高中数学北师大版1第一章常用逻辑用语命题 第1章

§1命题1.了解命题的概念.(重点)2.掌握四种命题的结构形式.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题.(难点)3.熟练判断命题的真假性.(易混点)[基础·初探]教材整理1命题及相关概念阅读教材P3“问题提出”以上的部分，完成下列问题.(1)定义：可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫命题.(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命题：判断为真的语句.,假命题：判断为假的语句.))(3)形式：通常把命题表示为“若p则q”的形式，其中p是条件，q是结论.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x＞16”(2)“一个实数不是正数就是负数”是真命题.()(3)若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同.()【解析】(1)×，因为没有给定变量x的值，无法确定其真假，故不是命题.(2)×，因为0既不是正数也不是负数，所以是假命题.(3)√，互否命题的真假性相反.【答案】(1)×(2)×(3)√2.下列语句是命题的是()不是无限不循环小数＞5C.请同学们用好《非常学案》！D.三角形是平面图形吗？【解析】B不能判断其真假，C、D分别是祈使句、疑问句不是命题.【答案】A教材整理2四种命题及关系阅读教材P3“问题提出”～P4“例1”以上的部分，完成下列问题.1.四种命题互逆命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件互否命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定互为逆否命题一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定2.四种命题之间的关系互为逆命题、互为否命题、互为逆否命题都是说的两个命题之间的关系.图1­1­11.命题：“两对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A.逆命题 B.否命题C.逆否命题 D.等价命题【解析】根据逆命题的定义知，选项A正确.【答案】A2.将下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断相应命题的真假.(1)正数a的平方根不等于0；(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形.【解】(1)“若a是正数，则a的平方根不等于0”逆命题是：“若a的平方根不等于0，则a是正数”，假命题；否命题是“若a不是正数，则它的平方根等于0”，假命题；逆否命题是：“若a的平方根等于0，则a不是正数”，真命题.(2)“若平行四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形”，逆命题是：“若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等”，真命题；否命题是“若平行四边形的两条对角线相等，则它是矩形，真命题；逆否命题是：“若平行四边形是矩形，则它的两条对角线相等”，真命题.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]命题及其真假判断(1)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的条件为________，结论为________.【自主解答】命题“若p则q”其中p为条件，q为结论.【答案】x，y都是奇数，x＋y是偶数.(2)①x2－5x＋6＝0.②函数f(x)＝x2是偶数.③若ac＞bc则b＞c.④证明x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根.以上语句是命题的为________.【自主解答】①因为x的值不确定，无法判断其真假，故不是命题，②，③是命题，④是祈使句，故不是命题.【答案】②③(3)“常数列是等差数列”是____命题，“常数列是等比数列”是____命题.(填“真”或“假”)【自主解答】常数列是等差数列是真命题，如果常数为0,0,0，……则不是等比数列，故“常数列是等比数列”是假命题.【答案】真假1.能否判断真假是命题的本质条件，形式上陈述句是命题的主要表现形式，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.2.判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证；判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可.命题的结构分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：【导学号：32550000】(1)若a2＋b2＝0，则a，b都为0；(2)两个奇数的和是偶数.【精彩点拨】将命题写成“若p，则q”的形式，然后再依照四种命题的关系写出相应的逆命题、否命题、逆否命题.【自主解答】(1)原命题：若a2＋b2＝0，则a，b都为0.逆命题：若a，b都为0，则a2＋b2＝0.否命题：若a2＋b2≠0，则a，b不都为0.逆否命题：若a，b不都为0，则a2＋b2≠0.(2)原命题：若两个整数都是奇数，则这两个整数的和是偶数.逆命题：若两个整数的和是偶数，则这两个整数都是奇数.否命题：若两个整数不都是奇数，则这两个整数的和不是偶数.逆否命题：若两个整数的和不是偶数，则这两个整数不都是奇数.1.当一个命题不是“若p，则q”的形式时，要先将命题改写成“若p，则q”的形式，明确条件是什么，结论是什么，然后结合四种命题的关系写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.“都是”的否定是“不都是”；“全是”的否定是“不全是”.[再练一题]1.设原命题为“若ab＝0则a＝0”.【解】逆命题：若a＝0，则ab＝0，否命题：若ab≠0，则a≠0，逆否命题：若a≠0，则ab≠0.四种命题的真假判断设命题为“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假.【精彩点拨】利用四种命题的关系给出其他三种形式，对每一个命题判断真假即可.【自主解答】否命题为：“若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0没有实数根”；逆命题为：“若关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根，则m＞0”；逆否命题：“若关于x的方程x2＋x－m＝0没有实数根，则m≤0”.由方程的判别式Δ＝1＋4m≥0得m≥－eq\f(1,4)，即m≥－eq\f(1,4)时，方程有实根.∴m＞0使1＋4m＞0，方程x2＋x－m＝0有实数根，∴原命题为真，从而逆否命题为真.