高中数学北师大版1本册总复习总复习 优质课奖

§1命题1．了解命题的概念及构成，会判断命题的真假．(难点)2．了解命题的四种关系，会判断命题的真假．(重、难点)[基础·初探]教材整理1命题的定义及组成阅读教材P3“问题提出”以上部分，完成下列问题．1．定义(1)定义：可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作______．(2)分类：判断为正确的语句叫作______，判断为错误的语句叫作______．2．命题的组成一般地，一个命题由______和______两部分组成，数学中，通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是______，q是______．【答案】1.(1)命题(2)真命题假命题2．条件结论条件结论下列语句中是命题的是()\f(π,2)是无限不循环小数B．x>0C．什么是“温室效应”D．作直线AB【解析】由命题的定义加以判断．【答案】A教材整理2四种命题阅读教材P3“问题提出”至P5“练习”以上部分，完成下列问题．1．四种命题互逆命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______和______互否命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________互为逆否命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________和________2.四种命题之间的关系【答案】1.结论条件条件的否定结论的否定结论的否定条件的否定2.否逆逆否(从左至右，从上至下)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”．()(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题．()(3)若原命题为真命题，则其逆命题一定也是真命题．()(4)若a＝b，则|a|＝|b|的逆否命题是假命题．()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]命题的概念及真假判断判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.【导学号：63470000】(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．【精彩点拨】eq\x(语句)eq\o(→,\s\up8(命题),\s\do8(定义))eq\x(\a\al(判定是否,是命题))eq\o(→,\s\up8(证明举反例),\s\do8())eq\x(真假命题)【自主解答】(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．1．判断语句是否为命题的关键是看该语句是否能判断真假．2．在说明一个命题是真命题时，应进行严格的推理证明，而要说明命题是假命题，只需举一个反例即可．[再练一题]1．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？(2)一个正整数不是合数就是质数；(3)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；(4)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；(5)1＋2＋3＋…＋2014；(6)这盆花长得太好了！【解】(1)(5)(6)未涉及真假，都不是命题．(2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是质数”．(3)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．(4)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．四种命题及其关系分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【导学号：63470001】(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(3)若xy＝0，则x＝0且y＝0.【精彩点拨】找出命题的条件p与结论q，根据四种命题的条件与结论的关系写出其余三种命题，再判断其真假性．【自主解答】(1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题．否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题．逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题．(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题．否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．(3)逆命题：若x＝0且y＝0，则xy＝0，真命题．否命题：若xy≠0，则x≠0或y≠0，真命题．逆否命题：若x≠0或y≠0，则xy≠0，假命题．1．写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，并写出条件和结论的否定，然后按照定义写出各命题．若原命题不是“若p，则q”的形式，应先将命题写成这种形式．注意：当原命题有大前提时，在写三种命题时，大前提不变．2．在判断四种命题的真假时，首先要正确地写出逆命题、否命题和逆否命题，在弄清楚它们的真假关系时，注意相关知识的运用．[再练一题]2．写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)如果x>8，那么x>0；(3)当x＝－1时，x2－x－2＝0.【解】(1)原命题：若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；真命题．逆命题：若一个四边形是圆的内接四边形，则这个四边形的对角互补；真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；真命题．逆否命题：若一个四边形不是圆的内接四边形，则这个四边形的对角不互补；真命题．(2)原命题：若x>8，则x>0；真命题．逆命题：若x>0，则x>8；假命题．否命题：若x≤8，则x≤0；假命题．逆否命题：若x≤0，则x≤8；真命题．(3)原命题：若x＝－1，则x2－x－2＝0；真命题．逆命题：若x2－x－2＝0，则x＝－1；假命题．否命题：若x≠－1，则x2－x－2≠0；假命题．逆否命题：若x2－x－2≠0，则x≠－1；真命题．[探究共研型]逆否命题的应用探究1下列四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系，那么任意两个命题之间有什么关系？【提示】(2)(3)互为逆否命题．(2)(4)互为否命题．(3)(4)互为逆命题．探究2通过以上探究，你认为如果原命题为真，那么它的逆命题、否命题、逆否命题的真假性是怎样的？【提示】原命题为真，它的逆命题，否命题不一定为真．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．原命题为真，它的逆否命题一定为真，两个命题互为逆否命题，它们的真假性相同．