2022年三年全国各地中考数学冲刺分类汇编等腰三角形

2022年全国各地中考数学真题分类汇编等腰三角形一选择题1〔2022

肇庆〕等腰三角形两边长分别为

4和

8，那么这个等腰三角形的周长为A．16B．18C．20D．16或

20【解析】先利用等腰三角形的性质

:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边

,确定三角形的第三边长,最后求得其周长【答案】C【点评】此题将两个简单的知识点

:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起难度较小2．〔2022江西〕等腰三角形的顶角为80°，那么它的底角是〔A．20°B．50°C．60°D．80°

〕考点：等腰三角形的性质。解析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°∴底角=〔180°﹣80°〕÷2=50°．应选B．点评：考察三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．3．〔2022?中考〕把等腰△ABC沿底边BC翻折，获得△DBC，那么四边形ABDC〔〕解答：解：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，获得△DBC，∴四边形ABDC是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．应选C．点评：此题考察了中心对称图形，等腰三角形的性质，轴对称图形，判断出四边形ABDC是菱形是解题的重点．4〔2022荆州〕如图，△ABC是等边三角形，117A22EDQPBFC第9题图20C51511515151225S△ABD3AB24cm8cm44cm8cm4cm8cm8cm4cm20cm20cm20cm20cmDCOABA,B,CCAO25BCO35AOBAOCAOCOCAOACO25CAOACO25ACB253560ACBAOBAOB2ACB260120AD?BCBP?AC465BP242455DCOAB第15题图图511ABC22ADEBC〔第7题〕BAMEACGFEBCBCDCD

D5C2C5cm6cm15cm16cm17cm16cm17cm△ABCABAC13BC10DEAB10156075131313136cm2〔2022山东烟台，14,4分〕等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为【答案】4或6〔2022浙江杭州，16，4〕在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线∥AB，F是上的一点，且＝，那么点F到直线的距离为．ABAFBC【答案】31或31224〔2022浙江台州，14,5分〕等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，假设∠ADF=80o，那么∠EGC的度数为【答案】80o5〔2022浙江省嘉兴，14，5分〕如图，在△ABC中，AB=AC，A40，那么△ABC的外角∠BCD＝°．BACD〔第14题〕【答案】1106〔2022湖南邵阳，11，3分〕如图〔四〕所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，那么∠A=_______。【答案】80°。提示：∠A=180°-2×50°=80°。7〔2022山东济宁，15，3分〕如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，那么FG．AFCEFGAB【答案】

D第15题128〔2022湖南怀化，13，3分〕如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，那么AD=__________________【答案】49〔2022四川乐山16，3分〕如图，∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A、B，使B1B=BA，连接AB按此规律上去，记∠AB1B=，∠A3B2B32，，∠An+1BnBn1n那么⑴=；⑵=。【答案】⑴180⑵2n118022n10．〔2022

湖南邵阳，

11，3

分〕如图〔四〕所示，在△

ABC中，AB=AC，∠B=50°，那么∠A=_______。【答案】

80°。11〔2022

贵州贵阳，

15，4

分〕如图，等腰

Rt△ABC的直角边长为

1，以

Rt△ABC的斜边

AC为直角边，画第二个等腰

Rt△ACD，再以

Rt△ACD的斜边

AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，那么由这五个等腰直角三角形所组成的图形的面积为______．〔第15题图〕【答案】错误!〔2022广东茂名，14，3分〕如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，那么∠E＝度．【答案】15三、解答题1〔2022广东东莞，21，9分〕如图〔1〕，△与△为等腰直角三角形，与重ABCEFDACDE合，==9，∠＝∠＝90°，固定△，将△绕点A顺时针旋转，当边与ABEFBACDEFABCEFDDFAB边重合时，旋转中止不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF〔或它们的延长线〕分别交BC〔或它的延长线〕于G、H点，如图〔〔1〕问：始终与△AGC相似的三角形有

