)eq\f(tan30°＋tan45°,tan60°·tan45°).解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(\r(3),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2).(2)原式＝eq\f(\f(\r(3),3)＋1,\r(3)×1)＝eq\f(1＋\r(3),3).20．(8分)在△ABC中，∠C＝90°.c＝8eq\r(3)，∠A＝60°，求∠B及a，b的值．解：∠B＝90°－∠A＝30°，a＝csinA＝8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝12，b＝eq\f(a,tanA)＝eq\f(a,tan60°)＝eq\f(12,\r(3))＝4eq\r(3).21．(8分)如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝eq\f(3,4)，∠B＝30°，求AC和AB的长．解：过点C作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝eq\f(1,2)BC＝6，BH＝BC·cos30°＝6eq\r(3)，在Rt△ACH中，tanA＝eq\f(3,4)＝eq\f(CH,AH)，∴AH＝8，∴AC＝eq\r(AH2＋CH2)＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋6eq\r(3).∴AC的长为10，AB的长为8＋6eq\r(3).22．(8分)沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12米，斜坡CD的坡度i＝1∶1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P，D，H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP＝26°.(1)求斜坡CD的坡角α的度数；(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)解：(1)α＝45°.(2)∵CH＝DH＝12，α＝45°，∴∠PCH＝∠PCD＋α＝26°＋45°＝71°，在Rt△PCH中，∵tan∠PCH＝eq\f(PH,CH)＝eq\f(PD＋12,12)≈2.90，∴PD≈22.8＞18.答：此次改造符合电力部门的安全要求．23．(10分)如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测得∠BAC＝45°，∠ABC＝37°，∠DBF＝60°，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(参考数据：sin37°≈\f(3,5)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos37°≈\f(4,5)，tan37°≈\f(3,4)．))解：过点C，D分别作CM⊥EF，DN⊥EF.在Rt△AMC中，∵∠BAC＝45°，∴AM＝MC.在Rt△BMC中，BM＝eq\f(CM,tan37°)＝eq\f(4,3)CM.∵AB＝70＝AM＋BM，∴CM＝30＝DN.在Rt△BDN中，BN＝eq\f(DN,tan60°)＝10eq\r(3)，∴CD＝MN＝MB＋BN＝40＋10eq\r(3).答：C，D两点间的距离为(40＋10eq\r(3))米．24．(12分)鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50eq\r(3)米．(1)求无人机的飞行高度AM；(结果保留根号)(2)求河流的宽度CD.(结果精确到1米，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50.(1)在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50eq\r(3)，∴AM＝2MC＝100eq\r(3)＝BN.答：无人机的飞行高度AM为100eq\r(3)米．(2)在Rt△BND中，∵tan∠BDN＝eq\f(BN,DN)，即tan30°＝eq\f(100\r(3),DN)，∴DN＝300，∴DM＝DN＋MN＝300＋50＝350，∴CD＝DM－MC＝350－50eq\r(3)≈264，答：河流的宽度CD约为264米．25．(14分)如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5km处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离6eq\r(2)km处是学校B.(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75).(1)求学校A，B两点之间的距离；(2)要在公路MN旁修建一个体育馆P，使得A，B两所学校到体育馆P的距离之和最短，求这个最短距离．题图答图解：(1)过点A作CD∥MN，BE⊥MN，如答图．在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，∵sin36.5°＝eq\f(CA,5)＝0.6，∴CA＝3km，MC＝4km，在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB＝6eq\r(2)km，∵sin45°＝eq\f(BE,6\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴BE＝ME＝6km，∴AD＝CD－CA＝ME－CA＝3km，BD＝BE－DE＝BE－CM＝2km，在Rt△ABD中，AB＝eq\r(13)km.作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为体育馆．此时PA＋PB＝PA＋PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆P的距离之和最短为AG长．在Rt△ADG中，AD＝3，DG＝DE＋EG＝DE＋BE＝4＋6＝10(km)，∴AG＝eq\r(AD2＋DG2)＝eq\r(32＋102)＝eq\r(109)(km).答：最短距离为eq\r(109)km.第29章三、解答题(共66分)19．(6分)如图，将一个大立方体挖去一个小立方体，请画出它的三种视图．解：如图所示．20．(8分)如图所示，分别是两棵树及其影子的情形．(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形；(2)阳光下小丽影子长为1.20m，树的影子长为2.40m，小丽身高1.88m，求树高．解：(1)甲图反映了阳光下的情形，乙图反映了路灯下的情形．(2)设树高为xm，由已知，得eq\f(1.20,1.88)＝eq\f(2.40,x)，解得x＝3.76.答：树高为3.76m．(8分)如图，是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸(单位：mm).(1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；(2)这个立体图形的体积是__128__mm3.解：(1)上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm；下面的长方体长6mm，宽8mm，高2mm.22．(8分)如图，路灯P距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14米到点B时，人影长度是增加了还是减少了？增加或减少了多少米？解：人影长度减少了．连接CD，∵AC∥OP，∴eq\f(OP,AC)＝eq\f(PM,CM)＝eq\f(8,1.6)＝5.设CM＝x米，则PM＝5x米，PC＝4x米．∵CD∥AB，∴eq