判断命题“已知a为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.【导学号：63470002】【精彩点拨】本题可直接写出其逆否命题判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．【自主解答】法一：其逆否命题为：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即Δ<0.所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真命题．法二：先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq\f(7,4).∵eq\f(7,4)>1，∴a≥1.∴原命题为真．又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真．由于互为逆否命题的两个命题有相同的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假.[再练一题]3．命题：已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．【解】逆命题：已知a，b为实数，若a2－4b≥0，则x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a，b为实数，若a2－4b<0，则x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．[构建·体系]1．下列语句不是命题的有()①若a＞b，b＞c，则a＞c；②x＞2；③3＜7；④函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在R上是增函数．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①③④是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．【答案】B2．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥eq\f(1,2)”的否命题是()A．若a2＋b2＜eq\f(1,2)，则a＋b≠1B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜eq\f(1,2)C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜eq\f(1,2)D．若a2＋b2≥eq\f(1,2)，则a＋b＝1【解析】“a＋b＝1”，“a2＋b2≥eq\f(1,2)”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2＜eq\f(1,2)”，故否命题为：“若a＋b≠1，则a2＋b2＜eq\f(1,2)”．【答案】C3．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________．【解析】“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．【答案】如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数4．命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为________，是________命题(填真、假)．【解析】命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为“10的常用对数是1”，是真命题．【答案】10的常用对数是1真5．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.【解】(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列语句是命题的是()A．2023是一个大数B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗？D．a≤15【解析】B选项可以判断真假，是命题．【答案】B2．以下说法错误的是()A．原命题为真，则它的逆命题可以为真，也可以为假B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题【解析】A显然正确；B错误，原命题与否命题的真假可能相同，也可能相反；C、D为真命题．【答案】B3．下列命题中，为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题【解析】B选项中，否命题为“若x≤1，则x2≤1”，为假命题；C选项中，否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，为假命题；D选项中，逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，为假命题．【答案】A4．命题“对于正数a，若a>1，则lga>0.”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】原命题是正确的，所以其逆否命题也是正确的；逆命题“对于正数a，若lga>0，则a>1”是真命题，所以其否命题也正确．【答案】D5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的假命题是()A．若m⊥n，m⊥α，neq\o(⊆,\s\up0(/))α，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或mαC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β【解析】C是假命题，m∥α，α⊥β时，m与β的关系可以是m⊥β，可以是m∥β，可以mβ或m与β斜交．【答案】C二、填空题6．命题“无理数是无限不循环小数”中，条件是________，结论是________.【导学号：63470003】【解析】该命题可改写为“如果一个数是无理数，那么它是无限不循环小数”．条件是：一个数是无理数；结论是：它是无限不循环小数．【答案】一个数是无理数它是无限不循环小数7．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则有①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中所有正确叙述的序号是________．【解析】①②正确，③逆否命题应为：“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”，故③错误．【答案】①②8．有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．【解析】④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．【答案】①②③三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数图像与x轴有公共点．【解】(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2>bc2，则a>b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【证明】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[能力提升]1．