2〕及

；〔2〕设

CG＝，BH＝，求关于的函数关系式〔只要求根据

2的情况说明原因〕；〔3〕问：当为何值时，△

AGH是等腰三角形【解】〔1〕△HGA及△HAB；〔2〕由〔1〕可知△AGC∽△HAB∴CGAC，即x9，ABBH9y81所以，yx3〕当CG＜1BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH2AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此时，△AGH不可能是等腰三角形；1BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；当CG=2992此时，GC=2，即=22当CG＞1BC时，由〔1〕可知△AGC∽△HGA2所以，假设△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH假设AG=AH，那么AC=CG，此时=9综上，当=9或92时，△AGH是等腰三角形．2〔2022山东德州19,8分〕如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．〔1〕求证AD=AE；2连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明原因．ADEOBC1ACDABEA=AADC=AEB=90°AB=ACA△ACD△ABE3AD=AE4DE25ORt△ADO△AEOBCOA=OAAD=AE6△ADO△AEO=DAOEAOOABAC7AB=ACOABC8320222310DABCCADCBD15°EADCECA1DEBDC2MDEDC=DMME=BD1ABCCAD=CBD=15oooo∴∠BAD=∠ABD=45-15=30，BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD∠BAD=30o30o=60o，∠EDC=∠DAC∠DCA=15o45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，DE平分∠BDC；2〕如图，连接MC，DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．4〔2022湖北鄂州，18，7分〕如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，假设AE=4，FC=3，求EF长．ADEB第18题图FC【答案】连接BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=55〔2022浙江衢州，23,10分〕ABC是一张等腰直角三角形纸板，CRt，ACBC2要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法〔如图1〕，比较甲、乙两种剪法，哪一种剪法所得的正方形面积更大请说明原因AAMEDNQCFBCPB〔第23题图1〕〔第23题〕图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的ADE和BDF中，分别剪取正方形，获得两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为如图2，那么；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，获得四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为如图3；持续操作下去那么第10次剪取时，求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和【答案】1解法1：如图甲，由题意得AEDEEC,即EC1,S正方形CFDE1如图乙，设MNx，那么由题意，得AMMQPNNBMNx,3x22,解得x223S正方形PNMQ(22)2839又189甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，S正方形CFDE1SABC12解法2：如图甲，由题意得AEDEEC，即EC=1如图乙，设MNx,那么由题意得AMMQQPPNNBMNx223x22,解得x3又122,即ECMN3甲种剪法所得的正方形的面积更大21S2231S109213解法1：探索规律可知：Sn1‘2n2S1S2S1021111节余三角形的面积和为：1429292解法2：由题意可知，第一次剪取后节余三角形面积和为2S1=1=S1第二次剪取后节余三角形面积和为S1S2111S222第三次剪取后节余三角形面积和为S2S3111S32441第十次剪取后节余三角形面积和为SSS=910102962022浙江绍兴，23，12分数学课上，李老师出示了如下框中的题目在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明原因.

AEDBC小敏与同桌小聪议论后，进行了如下解答：〔1〕特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：A

AEE〔填“>〞,“DB第CDBC〞,第25题图125题图2“<〞或“=〞〕原因如下：如图2，过点作EF//BC，交于点〔请你完成以下解答过程〕〔3〕拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且EDEC假设ABC的边长为，AE2，1求的长〔请你直接写出结果〕【答案】〔1〕=〔2〕=方法一：如图，等边三角形中，AEDBCABCACBBAC60，ABBCAC,EF//BC,AEFAFE60BAC,AEF是等边三角形，AEAFEF,ABAEACAF,即BECF,又ABCEDBBED60，ACBECBFCE60EDEC,EDBECB,BEDFCE,DBEEFC,DBEF,AEBD.方法二：在等边三角形中，ABCABC

ACBEDB

60，ABD120,BED,ACB

ECB

ACE,EDEC,EDBECB,BEDACE,FE//BC,AEFAFE60AEF是正三角形，

BAC,EFC180

ACB

120

ABDEFC

DBE,DBEF,而由AEF是正三角形可得EFAE.AEDB.31或37〔2022浙江台州，23,12分〕如图1，过△ABC的极点A分别做对边BC上的高AD和中线AE，点D是垂足，点E是BC中点，规定ADEA0。。特其他，当点D重合时，规定BE别的。对、作近似的规定。1〕如图2，在Rt△ABC中，∠A=30o，求、；2〕在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上，画一个△ABC，使其极点在格点〔格点即每个小正方形的极点〕上，且A2，面积也为2；〔3〕判断以下三个命题的真假。〔真命题打√，假命题打×〕①假设△ABC中，②假设△ABC中，

AA

1，那么△ABC为锐角三角形；〔〕1，那么△ABC为直角三角形；〔〕③假设△ABC中，A1，那么△ABC为钝角三角形；〔〕【答案】解:〔1〕如图，作CD⊥AB，垂足为D，作中线CE、AF。∴ACF=1BF∵Rt△ABC中，∠CAB=30o，∴AE=CE=BE,∠CEB=60o，∴△CEB是正三角形，∵CD⊥AB∴AE=2DE∴cDE=1；∴=1，=1；AE22〔2〕如下列图：〔3〕①×；②√；③√。8〔2022浙江义乌，23，10分〕如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点EBBFMBFMA1A1B1B1EA1CADPADPCADPCB1图3图1图2180906090303022222BA1B1GAHDPC1A3(2x)23333xSABB13x233x(2x)432221122CQ2CH252423CGACx981119919ABBH9yBCBC22BC2yx222222ADEB第18题图FCABDEC图6〔如图②〕，找出图中与BE相等的线段，并说明。【答案】〔1〕证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=900CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=450∠CAD=∠CBD=450∴∠CAE=∠BCG又BF⊥CE∴∠CBG∠BCG=900又∠ACE∠BCF=90∴∠ACE=∠CBG

