半期作业力学讲评

（A）只有(1)、(4)是对的．（B）只有(2)、(4)是对的．（C）只有(2)是对的．（D）只有(3)是对的．(1)

(2)

(3)

(4)

4

质点作曲线运动，表示位置矢量，表示速度，表示加速度，S表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中，第一章质点的运动（一）7一质点从静止出发绕半径为R作圆周运动，角加速度为，该质点走完一圈回到出发点，所经历的时间为：(D)条件不够，不能确定分析6下列说法哪一条正确？(A)加速度恒定不变时，物体运动方向也不变．(B)平均速率等于平均速度的大小．(C)不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成(分别为初、末速率)

(D)运动物体速率不变时，速度可以变化．8.某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？（A）北偏东30°(B)南偏东30°(C)北偏西30°(D)西偏南30°．V人地V风人V风地30°WNES4两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系式：xA

=4t＋t2（SI），xB

=2t2＋2t3(SI),(1)它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；(2)出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是_____________；(3)出发后，B车相对A车速度为零的时刻是____________．分析：（1）A（2）两辆车行驶距离相同，即xA=xB

4t＋t2=2t2＋2t3有意义的解为：

（3）B车相对A车速度为零，即有意义的解为：

1.19s0.67s7汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的路程随时间的变化关系为，汽车在t=1s时的切向加速度

，法向加速度大小为

，加速度的大小和方向为

和

。8图1-1-1所示为一高为h的汽车在雨中直线行驶，其速率为u1，下落雨滴的速度方向偏于竖直并朝向车前进方向，偏向角为q，速率为u2.车后有一长为l的物体，则当车速u1=

时，此物体正好不会被雨淋湿。据伽利略速度变换有：分析：只要u雨对车的速度与竖直方向夹角满足条件时，车后物体不会被雨淋湿，等号对应于正好不被淋.u1qu2u雨对车fu雨对车lu1hf3.一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m的圆形轨道运动，此质点的角速度与运动时间的二次方成正比，即w=Kt2(SI)，式中K为常数。已知质点在第2末的线速度为32m/s，试求t=0.5s时质点的线速度与加速度。解：t=0.5s时质点的线速度加速度加速度与轨道切线的夹角ooMyx证明：（1）消去t得轨道方程为（椭圆）

（2）上式表明：加速度恒指向椭圆中心。4．已知质点的运动方程为，其中A1，A2，w均为常数,（1）试证明质点的运动轨迹为一椭圆；（2）证明质点的加速度恒指向椭圆中心；（3）试说明质点在通过图中M点时，其速率是增大还是减小？（3）当t=0时，x=A1，y=0，质点位于图中P点质点位于时，显然质点在椭圆形轨道上沿反时针方向运动。而在M点，切向加速度的方向与速度的方向相反。所以，质点在通过M点速率减小。Pooyx质点位于图中的Q点,QMatanaＶ质点在通过图中M点时，其速率是增大还是减小？5．河水自西向东流动，速度为10km/h．一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西300，相对于水的航速为20km/h．此时风向为正西，风速为10km/h．试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向．（设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度）西东北南解：方向:南偏西30o第一章质点运动学（二）1．某物体的运动规律为，式中的k为大于零的常数．当t＝0时，初速为，则速度与时间t的函数关系是(B)(C)

(D)

(A)解:1.一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为,如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置的速度为

．3.一物体作如图的斜抛运动，测得在轨道A点处速度的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°．则物体在A点的切向加速度轨道的曲率半径

.1一模型飞机在离地面4.9m的高度以4.9m/s的恒定水平速度飞行，一负重（可视为质点）从飞机上沿水平方向抛出时相当于飞机的初速度为12m/s，方向与飞机飞行方向相反。求：（1）当负重落地时，它与模型飞机的水平距离；（2）负重刚要着地时其速度矢量与地面的夹角。解：以抛出点为坐标原点建立如图所示坐标系,x轴正向与模型飞机飞行方向反向。重物在x方向做匀速运动，据伽利略速度变换有：重物在y方向做初速为0的匀加速运动，有（1）当负重落地时，它与模型飞机的水平距离（2）负重刚要着地时其速度矢量与地面的夹角oxyq2.一电子在电场中运动，其运动方程为,(SI)(1)计算电子的运动轨迹；(2)计算t=1s时电子的切向加速度、法向加速度及轨道上该点处的曲率半径；(3)在什么时刻电子的位矢与其速度矢量恰好垂直；(4)在什么时刻电子离原点最近．解：(1)从运动方程中消去时间就得到轨道方程(2)(3)位矢与其速度矢量垂直的条件为：有物理意义的解为：(4)电子离原点最近，表明电子位矢大小平方取极小值。令有物理意义的解为：且此时电子离原点最近的时刻是第二章质点的运动定律（一）3．一单摆挂在木板的小钉上（摆球的质量<<木板的质量），木板可沿两根竖直且无摩擦的轨道下滑，如图．开始时木板被支撑物托住，且使单摆摆动．当摆球尚未摆到最高点时，移开支撑物，木板自由下落，则在下落过程中，摆球相对于板(A)作匀速率圆周运动(B)静止(C)仍作周期性摆动(D)作上述情况之外的运动