命题“若－1<x<1，则x2<1”的逆否命题是()A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1B．若x2<1，则－1<x<1C．若x2>1，则x>1或x<－1D．若x2≥1，则x≥1或x≤－1【解析】“－1<x<1”的否定为“x≥1或x≤－1”；“x2<1”的否定为“x2≥1”，由逆否命题定义知，D正确．【答案】D2．下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2－x－6＞0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】(1)否命题：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，真命题．(2)逆否命题：若a2≤b2，则a≤b，假命题．(3)否命题：若x＞－3，则x2－x－6≤0，假命题．(4)逆命题：相等的两个角是对顶角，假命题，故选B.【答案】B3．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．【解析】由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1,m＋1≥2))，∴1≤m≤2.【答案】[1,2]4．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋eq\f(x2,4)<1，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围.【导学号：63470004】【解】由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.由1－x＋eq\f(x2,4)<1，得x2－4x<0，解得0<x<4.因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－1或x≥3,x≤0或x≥4))，解得x≤－1或x≥4.所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．§2充分条件与必要条件充分条件与必要条件充分条件与判定定理必要条件与性质定理充要条件1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义．(重点)2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．(易混点)3．通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(难点)[基础·初探]教材整理1充分条件与必要条件阅读教材P6“思考交流”以上部分，完成下列问题．命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p____qp____q条件关系p是q的______条件q是p的______条件p不是q的______条件q不是p的______条件【答案】⇒eq\o(⇒,\s\up0(/))充分必要充分必要已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件．【解析】∵A⊆B，故x∈A⇒x∈B，反之不成立．∴“x∈A”是“x∈B”的充分条件，“x∈B”是“x∈A”的必要条件．【答案】充分必要教材整理2充要条件阅读教材P8～P9“思考交流”以上部分，完成下列问题．一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．此时，我们说，p是q的____________，简称________．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q____________.【答案】p⇔q充分必要条件充要条件互为充要条件判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若peq\o(⇒,\s\up0(/))q与qeq\o(⇒,\s\up0(/))p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()(2)若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件．()(3)若p⇒q，且qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，则p是q的必要不充分条件．()【答案】(1)√(2)√(3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]充分条件、必要条件和充要条件的判断下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝eq\r(ac)；(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．【精彩点拨】可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．【自主解答】(1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±eq\r(ac)，则peq\o(⇒,\s\up0(/))q；若b＝eq\r(ac)，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，故p是q的既不充分也不必要条件．(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即peq\o(⇒,\s\up0(/))q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q⇒p，故p是q的必要不充分条件．(3)当a>b时，有2a>2b，即p⇒q，当2a>2b时，可得a>b，即q⇒p，故p是q的充要条件．(4)法一若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即peq\o(⇒,\s\up0(/))q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，故p是q的既不充分也不必要条件．法二如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．1．判断p是q的什么条件，其实质是判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q为真且q⇒p为假，则p是q的充分不必要条件；若p⇒q为假而q⇒p为真，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q与q⇒p均为真，则p是q的充要条件；若p⇒q及q⇒p均不正确，则p是q的既不充分也不必要条件．2．当不易判断p⇒q的真假时，可从集合的角度入手考虑．首先建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}.