0∴△AEC≌△CGB∴AE=CG2〕BE=CM证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED∴∠CMA∠MCH=900∠BEC∠MCH=900∴∠CMA=∠BEC又，AC=BC，∠ACM=∠CBE=450∴△BCE≌△CAM∴BE=CM2022年全国各地中考数学真题分类汇编第23章等腰三角形一、选择题1．〔2022浙江宁波〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，那么图中的等腰三角形有A5个B4个C3个D2个ADEBC第10题【答案】ACPAB2．〔2022浙江义乌〕如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，DC1125C7323AADEDCBCB

BAABC第8题图1122x-y3,733x2y4，EN分328,别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动不与点A，B重合，连接DE，获得四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为〔〕〔A〕渐渐增大B渐渐减小C始终不变D先增大后变小【答案】C14．〔2022广东汕头〕如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的选项是〔〕A．AB＝BEB．AD＝DCC．AD＝DED．AD＝EC【答案】B15．〔2022重庆江津〕：△ABC中，AB=AC=，BC=6，那么腰长的取值范围是〔〕A．0x3B．C．3x6D．【答案】B16．〔2022重庆江津〕如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△

ADC

绕点顺时针旋转

90后，获得△，连接．以下结论中正确的个数有〔

〕①EAF

45

②△∽△

ACD③平分

CEF

④BE2

DC2

DE2A．１个

B．２个

C．３个

D．４个【答案】C17．〔2022广东茂名〕如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，那么需用篱笆的长是AEFBC第5题图A、15米B、20米C、25米D、30米【答案】C18．〔2022广东深圳〕如图1，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°。那么∠B的度数是A．40°B．35°C．25°D．20°【答案】

C19．〔2022贵州铜仁〕如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第

3个正△

A3B3C3，算出了正△

A3B3C3的面积，由此可得，第

8个正△

A8B8C8的面积是〔

〕A．

34

(1)72

B．

3(1)842

C．

3(1)744

D．

3(1)844【答案】

C20．〔2022四川广安〕等腰三角形的两边长为

4、9，那么它的周长是A．17

B．17

或

22

C．20D．22【答案】D21．〔2022黑龙江绥化〕如下列图，△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，那么以下结论：①AE＝BD②AG＝BF③FG∥BE④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数〔〕个个个个【答案】D22．〔2022广东清远〕等腰三角形的底角为A．40°B．80°C

40°，那么这个等腰三角形的顶角为．100°D．100°或

40°【答案】

C二、填空题1．如图，AD是△ABC的边

BC上的高，由以下条件中的某一个就能推出△

ABC是等腰三角形的是__________________。〔把所有正确答案的序号都填写在横线上〕①∠BAD＝∠ACD②∠BAD＝∠CAD，③ABBD＝ACCD④AB-BD＝AC-CD【答案】﹝2﹞﹝3﹞﹝4﹞2．〔2022广东广州，16，3分〕如图4，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，那么图中的等腰三角形有_____个．ADBC【答案】33．〔2022江苏无锡〕如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，那么∠BCE=▲°．CDAEB〔第16题〕【答案】50°4．〔2022江苏泰州〕等腰△ABC的两边长分别为2和5，那么第三边长为．【答案】55．〔2022四川眉山〕如图，将第一个图〔图①〕所示的正三角形连接各边中点进行切割，获得第二个图〔图②〕；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行切割，获得第三个图〔图③〕；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，，那么获得的第五个图中，共有________个正三角形．图①图②图③【答案】176．〔2022浙江绍兴〕做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于点D将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像与△ACD重合关于以下结论:①在同一个三角形中,等角同等边;②在同一个三角形中,等边同等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线第15题图和高互相重合由上述操作可得出的是将正确结论的序号都填上【答案】②③7．〔2022江苏淮安〕周长为长为．

8的等腰三角形，有一个腰长为

3，那么最短的一条串位线【答案】8．〔2022山东滨州〕如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,=2,EMCM的最小值为【答案】9．〔2022四川内江〕下面的方格图案中的正方形极点叫做格点，图腰直角三角形有4个，图2中以格点为极点的等腰直角三角形有