分析：在板上来看小球受到竖直向上的平移惯性力与所受重力抵消，所以小球所受合力沿绳指向中心。mgmg

7质量为0.10kg的质点，由静止开始沿曲线(SI)运动，则在t=0到t=2s时间内，作用在该质点上的合外力所做的功为

(A)5/4J．(B)20J．

(C)75/4J．(D)40J．

分析：合外力所做的功1．质量分别为m1、m2、m3的三个物体A、B、C，用一根细绳和两根轻弹簧连接并悬于固定点O，如图．取向下为x轴正向，开始时系统处于平衡状态，后将细绳剪断，则在刚剪断瞬时，物体B的加速度

物体A的加速度。―(m3/m2)gＡＴ１Ｔ２ＢＴ２Ｔ３ＣＴ３解：因开始时系统处于平衡状态，各物体的受力分析如右图。Ａ物体受力情况不变绳刚剪断时，弹簧形变状态未变，此时B物体未受T3作用，对Ｂ物体应用牛顿第二定律有：2．质量为m的小球，用轻绳AB、BC连接，如图，其中AB水平．剪断绳AB前后的瞬间，绳BC中的张力比T:T′＝

．解：绳断前小球在竖直方向受力平衡，即有：剪断前mgTT2剪断后mgT’绳断后，小球沿BC长度方向受力平衡，张力与球重量的关系为：从上两式易得：

解：碰前小球沿x和y方向的速度分别为：碰后小球沿x和y方向的速度分别为：地面对小球的竖直冲量大小地面对小球的水平冲量大小4．质量为m的小球自高为y0处沿水平方向以速率v0抛出,与地面碰撞后跳起的最大高度为y0/2，水平速率为v0/2.则碰撞过程中地面对小球的竖直冲量的大小为___________；(2)地面对小球的水平冲量的大小为_________．6质量为m1和m2的两个物体，具有相同的动量．欲使它们停下来，外力对它们做的功之比A1∶A2=___；若它们具有相同的动能，欲使它们停下来，外力的冲量之比I1∶I2=____．解：由第一已知条件有：

由动能定理有：

由第二已知条件有：

由动量定理有：

2．一质量为m的物体，最初静止于x0处,在力F=-k/x2

的作用下沿直线运动，试求出物体在任意位置x处的速度

解1：

解2：根据动能定理有：据上式也可得到正确答案。3顶角为2q的直圆锥体,底面固定在水平面上,如图所示。质量为m的小球系在绳的一端，绳的另一端系在圆锥的顶点，绳长为l，且不能伸长，质量不计。圆柱面是光滑的，今使小球在圆锥面上以角速度绕OH轴匀速转动，求：(1)锥面对小球的支持力N和细绳的张力T；(2)当增大到某一值c时小球将离开锥面，这时c及T又各是多少？解：在x和y方向对小球应用牛顿第二定律HOlNmgTxy5一升降机内有一倾角为a的固定光滑斜面，如图所示．当升降机以匀加速度a0上升时，质量为m的物体A沿斜面滑下，求A对地面的加速度．

解：取A为研究对象,A受力如图在非惯性系（升降机）中的应用牛顿第二定律得：沿x′：

沿y′：

由伽利略加速度变换写出A对地面加速度则A对地面的加速度的x和y方向的投影分别为

第二章质点的运动定律（二）2一只质量为m的猴，原来抓住一根用绳吊在天花板上的质量为M的直杆，悬线突然断开，小猴则沿直杆竖直向上爬以保持它离地面的高度不变，此时直杆下落的加速度为(A)g