若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若Aeq\o(⊆,\s\up0(/))B且Beq\o(⊆,\s\up0(/))A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件[再练一题]1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)【导学号：63470005】(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；(2)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(3)p：x>1，q：x2>1.【解】(1)因为命题“若(x－2)(x－3)＝0，则x＝2”是假命题，而命题“若x＝2，则(x－2)(x－3)＝0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即p是q的必要不充分条件．(2)∵p⇒q，而qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，∴p是q的充分不必要条件．(3)p对应的集合为P＝{x|x>1}，q对应的集合为Q＝{x|x<－1或x>1}，∵PQ，∴p是q的充分不必要条件.充分条件、必要条件的应用是否存在实数m，使“4x＋m<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．【精彩点拨】分别写出不等式“4x＋m<0”与“x2－x－2>0”的解集，根据两解集的包含关系，求出m的取值范围．【自主解答】由x2－x－2>0，得x>2或x<－1；由4x＋m<0，得x<－eq\f(m,4)，由题意，得－eq\f(m,4)≤－1，m≥4.即m≥4时，“4x＋m<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．已知充分条件、必要条件或充要条件，求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合的关系，转化为集合与集合间的包含关系，然后建立关于参数的不等式组进行求解.[再练一题]2．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解】p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2，,1＋m<10，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2，,1＋m≤10，))解得m≤3.又m>0，所以实数m的范围为{m|0<m≤3}．[探究共研型]充要条件的证明和求解探究1下列能作为a，b中至少有一个不为零的充要条件是哪个？①ab＝0；②ab>0；③a2＋b2＝0；④a2＋b2>0.【提示】a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0，故④正确．探究2“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是什么？【提示】函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1.已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)．求证：{an}为等比数列的充要条件是q＝－1.【精彩点拨】eq\x(分清条件p与结论q)→eq\x(证充分性p⇒q)→eq\x(证必要性q⇒p)→eq\x(结论p⇔q)【自主解答】充分性：当q＝－1时，Sn＝pn－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时，也成立，∴数列{an}的通项公式为an＝pn－1(p－1)．又∵p≠0且p≠1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，∴数列{an}为等比数列．必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．∵p≠0且p≠1，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p.又∵{an}为等比数列，∴eq\f(a2,a1)＝eq\f(an＋1,an)＝p，∴eq\f(pp－1,p＋q)＝p，∴q＝－1.综上可知，{an}是等比数列的充要条件是q＝－1.1．条件已知证明结论成立是充分性．结论已知推出条件成立是必要性．2．证明p是q的充要条件，要证明两个方面：(1)充分性(p⇒q)；(2)必要性(q⇒p)．3．证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．[再练一题]3．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.【导学号：63470006】【解】①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(1,a)<0，,Δ＝1－4a≥0))⇒0<a≤eq\f(1,4).综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤eq\f(1,4).[构建·体系]1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的()A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．【答案】B2．(2023·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】结合平面与平面平行的判定与性质进行判断．当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βeq\o(⇒,\s\up0(/))α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．【答案】B3．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的________条件．【解析】由正弦定理及三角形的不等关系可知，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，故为充要条件．【答案】充要4．函数y＝x2＋bx＋c在x∈[2，＋∞)是单调函数的充要条件是________．【解析】y＝x2＋bx＋c在[2，＋∞)上单调⇔－eq\f(b,2)≤2⇔b≥－4.【答案】[－4，＋∞)5．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值是多少？【导学号：63470007】【解】∵x2＞1，∴x＜－1或x＞1.又∵“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件．∴x＜a⇒x2＞1但x2＞1eq\o(⇒,\s\up0(/))x＜a.eq\x(如图示：)∴a≤－1，∴a的最大值为－1.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下面四个条件中，使“a>b”成立的充分条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a＋1>b【解析】“p的充分条件是q”即“q是p的充分条件”，亦即“q⇒p”．因为a>b＋1⇒a>b，故选A.