但方程x2＋x－m＝0有实根，必须m≥－eq\f(1,4)，不能推出m＞0，故逆命题为假，所以否命题也为假命题.对一个原命题来说，其逆命题和否命题、原命题和逆否命题同真同假.在进行真假判断时，应抓住四个命题之间的关系，在二者之间选择较简单的命题进行判断.[再练一题]2.设命题为：“若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根”.试写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.【导学号：32550001】【解】逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，假命题.否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题.逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，假命题.[探究共研型]命题及其真假探究含有变量的语句是否是命题？【提示】对于含有变量的语句，要根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.例如，x2＋4x＋5＞0是命题；x2＋4x＋3＞0不是命题.因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0，对于x∈R，可以判断真假，是命题，并且是真命题；而x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，对于x∈R，x2＋4x＋3可以表示正数，也可以表示负数和零，不能判断真假，所以x2＋4x＋3＞0不是命题.四种命题及其关系探究1是否只有“若p，则q”形式的命题才有逆命题、否命题和逆否命题？【提示】根据四种命题的概念，可知只有能改写为“若p，则q”形式的命题才有逆命题、否命题、逆否命题.注意：将非“若p，则q”的命题改写为“若p，则q”形式的命题不是唯一的.如“两条平行线的同位角相等”，可以写成“若两直线平行，则同位角相等”，或“若两个角是两条平行线的同位角，则这两个角相等”.探究2四种命题中真命题有几个？【提示】因为原命题与逆否命题有相同的真假性，逆命题与否命题有相同的真假性，因此四种命题中真命题的个数一定为偶数，即真命题的个数只可能为0,2,4.并且，根据四种命题中真命题的个数只可能为0,2,4，可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确.探究3如何运用互为逆否命题的两个命题之间的关系？【提示】互为逆否命题的两个命题同真同假，也称为等价命题，在本节的主要应用有两点：(1)通过判断逆否命题的真假判断原命题的真假.(2)用于证明命题：当原命题的真假性不易证明时，可以先证明它的逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性.探究4若一个命题有大前提，在写其他三种命题时，应注意什么？【提示】(1)有大前提的命题，改写成“若p，则q”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p，则q”.(2)对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变.(3)对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提.将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大，”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题.【精彩点拨】原命题有两个条件：“a＞0”和“x增大”，其中“a＞0”是大前提，改写为“若p，则q”的形式时，要把“a＞0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为条件.写否命题时，易把“a＞0”和“x增大”都否定了，从而改变了一次函数的性质，特别是当a＝0时，便失去了研究“增”与“不增”的意义.【自主解答】“若p，则q”的形式：当a＞0时，若x增大，则函数y＝ax＋b的值也随着增大.否命题：当a＞0时，若x不增大，则函数y＝ax＋b的值也不增大.[再练一题]3.写出命题“已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2”【解】逆命题：已知x，y为正整数，若y＝3，x＝2则y＝x＋1.[构建·体系]1.下列语句不是命题的是()是3的倍数 难道不能被3整除吗？是15的约数 和5都是15的约数【解析】根据命题的定义选B.【答案】B2.命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是()A.若a2＞b2，则a≤b B.若a2≤b2，则a≤bC.若a≤b，则a2＞b2 D.若a≤b，则a2≤b2【解析】根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若﹁p，则﹁q.”该题中，p为a2＞b2，q为a＞b，故﹁p为a2≤b2，﹁q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.【答案】B3.下列命题是真命题的是()A.若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝yB.若x2＝1，则x＝1C.若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y)D.若x＜y，则x2＜y2【解析】x2＝1⇒x＝±1，故B错误；当x＝y＜0时，eq\r(x)＝eq\r(y)无意义；当x＝－2，y＝1时，显然x2＞y2.【答案】A4.命题“无理数是无限不循环小数”中，条件是________________，结论是____________________.【解析】该命题可改写为“如果一个数是无理数，那么它是无限不循环小数”.条件是：一个数是无理数；结论是：它是无限不循环小数.【答案】一个数是无理数它是无限不循环小数5.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题.(1)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧；(2)已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.【解】(1)原命题：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧.逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线.否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线.(2)原命题：已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b且c＝d.否命题：已知a，b，c，d是实数，若a与b，c