解：猴保持它离地面的高度不变，猴相对于地面静止，受力平衡，即有： F猴杆=mgF猴杆与F杆猴是一对作用力和反作用力，对杆利用牛顿第二定律有：mgF猴杆MgF杆猴．2．图示一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以角速度w匀速转动．在小球转动一周的过程中，(1)小球动量增量的大小等于______________．(2)小球所受重力的冲量的大小等于_____________．(3)小球所受绳子拉力的冲量大小等于___________2pmg/w02pmg/w3一列火车以速度u作匀速直线运动，当一位实验者站在一节敞车上面将一质量为m的小球以速度v（相对于火车）向前或竖直向上抛出，在地面参考系中看来实验者对小球作的功分别是：

W（前）=______________．W（上）=______________．

分析：利用伽利略速度变换,并考虑到速度的方向，知利用动能定理有：向前抛，小球对地的速度大小为：向上抛，小球对地的速度大小为：1一条长为l，质量均匀分布的细链条AB，挂在半径可忽略的光滑钉子C上，开始时处于静止状态，BC段长为L（3l/2>L>l/2）

，释放后链条将作加速运动．试求：当BC=2l/3时，链条的加速度和运动速度的大小．解：链条运动过程中，当时,此时BC段和AC段在C点处所受张力分别为T1和T2对BC段有

对AC段有

因

3质量为m的小球在水平面内作半径为R的匀速圆周运动，圆周运动的角速度为.试通过小球受到合外力的时间积分计算，小球在经过(1)1/4圆周，(2)1/2圆周，(3)3/4圆周，(4)整个圆周，几个的过程中向心力的冲量，以及由动量定理得出这几个过程中的冲量．解：方法1小球所受合力作为它作圆周运动的向心力，合力的冲量表示为：tORxy将分别带入上式，得到冲量tORxy方法1利用动量定理求解小球经过(1)1/4圆周，(2)1/2圆周，(3)3/4圆周，(4)整个圆周后的末态动量利用动量定理得：得到四种情况下小球受到的冲量为：小球初态动量第三章质点系运动定理（一）

3空中有一气球，下连一绳梯，它们的质量共为m’．在梯上站一质量为m的人，起始时气球与人均相对于地面静止．当人相对于绳梯以速度u向上爬时，气球的速度为（以向上为正）

分析：将人和气球看为一系统，动量守恒。假定气球相对于地向上的速度为v，则人相对地的速度为u+v,则有：5一火箭初质量为m0，每秒喷出的质量(-dm/dt)恒定，喷气相对火箭的速率恒定为u．设火箭竖直向上发射，不计空气阻力，重力加速度g恒定，则t=0时火箭加速度a在竖直方向（向上为正）的投影式为分析：坐标轴oy数值向上，坐标原点选在地面上，假定在t时刻火箭的总质量为m,对地的速度为v，该系统受到向下的重力作用。在dt时间内，火箭喷出了-dm的气体，在t+dt时刻火箭速度为v+dv,喷出气体对地的速度v+dv-u,在地面参考系中利用动量定律得：Oy整理上式得：火箭加速度6．如图所示两个小球用不能伸长的细软线连接，垂直地跨过固定在地面上、表面光滑的半径为R的圆柱，小球B着地，小球A的质量为B的两倍，且恰与圆柱的轴心一样高．由静止状态轻轻释放A，当A球到达地面后，B球继续上升的最大高度是

解：A释放到A触地以前的过程中，A、B和地组成的系统B机械能守恒，令A球的质量为m,则有：A触地后，B物体相当于以速度u竖直上抛，B和地组成的系统机械能也守恒.8．劲度系数为k的轻弹簧,一端与倾角为的斜面上的固定档板A相接,另一端与质量为m的物体B相连.O点为弹簧没有连物体、长度为原长时的端点位置，a点为物体B的平衡位置．现在将物体B由a点沿斜面向上移动到b点，设a点与O点，a点与b点之间距离分别为x1和x2，则在此过程中，由弹簧、物体B和地球组成的系统势能的增加为3．有一质量为M（含炮弹）的炮车，在一倾角为q的光滑斜面上下滑，当它滑到某处速率为v0时，从炮内射出一质量为m的炮弹沿水平方向．欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止下滑，则炮弹射出时对地的速率v=可看成是爆炸问题，应用沿斜面方向动量守恒可得。OSabrarb解：（1）6质点在力的作用下，由位置ra运动到位置rb，经过路程为S，如图所示．如果力的函数分别为：和,其中k为常数，分别是沿矢径、速度的单位矢量．则F1在该过程中所做的功W1=

