2023年极坐标与参数方程常见题型

极坐标与参数方程高考题的几种常见题型一、极坐标方程与直角坐标方程的互化例1(2023海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求通过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：(I)，，由得．所以．即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程(II)解:由,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型例2(2023贵州贵阳高三适应性监测考试,23)以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；(Ⅱ)求曲线上的点到直线的距离的最小值.[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为.（5分）（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，表达认为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为.三、求曲线的交点坐标例3（2023东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆和直线。(1)求圆和直线的直角坐标方程；当时，求直线于圆公共点的极坐标。解：（1）圆，即圆的直角坐标方程为：，即直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。由得故直线与圆公共点的一个极坐标为。根据条件求直线和圆的极坐标方程例4(2023辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。解：（Ⅰ）由C直角方程为（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为P点的直角坐标为直线OP极坐标方程为参数方程的问题例5(2023山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，23)在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.[解析]（1）由曲线：

得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：

由曲线：得：所以

即曲线的直角坐标方程为:(2)由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为

所以当时，的最小值为，此时点的坐标为1.(2023山西太原高三模拟考试（一），23)

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为，且曲线C1上的点M（2，）相应的参数.且以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且通过极点的圆，射线与曲线C2交于点.

（I）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若是曲线C1上的两点，求的值.2.(2023福州高中毕业班质量检测,21(2))在平面直角坐标系中,认为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为,直线l的参数方程为:(为参数)，两曲线相交于,两点.（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若,求的值．[解析](Ⅰ)(曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程.（4分）(Ⅱ)直线的参数方程为(为参数),代入,得到,,相应的参数分别为,，则3.(2023河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），23)已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.[解析]（Ⅰ）由，可得所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分）（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；,.4.(2023黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，23)

已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（Ⅱ）设点，则，所以的取值范围是.(10分）5.（2023吉林实验中学高三年级第一次模拟，23）选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．6.(2023河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,23)

已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(t是参数)．

(I)将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(Ⅱ)若直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值．7.(2023吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，23)已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．[解析]（1）圆的极坐标方程为所以又所以所以圆的普通方程（2）设由:所以圆的圆心是，半径是将代入得又直线过，圆的半径是，所以即的取值范围是8.(2023周宁、政和一中第四次联考，21)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）认为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线的极坐标方程是，求曲线与交点的极坐标.[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，（Ⅱ）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，，点、的直角坐标为，，从而，.

（7分）9.(2023江苏苏北四市高三期末统考,21C)在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；认为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.[解析]由于圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,（4分）由于直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是.（10分）10.(2023河南郑州高中毕业班第一次质量预测,23)已知曲线(t为参数)，(为参数)（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表达什么曲线;（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.[解析]

解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.（4分）

（Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设相应参数分别为，则所以.

（10分）11.(2023河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,23)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）判断点与直线的位置关系，说明理由；(Ⅱ)设直线与直线的两个交点为、，求的值.[解析]（Ⅰ）直线即，:，点在上.(Ⅱ)直线的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，有，设两根为，.（10分）12.(2023兰州高三第一次诊断考试,23)在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.[解析]（Ⅰ）由得，则直线的普通方程为.由得曲线的普通方程为.

（5分）（Ⅱ）在

上任取一点，则点到直线的距离为

，当，即时，，此时点.

（10分)14.（河南省商丘市2023届高三第三次模拟考试数学（理）试题）在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=．（I）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．解：（Ⅰ）直角坐标，所以圆的直角坐标方程为，……2分由得，圆C的直角坐标方程为．……5分（Ⅱ）将，代入的直角坐标方程，得，则，设Ａ，Ｂ相应参数分别为，，则，，由于，所以所以，所以的取值范围为15.（南京市2023届高三年级第三次模拟考试数学试题）在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆eq\F(x2,4)＋eq\F(y2,12)＝1上在第一象限的点，A(2，0)，B(0，2eq\R(,3))是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．解：设M(2cosθ，2eq\R(,3)sinθ)，θeq\o(\s\up1(),∈)(0，eq\F(π,2))．由题知OA＝2，OB＝2eq\R(,3)，……………2分∴四边形OAMB面积S＝eq\F(1,2)×OA×2eq\R(,3)sinθ＋eq\F(1,2)×OB×2cosθ＝2eq\R(,3)sinθ＋2eq\R(,3)cosθ＝2eq\R(,6)sin(θ＋eq\F(π,4))所以当θ＝eq\F(π,4)时，四边形OAMB的面积的最大值为2eq\R(,6)．……10分16.（甘肃省张掖市2023届高三第三次诊断考试数学（理）试题）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.【解析】:（Ⅰ）,曲线C:……………4分（Ⅱ）由于圆极坐标方程，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为1,由于直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C引切线长是所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是．…10分17.（黑龙江省大庆市2023年高三第次模拟考试数学（理）试卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)，为直线与曲线的公共点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（=1\*ROMANI）求点的极坐标；（=2\*ROMANII）将曲线上所有点的纵坐标伸长为本来的倍(横坐标不变)后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.解：（=1\*ROMANI）的普通方程为。将代入上式整理得，解得故点的坐标为，其极坐标为.………5分（=2\*ROMANII）坐标变换式为故的方程为，即…7分当直线的斜率存在时,设其方程为，即，由圆心到直线距离得，，∴直线为，当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.故直线的极坐标方程为或.…10分18.（2023年长春市高中毕业班第二次调研测试）已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面≤的公共点，求的取值范围．【解析】：（1）圆的极坐标方程为∴又，所以所以圆的普通方程（2）『解法1』：设由圆的方程所以圆的圆心是，半径是将代入得又直线过，圆的半径是，所以，所以即的取值范围是19.（昆明第一中学2023届高三第五次月考）以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为。（I）求直线l和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求的取值范围．21.（2023年高考（新课标理））直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),是上的动点,点满足=,点的轨迹为.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在认为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.【解析】(Ⅰ)设(,),则由条件知(,),由于在上,∴,即,∴的参数方程为(为参数);(Ⅱ)曲线的极坐标方程为=,曲线的极坐标方程为=,∴射线与的交点的极径为=,射线与的交点的极径为=,∴==.22.（河南省郑州市第四中学2023届高三第十四次调考数学（理）试题）在直角坐标系中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线的参数方程为,(为参数,).(Ⅰ)求C1的直角坐标方程;(Ⅱ)当C1与C2有两个公共点时,求实数的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)曲线的极坐标方程为,∴曲线的直角坐标方程为.(Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,为半圆弧,如下图所示,曲线为一族平行于直线的直线,