一元二次方程期末复习

期末复习一一元二次方程复习课时基础知识与基本技能备课人：朱明德李俭丰2020/12/181知识结构2020/12/182主题一

一元二次方程及根的有关概念【主题训练1】若(a-3)+4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为()A.3B.-3C.±3D.无法确定【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-7=2,且a-3≠0,解得a=-3.2020/12/183【主题升华】一元二次方程的有关定义及根1.一元二次方程满足的四个条件.A整式方程B只含有一个未知数C未知数的最高次数是2D二次项系数不为02020/12/1842.一元二次方程的项的系数包括它前面的符号,一次项的系数和常数项可以为0.3.根能使方程左右两边相等,已知一个根,可代入确定方程中的字母系数.2020/12/1851.下列方程中,一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0 B.

x2=0C.3x2+2y-

=0 D.x2+-5=0【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.课堂练习一2020/12/1862.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是()A.2018 B.2008 C.2014 D.2012【解析】选A.∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根,∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.2020/12/1873.一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是

,一次项系数是

,常数项是

.【解析】项和系数都包括它前面的符号,所以二次项系数是2,一次项系数是-3,常数项是-2.答案:2-3-22020/12/188主题2一元二次方程的解法【主题训练2】解方程x2-2x-1=0.【自主解答】移项得:x2-2x=1,配方得:x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方得:x-1=±,x=1±,所以x1=1+,x2=1-.2020/12/189【备选例题】方程a2-4a-7=0的解是

.【解析】a2-4a-7=0,移项得:a2-4a=7,配方得:a2-4a+4=7+4,(a-2)2=11,两边直接开平方得:a-2=±,a=2±.答案:a1=2+,a2=2-2020/12/1810【主题升华】一元二次方程解法选择若没有特别说明,解法选择的基本顺序是直接开平方法→因式分解法→公式法.配方法使用较少,除非题目有明确要求才使用.2020/12/18111.已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有两个实数根【解析】选C.∵(x-1)2=b中b<0,∴没有实数根.课堂练习二2020/12/18122若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m=

.【解析】在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方,得x2+6x+32=7+32,配方,得(x+3)2=16.所以,m=3.答案:32020/12/18133.（1）解方程:(x-3)2-9=0.【解析】移项得:(x-3)2=9,两边开平方得x-3=±3,所以x=3±3,解得:x1=6,x2=0.（2）解方程:x2-1=2(x+1).解：配方法：原方程可变形为：x2-2x=3，配方得x2-2x+1=4，整理得（x-1）2=4，解得x1=-1或x2=3.2020/12/1814主题3根的判别式及根与系数的关系【主题训练3】若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断2020/12/1815【自主解答】选A.Δ=16+4k=(5k+20),∵5k+20<0,∴Δ<0,∴没有实数根.2020/12/1816【主题升华】根的判别式的应用1.根的判别式的作用:不解方程判断方程有无实数根.2.一元二次方程的根的情况取决于Δ=b2-4ac的符号.(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.(4)对于以上三种情况,反之也成立.2020/12/1817【知识拓展】根与系数关系的应用(1)已知一根求另一个根.(2)求含根的代数式的值.①两根的倒数和:②两根的平方和:x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;③两根的差:x1-x2=(x1>x2).2020/12/18181、下列一元二次方程有两个相等实数根的是()A.x2+3=0 B.x2+2x=0C.(x+1)2=0 D.(x+3)(x-1)=0课堂练习三2020/12/1819【解析】选C.选项一元二次方程的解A项方程可化为x2=-3,方程无解B项可化为x(x+2)=0,方程的解为x1=0,x2=-2C项方程的解为x1=x2=-1D项方程的解为x1=1,x2=-32020/12/18202.已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正确的是()A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解2020/12/1821【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ=b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.2020/12/18223.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为()A.2B.3C.4D.8【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,解得c=8,把c=8代入方程得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.2020/12/18234.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是()A.-2 B.-3 C.2 D.3【解析】选B.∵x1x2=,∴x1x2=-3.2020/12/18245.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是()A.1 B.-1 C.1或-1 D.22020/12/1825【解析】选B.由题意:x1+x2=,x1x2=,因为x1-x1x2+x2=1-a,所以-=1-a,即=1-a,解得a1=1,a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以a=-1.2020/12/1826小结与归纳：一元二次方程应该掌握的知识要点：1.一元二次方程的概念与特征.2.一元二次方程的常规解法（开平方法、配方法、公式法、因式分解法）.3.一元二次根的判别式及应用。4.一元二次根与系数的关系及应用（属拓展部分、可选讲）。【课后作业】见配套试卷2020/12/1827期末复习一一元二次方程复习第二课时应用与拓展2020/12/1828主题4一元二次方程的应用【主题训练4】某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l=t2+t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.2020/12/1829(1)甲运动4s后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?2020/12/1830【自主解答】(1)当t=4时,l=×42+×4=14(cm).答:甲运动4s后的路程是14cm.(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得:+4m=21,解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.2020/12/1831(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得:+4n=21×3,解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.2020/12/1832【主题升华】一元二次方程解应用题的六个步骤1.审——审清题意,找出等量关系.2.设——直接设未知数或间接设未知数.3.列——根据等量关系列出一元二次方程.4.解——解方程,得出未知数的值.5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合实际情况.6.答——完整地写出答案,注意单位.2020/12/18331.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是()A.100m2

B.64m2

C.121m2

D.144m2【解析】选B.设正方形原边长是x,根据题意可得:(x-2)x=48,解得x1=8,x2=-6(不合题意,舍去),所以原边长是8,面积是64m2.课堂练习2020/12/18342.我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格.某种药经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,则每次降价的百分率为

.【解析】∵设每次降价的百分率为x,则根据题意,得60(1-x)2=48.6,解得x1=1.9(不合题意,舍去),x2=0.1=10%.答案:10%2020/12/18353.为响应“美丽荣昌清洁校园”的号召,某校开展“美丽荣昌清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2?(2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?2020/12/1836【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm2,则提高工作量后每天完成1.2xm2,根据题意,得=20,解得x=22.经检验,x=22是原方程的根.答:该项绿化工作原计划每天完成22m2.(2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m,根据题意,得y(2y-3)=170,解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去).2y-3=17.答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.2020/12/1837例3、“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.

（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速减少m％，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m小时，求m的值.2020/12/1838(1)【信息梳理】设原铁路设计运行时速为x千米/小时，通车后里程为y千米.原题信息整理后的信息一列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时列车设计运行时速为x+120全程设计运行时间只需8小时列方程为：8×(120+x)=y2020/12/1839二比原铁路设计运行时间少用16小时原铁路设计运行时间为8+16比原铁路全程缩短了320千米原铁路设计全程为：y+320

列方程得(8+16)x=320+y

解：设原铁路设计运行时速为x千米/小