，F2在该过程中所做的功W2=

；两个力的

是保守力．F1F2(2)因F1所作的功与具体路径无关，由质点始末位置确定，而F2作的功与具体路径有关，所以F1是保守力。7．劲度系数为k的弹簧，上端固定，下端悬挂重物．当弹簧伸长x0，重物在O处达到平衡，现取重物在O处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，系统的重力势能为_____；系统的弹性势能为___________；系统的总势能为___________．（答案用k和x0表示）2.桌面上堆放一串柔软的长链，今拉住长链的一端竖直向上以恒定的速度v0上提，如图所示．试证明：当提起的长度为l时，所用的向上的力，其中为长链单位长度的质量．因提起速度为恒定的v0，所以，如提起长度为l，则有：证明：以被提起的绳段y为研究对象，它受拉力F和重力yg的作用，由牛顿第二定律：可证明：当初速为0,并以恒定加速度a提起时力为：能否用功能原理来做？不能用功能原理来做！5、在光滑的水平面上，有一根原长l0=0.6m、劲度系数k=8N/m的弹性绳，绳的一端系着一个质量m=0.2kg的小球B，另一端固定在水平面上的A点．最初弹性绳是松弛的，小球B的位置及速度如图所示．在以后的运动中当小球B的速率为v时，它与A点的距离最大，且弹性绳长l=0.8m，求此时的速率v及初速率v0。解：重力、支持力、绳中张力对A点的力矩之和为零，故小球对A点的角动量守恒．当B与A距离最大时，B的速度应与绳垂直．故有由机械能守恒有

联解上两式得：第三章质点系运动定理（二）

3．质量分别为m1、m2的两个物体用一劲度系数为k的轻弹簧相联，放在水平光滑桌面上，如图所示．当两物体相距x时，系统由静止释放．已知弹簧的自然长度为x0，则当物体相距x0时，m1的速度大小为

解：将两物体和弹簧作为一系统，在整个过程中，系统所受合外力为0，所以动量守恒，即有在整个过程中只有保守内力做功，系统机械能守恒，即有联解两方程可得：解：3.角动量为L，质量为m的人造卫星，在半径为r的圆轨迹上运行.它的动能为

、势能为

和总能量为

。卫星受到的万有引力作为它作圆周运动的向心力是否如下计算万有引力势能？不能这样计算！1一辆总质量为m0的装满沙子的小车，车下有一可调节的小孔，当小孔打开时，沙子从小孔中竖直漏出。设每秒均匀漏出的沙子质量为△m,小车在水平恒力F的作用下，在水平地面上由静止开始运动时，沙子也同时开始从小孔中漏出。如果小车行进时的摩擦忽略不计，试用动量定理求解t时刻小车的运动速度和加速度。解：车与车内沙子的总质量m随时间t的变化关系写为：

m0假定在t时刻，车子的速度为u,在经过dt时间以后，车与车内沙子的重质量为m+dm，速度为u+du,而漏下沙子在水平方向的速度为u，在该方向利用动量定理有：

整理并忽略二阶无穷小得

F2．一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为．令链条由静止开始运动，则(1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？解：(1)建立如图坐标.某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为：摩擦力的功：

(2)以链条为对象，重力所作的功

0yx应用质点的动能定理

第四章刚体定轴转动(一)6．一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统(A)动量守恒．(B)机械能守恒．(C)对转轴的角动量守恒．(D)动量、机械能和角动量都守恒．(E)动量、机械能和角动量都不守恒．

1．（1）一个质量为M，半径为R的环放在刀口上，环可以在自身平面内摆动，形成一个物理摆。求此时圆环摆的转动惯量。（2）假设一个相同的环固定在与其共面且与圆周相切的轴PP΄上环可以自由在纸面内外摆动。求此时圆环摆的转动惯量。解：（1）圆环放在刀口上O，以环中心的C点的为坐标原点。Z轴指向读者。圆环绕Z轴的转动惯量为由平行轴定理，关于刀口的转动惯量为RCO（2）由垂直轴定理有：PP΄ROŷxZ由平行轴定理有：5．一轻绳绕过一半径R，质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住绳子的一端，而绳子另一端系一质量为M/2的重物，如图。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？解1：在地面参考系中对人和重物写出牛顿第二定律，对滑轮写出定轴转动定律有：MgT1Mg/2T2联立求解得：选人、滑轮、与重物为系统，系统所受对滑轮轴的外力矩为解2：利用物体系定轴转动定律做设u为人相对绳的速度，u为重物上升的速度。则该系统在地面参考系中对滑轮轴的角动量为据定轴转动定律有即

第四章

刚体定轴转动(二)选择题Oxlmm1.如图所示的刚性哑铃，设长为2l的杆质量与两个小球的质量相等，均为m．哑铃杆中点O与定轴连接，