【答案】A2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件的()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1【解析】由f(x)＝x2＋mx＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))eq\s\up12(2)＋1－eq\f(m2,4)，∴f(x)的图像的对称轴为x＝－eq\f(m,2)，由题意：－eq\f(m,2)＝1，∴m＝－2.【答案】A3．已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<－eq\f(1,2)，则p是q的()A．充分条件 B．必要条件C．非充分也非必要条件 D．不能确定【解析】p所对应的集合为A＝{a|－1<a<0}，q所对应的集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a<－\f(1,2)))))，∴B⊆A，∴q⇒p，∴p是q的必要条件．【答案】B4．(2023·天津高考)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】|x－2|<1⇔1<x<3，x2＋x－2>0⇔x>1或x<－2.由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．【答案】A5．有下述说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)的充要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．其中正确的说法有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】a＞b＞0⇒a2＞b2，a2＞b2⇒|a|＞|b|eq\o(⇒,\s\up0(/))a＞b＞0，故①错．a＞b＞0⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，但eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)eq\o(⇒,\s\up0(/))a＞b＞0，故②错．a＞b＞0⇒a3＞b3，但a3＞b3eq\o(⇒,\s\up0(/))a＞b＞0，故③错．【答案】A二、填空题6．“cosα＝－eq\f(\r(3),2)”是“α＝eq\f(5,6)π”的________条件．【解析】α＝eq\f(5,6)π时，cosα＝－eq\f(\r(3),2)，反之不一定成立，故应是必要不充分条件．【答案】必要不充分7．下列说法正确的是________．①“两角相等”是“两角是对顶角”的充分条件；②“一个平面过另一个平面的垂线”是“这两个平面垂直”的充分条件；③“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的必要条件．【解析】因为“两角相等”eq\o(⇒,\s\up0(/))“两角是对顶角”，①错；“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”，③错．②正确．【答案】②8．直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1垂直的充要条件是________.【导学号：63470008】【解析】l1⊥l2，则2×3＋m×(－1)＝0，即m＝6.【答案】m＝6三、解答题9．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．【解】由(x－a)2<1，得a－1<x<a＋1，由x2－5x－24<0，得－3<x<8，∵N是M的必要条件，∴M⊆N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))∴－2≤a≤7.即a的取值范围是[－2,7]．10．已知p：ab≠0，a＋b＝1；q：ab≠0，a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.求证：p是q的充要条件．【证明】①先证充分性成立．∵ab≠0，a＋b＝1，∴b＝1－a.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.②再证必要性成立．∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0.∴(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0.∵a2－ab＋b2≠0，∴a＋b＝1.由①②知，p是q的充要条件．[能力提升]1．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．【答案】C2．若A：log2a<1，B：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A是B的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由log2a<1，解得0<a<2；而方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零的充要条件是a－2<0，解得a<2.因为命题：“若0<a<2，则a<2”是真命题，而“若a<2，则0<a<2”是假命题，所以“0<a<2”是“a<2”的充分不必要条件，所以A是B的充分不必要条件，选A.【答案】A3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则“eq\f(fx－f－x,x)<0”是“2x>4”成立的________条件．【解析】f(x)<0即x>2；当x<0时，f(x)>0，即x<－2，∴x>2或x<－2；而2x>4⇔x>2，所以前者是后者的必要不充分条件．【答案】必要不充分4．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.【解】依题意得a>0.由条件p：|x－1|>a得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<eq\f(1,2)，或x>1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a>1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq\f(1,2).令a＝1，则p：x<0，或x>2，此时必有x<eq\f(1,2)，或x>1.即p⇒q，反之不成立．∴最小正整数a＝1.§3全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定1．了解全称量词与存在量词的定义．2．理解全称命题与特称命题的含义．(重点)3．掌握全称命题与特称命题的否定方法．(重点)4．掌握各种命题的真假判断及应用．(难点)[基础·初探]教材整理1全称量词与全称命题阅读教材P11“存在量词与特称命题”以上部分，完成下列问题．“所有”“________”“______”“________”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有________的命题，叫作全称命题．【答案】每一个任何任意一条全称量词下列命题中，是全称命题的有________个．(1)任何一个实数乘以0都等于0；(2)自然数都是正整数；(3)每一个向量都有大小；(4)一定存在没有最大值的二次函数．【解析】(1)(2)(3)中都含有全称量词，是全称命题．