1中以格点为极点的等个，图3中以格点为极点的等腰直角三角形有

个，图

4中以格点为极点的等腰直角三角形有个图1图2图3图4【答案】10，28，5010．〔2022湖南湘潭〕△中，假设∠oo=5，那么==80，∠=50，ABCABACAB【答案】511．〔2022广西桂林〕如图：=10，点、D在线段AB上且==2；ABCACDBFCGED2D0D4AD5D3BACPDBD1第10题(3)n6054013137223AEFBPC图8为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形〔点M的地址改变时，△DMN也随之整体移动〕．〔1〕如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F是否在直线NE上都请直接写出结论，不必证明或说明原因；．．．．2〕如图②，当点M在BC上时，其余条件不变，〔1〕的结论中EN与MF的数量关系是否依旧成立假设成立，请利用图②证明；假设不成立，请说明原因；〔3〕假设点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断〔1〕的结论中EN与MF的数量关系是否依旧成立假设成立请直接写出结论，不必证明或说明原因．AAADEDED·E·NBB·FB·FCCMMCFN图①图②图③第25题图【答案】〔1〕判断：EN与MF相等〔或EN=MF〕，点F在直线NE上，·····3分〔说明：答对一个给2分〕〔2〕成立．······························4分证明：法一：连接DE，DF．··························5分∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF∠FDN=60°，∠NDE∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．···························7分在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．···························8分∴=．··························9分MFNEAADEDENNBMFCBMFC法二：延长，那么过点．·······················5分ENENF∵△是等边三角形，∴==．ABCABACBC又∵，，F是三边的中点，∴==．DEEFDFBF∵∠BDM∠MDF=60°，∠FDN∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．····························7分又∵DM=DN，∠ABM=∠DFN=60°，∴△DBM≌△DFN．····························8分∴BM=FN．∵BF=EF，∴MF=EN．··························9分法三：连接，．·····························5分DFNF∵△是等边三角形，ABC∴AC=BC=AC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DF为三角形的中位线，∴DF=1AC=1AB=DB．22又∠BDM∠MDF=60°，∠NDF∠MDF=60°，∴∠BDM=∠FDN．···························7分在△DBM和△DFN中，DF=DB，DM=DN，∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．∴∠=∠=60°．···························8分BDFN又∵△DEF是△ABC各边中点所组成的三角形，∴∠=60°．DFE∴可得点N在EF上，∴MF=EN．··························9分〔3〕画出图形〔连出线段NE〕，·····················11分MF与EN相等的结论依旧成立〔或MF=NE成立〕．·············12分NADEBFCM2．〔2022福建晋江〕〔13分〕如图，在等边ABC中，线段为边上的中线动点在直线上．．时，以为一边且在的下方作等边CDE，连接1填空：ACB______度；2当点在线段上点不运动到点时，试求出AD的值；．．BE3假设AB8，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中点与点重合除外，试求的长AAADCBMBCBCE备用图1备用图2261316032ABCDECACBCCDCEACBDCE60ACDDCBDCBBCEACDBCE5ACDBCESASADBEAD17BE32ACDBCECBECAD30CHBEPQ2HQCQ5RtCBHCBH30BCAB8CHBCsin301482RtCHQHQCQ2CH252423PQ2HQ69

AABCDECACBCCDCEACBDCE60ACBDCBDCBDCEACDBCEACDBCESAS

BMCPDQCBECAD30

EPQ611DABCDECAACBCCDCEACBDCE60ACDACEBCEACE60ACDBCEACDBCESAS

EBMCCBECADPCAM30CBECAD150

QCBQ30PQ6613320221ABAC，ADAEBDCEABCDEAB=ACB=CAD=AEADE=AEC180O-ADE=180-AECOADB=AECABDACEAB=ACB=CADB=AEC∴△ABD≌△ACEBD=CE4．〔2022湖南衡阳〕：如图，在等边三角形的边上取中点，的延长ABCACDBC线上取一点，使CE＝．求证：BD＝．ECDDE、【答案】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵D为AC中点，∴∠DBC=30°，∵CE＝CD，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴BD＝DE5．〔2022山东省德州〕如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．1求证：AB＝DC；2试判断△OEF的形状，并说明原因．ADOBEFC第18题图【答案】证明：〔１〕∵BE＝CF，AD∴BE＋EF＝CF＋EF，O即＝．BFCE又∵∠＝∠，∠＝∠，EFCB∴△ABF≌△DCE〔AAS〕，∴AB＝DC．〔２〕△OEF为等腰三角形原因如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC．∴OE=OF．∴△OEF为等腰三角形．6．〔2022江苏常州〕如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB。求证：AB=AC。【答案】7．〔2022

四川内江〕如图，△

ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠

ACD＝∠BCE＝90°，AE交

DC于F，BD分别交

CE，AE于点

G、H试猜想线段AE和BD的地址和数量关系，并说明原因DEHFGCAB【答案】解：猜想＝，⊥······················2分AEBDAEBD原因如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°