第1节集合的映射与函数极限_第1页
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第二章函数的连续§2.1集合的映射和函数极一、映射定定义

A,B为两个集合f是一种规则，对xA在B中有唯一元xffxff(fx)与之对称f是A到B的映射f:AAf的定义域

fx)称为xf下的像例 ff甲x乙y丙zfAB的映定义1.2相等映射设fABgAB若对xA,都有f(x)g(则称映fg相等，记f定义1.3(复合映射 设f:BC,g:A当x

g1B)式定义映(fg)(x)f(g(为映射f，g的复合映射2设fx)

，g(x)x10,h(x)x3,1x求fg解 fgh(x)f(g(h(x)))f(g(xf((x

10)

(x (x3)103设fx)axb，求fn由归纳法易fn(x)anx(an1an2a二、映射的分定义1.4（单射）fAxyA,xy则fxfy).f为单射定义1.5（满射fAB若fAB，则称f为满射定义1.6（一一对应f:AB,既是单射，又是满射定义1.7（映射的逆像设f:ABFB,则A的子集f1(FxA:fxF}.称为F的逆像甲g甲gx乙y丙zg1(x),g1(z),g1{x,z}g1y)甲，乙，丙定义1.8（恒等映射设f:AB可逆映射 f1:B f1f(x)f1(f(x)) xf1fAff1(y)f(f1(y))ff1B

yIA,IB分别称为A,B上的恒等映射三、函数定义和基本初等函fAB的映射,如果BRf为函数常数函数幂函数ysinxyax

y1yxyx(yarcsinyloga四、非初等函数符号函 1o- 当x1o-ysgnx 当x 当x

xsgnx取整函数 432[x]表示不超过x的最大整432-4-3-2- o-11 ---阶梯曲雷函yD(x)

当x是无理数y1 无理数 有理数Riemann1,xp整数pq互质R(x) 0,xR\ 1 1 五、函数极限的定x、观察函ysinx,当x0时的变x问题 如何用描述定义4.1（邻域）称集Uo(x;){x|0|x0

|0o为点x0的去心邻域，或记为Ux0o定义4.2（函数极限）设fx)在点x0的去心邻Uox)内有定A为一个实数， 对0',|xx0|时|f(x)A|称xx0时,f(x)以A为极限,记为 f(x)x极限为局部性质，仅x0附近取值有关.与fx)在点x0是否有定义无关;取值和有关.当xUo(x;),函数y f(x)图形落在0直线yA为中心线 宽为的带形区域内ysinx例 证明limsinysinxx sinxsinx 0 sinxsinxx0,取X1 则

xXlimsinx

sinxx

x x2例 证明 x x 函数在点x=1处没有定义f(x)A

x2x12

x

要使fx

只要取x2当0xx0时,2

1

x2xlim

xx x定义4.3（极限不存在的定义函数fx)在x0不以A为极限00,对x'满足0|x'x0|,但 f(x')A|例2证明()

xR\

,在)处处无极限证明对任意x0),若x0为有理数

0,对0,由实数稠密性， 存在无理数x'，满0|

|f(x0)f(x')|x0若x0为无理

0

x02

由实数稠密对0 x0,

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