【答案】3教材整理2存在量词与特称命题阅读教材P11“存在量词与特称命题”部分，完成下列问题．“有些”“__________”“________”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有__________的命题，叫作特称命题．【答案】至少有一个有一个存在量词下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n0，使n0能被11整除C．x>7D．任意x∈M，p(x)成立【解析】A、C不是命题，D是全称命题，B是特称命题．【答案】B教材整理3全称命题与特称命题的否定阅读教材P12“练习”以下至P13“例2”以上部分，完成下列问题．1．全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需__________就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是__________．2．特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都________这一性质，实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是________．【答案】1.找出一个反例特称命题2.不满足全称命题命题：“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1≤0”的否定是________．【解析】∵命题“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1≤0”是特称命题，∴否定命题为：“任意x∈R，使x2＋x＋1＞0”，故答案为：“任意x∈R，使x2＋x＋1＞0”．【答案】任意x∈R，使x2＋x＋1＞0[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]全称命题与特称命题的判断及真假判断(1)下列命题是特称命题的是()①所有的合数都是偶数；②有一个实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＝0；③存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1≥1；④正方形都是矩形．A．①④B．②③C．①③D．②④(2)下列命题中的真命题的个数为()①任意x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2)；②存在α0，β0，使cos(α0－β0)＝cosα0－cosβ0；③任意x，y∈N，都有x－y∈N.A．0B．1C．2D．3【精彩点拨】(1)先确定命题中有哪种量词，进而确定是哪一种命题．(2)先确定是哪种命题，再通过正面推理证明或举反例的方法说明命题真假．【自主解答】(1)①④是全称命题，②③是特称命题．(2)①真命题，因为x2－x＋1－eq\f(1,2)＝x2－x＋eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)>0，所以x2－x＋1>eq\f(1,2)恒成立；②真命题，如α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)，符合题意；③假命题，如x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.【答案】(1)B(2)C1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词与存在量词，要注意，有的全称命题不含全称量词，这时要根据命题涉及的意义去判断．2．全称命题与特称命题的真假判断的技巧(1)全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．[再练一题]1．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有tanx1<tanx2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．【解】(1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题.全称命题、特称命题的否定写出下列命题的否定：(1)三个给定产品都是次品；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数；(4)有的四边形是正方形.【导学号：63470009】【精彩点拨】先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．【自主解答】(1)是全称命题，否定是：三个给定产品中至少有一个不是次品．(2)是全称命题，否定为：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(3)是特称命题，否定为：方程x2－8x＋15＝0的每一个根都不是偶数．(4)是特称命题，否定为：所有四边形都不是正方形．1．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．2．常见关键词的否定：关键词是><都是所有有的至少有n个词语的否定不是≤≥不都是有一个任意至多有n－1个[再练一题]2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)有些三角形的三条边相等；(3)菱形的对角线互相垂直；(4)存在一个实数，使得3x<0.【解】(1)存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根；因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故为假命题．(2)所有三角形的三条边不全相等；显然为假命题．(3)有的菱形的对角线不垂直；显然为假命题．(4)对于所有实数x，都满足3x≥0；显然为真命题．[探究共研型]全称命题与特殊命题的应用探究1对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求实数m的取值范围．【提示】令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥－eq\r(2)，又∵任意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－eq\r(2))．探究2存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．【提示】令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．又∵存在x∈R，sinx＋cosx>m有解，∴只要m<eq\r(2)即可，∴所求m的取值范围是(－∞，eq\r(2))．已知对任意的x∈(－∞，1]，不等式1＋2x＋(a－a2)4x>0恒成立，求a的取值范围．【精彩点拨】这是一个全称命题，可以分离参数，通过求函数的最值解不等式求得参数范围．【自主解答】令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]．∴原不等式可化为：a2－a<eq\f(t＋1,t2).只使上式在t∈(0,2]上恒成立，只需求出f(t)＝eq\f(t＋1,t2)在t∈(0,2]上的最小值即可．∵f(t)＝eq\f(t＋1,t2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4).∵eq\f(1,t)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，∴f(t)min＝f(2)＝eq\f(3,4).∴a2－a<eq\f(3,4).∴－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).eq\o(1.)利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．eq\o(2.)能成立与恒成立问题的解法：(1)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上能成立，则f(x)min≤m；若不等式f(x)>m在区间D上能成立，则f(x)max≥m.(2)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则f(x)max≤m；若含有参数的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则f(x)min≥m.(3)特称命题是真命题，可以转化为能成立问题，全称命题是真命题，可以转化为恒成立问题解决．[再练一题]3．已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围.【导学号：63470010】【解】在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，,4－2p－2－2p2－p＋1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≥1或p≤－\f(1,2)，,p≥\f(3,2)或p≤－3.))∴p≥eq\f(3,2)或p≤－3.[构建·体系]1．下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3【解析】命题①②含有全称量词，命题③含有存在量词，为特称命题，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．【答案】D2．命题“存在x0∈R,2eq\s\up10(x0)≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2eq\s\up10(x0)＞0B．存在x0∈R,2eq\s\up10(x0)≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x＞0【解析】命题的否定是：对任意x∈R,2x＞0.【答案】D3．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是________．①存在一个α，使tan(90°－α)＝tanα；②存在实数x0，使sinx0＝eq\f(π,2)；③对一切α，sin(180°－α)＝sinα；④sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.【解析】只有①②中的命题是特称命题，而由于|sinx|≤1，所以sinx0＝eq\f(π,2)不成立，故②中命题为假命题．又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tanα，故①中命题为真命题．【答案】①4．命题：“存在x∈R，x2＋x＋1≤0”的否定是________．【解析】∵命题“存在x∈R，x2＋x＋1≤0”是特称命题，∴否定命题为：“任意x∈R，使x2＋x＋1>0”，故答案为：“任意x∈R，使x2＋x＋1>0”．【答案】任意x∈R，使x2＋x＋1>05．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(3)存在实数x0，使得eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2.【解】(1)是特称命题，是真命题．(2)是全称命题，是假命题．(3)是特称命题，是假命题．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数【解析】选项A、B、C是全称命题，选项D含有存在量词，故选D.【答案】D2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为()A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立【解析】本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．【答案】A3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】否定原命题结论的同时要把量词做相应改变．故选D.【答案】D4．存在实数x0，使得xeq\o\al(2,0)－4bx0＋3b<0成立，则b的取值范围是()A．b<0 B．b>eq\f(3,4)C．b<eq\f(3,4) D．b<0或b>eq\f(3,4)【解析】由题意，知Δ＝16b2－12b>0.∴b<0或b>eq\f(3,4).【答案】D5．下列命题为真命题的是()A．对任意x∈R，都有cosx<2成立B．存在x∈Z，使log2(3x－1)<0成立C．对任意x>0，都有3x>3成立D．存在x∈Q，使方程eq\r(2)x－2＝0有解【解析】A中，由于函数y＝cosx的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3)，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，eq\r(2)x－2＝0⇔x＝eq\r(2)∉Q，所以D是假命题，故选A.【答案】A二、填空题6．下列命题中全称命题是________；特称命题是________．①正方形的四条边相等；②存在两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【解析】①③是全称命题，②④是特称命题．【答案】①③②④7．(2023·宁波高二检测)命题“任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．【解析】将“任意”换为“存在”，再否定结论．【答案】存在x0∈R，若y>0，则xeq\o\al(2,0)＋y≤08．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________.【导学号：63470011】【解析】命题为真命题时，a≤0时显然存在x，使ax2＋2x＋a<0.当a>0时，Δ＝4－4a2>0即0<a<1.综上可知a<1.【答案】(－∞，1)三、解答题9．判断下列全称命题或特称命题的真假．(1)所有的单位向量都相等；(2)公差大于零的等差数列是递增数列；(3)有些向量的坐标等于其起点的坐标；(4)存在x∈R，使sinx－cosx＝2.【解】(1)假命题．如果两个单位向量e1，e2的方向不相同，尽管有|e1|＝|e2|＝1，但是e1≠e2.(2)真命题．设等差数列{an}的首项为a1，公差d>0，则an＋1－an＝a1＋nd－[a1＋(n－1)d]＝d>0，∴an＋1>an.所以公差大于零的等差数列是递增数列．(3)真命题．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x1＝x1，,y2－y1＝y1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2x1，,y2＝2y1.))如A(1,3)，B(2,6)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(1,3)，满足题意．(4)假命题．由于sinx－cosx＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx·\f(\r(2),2)－cosx·\f(\r(2),2)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的最大值为eq\r(2)，所以不存在实数x，使sinx－cosx＝2.10．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．【解】(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升]1．下列结论正确的个数为()①命题p“存在x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，使得cosx0≤x0”的否定为“任意x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosx>x”；②命题“任意x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)>0”的否定为“存在x0∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x0)<0”；③函数y＝x2－2x和函数y＝x－eq\f(1,x)的单调递增区间都是[1，＋∞)．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①显然正确；②不正确，应为“存在x0∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x0)≤0”；函数y＝x2－2x的单调增区间为[1，＋∞)，函数y＝x－eq\f(1,x)的单调增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，③不正确．【答案】B2．有四个关于三角函数的命题：p1：存在x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyp3：任意x∈[0，π]，eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinxp4：sinx＝cosy⇒x＋y＝eq\f(π,2)，其中的假命题是()A．p1，p4 B．p2，p4C．p1，p3 D．p2，p4【解析】由于对任意x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1，故p1是假命题；当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，sinx－siny＝sin(x－y)成立，故p2是真命题．对于p3：任意x∈[0，π]，eq\r(\f(1－cos2x,2))＝eq\r(\f(2sin2x,2))＝|sinx|＝sinx为真命题．对于p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝eq\f(π,2)为假命题，例如x＝π，y＝eq\f(π,2)，满足sinx＝cosy＝0，而x＋y＝eq\f(3π,2).【答案】A3．(2023·宿州高二检测)若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．【解析】由题意有：0<a2－1<1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1>0，,a2－1<1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1，,－\r(2)<a<\r(2)，))∴－eq\r(2)<a<－1或1<a<eq\r(2).【答案】(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))4．已知函数f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)－2))，若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．【解】根据f(x)>0得lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)－2))>lg1，即x＋eq\f(a,x)－2>1在x∈[2，＋∞)上恒成立，分离参数，得a>－x2＋3x在x∈[2，＋∞)上恒成立，设g(x)＝－x2＋3x，则g(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,4)，当x∈[2，＋∞)时，g(x)max＝g(2)＝2，∴a>2，故a的取值范围是(2，＋∞)．§4逻辑联结词“且”“或”“非”逻辑联结词“且”逻辑联结词“或”逻辑联结词“非”1．通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．(重点)2．会判断“p且q”“p或q”“非p”命题的真假．(难点)[基础·初探]教材整理1逻辑联结词“且”阅读教材P15“例1”以上部分，完成下列问题．1．定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题________．2．命题p且q的真假判定pqp且q真真________真假________假真________假假________3.逻辑联结词“且”与集合中的“交集”的含义相同，可以用“且”来定义集合A与B的交集：A∩B＝________.【答案】且q2.真假假假3.{x|x∈A且x∈B}设命题p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p且q为真命题，则x＝________，y＝________.【解析】由题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3，,x－y＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－3.))【答案】3－3教材整理2逻辑联结词“或”阅读教材P16“例2”以上部分，完成下列问题．1．定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题________．2．命题p或q的真假判定pqp或q真真________真假________假真________假假________3.逻辑联结词“或”与集合中的“并集”含义相同，可以用“或”来定义集合A与B的并集：A∪B＝____________.【答案】或q2.真真真假3.{x|x∈A或x∈B}已知p：2＋3＝5，q：5＜4，下列判断正确的是()A．p为假命题 B．q为真命题C．“p且q”为真命题 D．“p或q”为真命题【解析】p为真命题，q为假命题，故“p或q”为真，“p且q”为假．【答案】D教材整理3逻辑联结词“非”阅读教材P17“练习”以上部分，完成下列问题．1．定义一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作________，读作________．2．命题﹁p的真假