华师版九年级数学下册综合复习含答案

华师版九年级数学下册综合复习含答案一、解答题(共66分)19．(8分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A，B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝2eq\r(3).(1)求⊙P的半径；(2)将⊙P向下平移，求⊙P与x轴相切时平移的距离．解：(1)⊙P的半径是2.(2)⊙P向下平移与x轴相切时需向下平移1个单位．20．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数y＝－eq\f(3,2)x＋3的图象与x轴，y轴的交点，并且也经过(1，1)点，求这个二次函数的表达式，并求x为何值时，函数有最大(最小)值？这个值是多少？解：y＝－eq\f(3,2)x＋3与x轴交点(2，0)，与y轴交点(0，3)将(2，0)(0，3)(1，1)代入y＝ax2＋bx＋c可得：a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(5,2)，c＝3，∴y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(5,2)x＋3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,8)∵eq\f(1,2)＞0，∴当x＝eq\f(5,2)时，函数有最小值－eq\f(1,8).21．(9分)如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD＝100°，∠DBC＝80°.(1)求证：BD＝CD；(2)若圆O的半径为9，求eq\o(BC,\s\up12(︵))的长(结果保留π)．(1)证明：∵四边形ABCD内接于圆O，∵∠DCB＋∠BAD＝180°，∵∠BAD＝100°，∴∠DCB＝180°－100°＝80°，∵∠DBC＝80°，∴∠DCB＝∠DBC＝80°，∴BD＝CD.(2)解：∵∠DCB＝∠DBC＝80°，∴∠BDC＝20°，由圆周角定理，得，eq\o(BC,\s\up12(︵))的所对的圆心角的度数为40°，故eq\o(BC,\s\up12(︵))的长＝eq\f(40π×9,180)＝2π，∴eq\o(BC,\s\up12(︵))的长为2π.22．(9分)如图，抛物线y＝(x＋m)2＋k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点M的坐标为(1，－4)．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点P在第一象限的抛物线上，S△PAB＝6，求点P的坐标．解：(1)∵抛物线y＝(x＋m)2＋k的顶点为M(1，－4)，∴y＝(x－1)2－4，令y＝0，得(x－1)2－4＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(2)过点P作PN⊥x轴于点N，eq\f(1,2)·AB·PN＝6，∴PN＝3，令(x－1)2－4＝3，∴x1＝1＋eq\r(7)，x2＝1－eq\r(7)(舍)，∴P(1＋eq\r(7)，3)．23．(10分)(宜昌中考)如图，已知四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与AB相交于点E，且AE＝3EB.(1)求证：△ADE∽△CDF；(2)当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．(1)证明：∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵DE为⊙O的切线，∴ED⊥DC.∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴ED⊥AB，∴∠AED＝90°.∴∠AED＝∠DFC.又∵∠A＝∠C，∴△ADE∽△CDF.(2)解：∵CF∶FB＝1∶2，∴设CF＝x，则FB＝2x，BC＝3x，∵AE＝3EB，∴设EB＝y，则AE＝3y，AB＝4y.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝3x，AB＝DC＝4y.∵△ADE∽△CDF，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(AD,CD)，∴eq\f(3y,x)＝eq\f(3x,4y)，∴x＝2y，∴BC＝6y，CF＝2y，在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，由勾股定理得DF＝eq\r(DC2－FC2)＝eq\r(（4y）2－（2y）2)＝2eq\r(3)y.∴⊙O的面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DC,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)π(DC)2＝eq\f(1,4)π×(4y)2＝4πy2，▱ABCD的面积为BC·DF＝6y·2eq\r(3)y＝12eq\r(3)y2，∴⊙O与▱ABCD的面积之比为4πy2∶12eq\r(3)y2＝π∶3eq\r(3).24.(10分)如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y＝－eq\f(\r(3),3)x＋5表示，点A，B分别在x轴和y轴上，在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y＝－eq\f(1,3)x2＋bx＋c表示．(1)求抛物线的函数关系式(不必写自变量取值范围)；(2)求水柱离坡面AB的最大高度；(3)在斜坡上距离A点2米的C处有一棵3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？解：(1)AB＝10，∠OAB＝30°，∴OB＝eq\f(1,2)AB＝5，OA＝ABcos∠OAB＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，则A(5eq\r(3)，0)，B(0，5)，将A，B坐标代入y＝－eq\f(1,3)x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)×75＋5\r(3)b＋c＝0，,c＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(4\r(3),3)，,c＝5.))∴抛物线表达式为y＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4\r(3),3)x＋5.(2)水柱离坡面的距离d＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4\r(3),3)x＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)x＋5))＝－eq\f(1,3)x2＋eq\f(5\r(3),3)x＝－eq\f(1,3)(x2－5eq\r(3)x)＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,4).∴当x＝eq\f(5\r(3),2)时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为eq\f(25,4)米．(3)如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC＝2，∠OAB＝30°，∴CD＝1，AD＝eq\r(3)，则OD＝4eq\r(3)，当x＝4eq\r(3)时，y＝－eq\f(1,3)×(4eq\r(3))2＋eq\f(4\r(3),3)×4eq\r(3)＋5＝5＞1＋3.5.所以水柱能越过这棵树．25．(12分)如图，⊙E的圆心(3，0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点(点A在点B的上方)，与x轴的正半轴相交于点C；直线l对应的函数表达式为y＝eq\f(3,4)x＋4，与x轴相交于点D；以C为顶点的抛物线经过点B.(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；(3)动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．解：(1)连结AE，∵抛物线的顶点为C(8，0)，设抛物线的表达式为y＝a(x－8)2，将B(0，－4)代入抛物线，得y＝－eq\f(1,16)x2＋x－4.(2)直线l与OE相切，理由：点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，0))，点A(0，4)在直线l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，eq\f(OE,OA)＝eq\f(3,4)，eq\f(OA,OD)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(OE,OA)＝eq\f(OA,OD)，∠AOE＝∠DOA＝90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO＝∠DAO，∵∠AEO＋∠EAO＝90°，∴∠DAO＋∠EAO＝90°，即∠DAE＝90°，∴直线l与⊙E相切于点A.(3)过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M，设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(3,4)m＋4))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，－\f(1,16)m2＋m－4))，则PM＝eq\f(3,4)m＋4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)m2＋m－4))＝eq\f(1,16)m2－eq\f(1,4)m＋8＝eq\f(1,16)(m－2)2＋eq\f(31,4)，当m＝2时，PM取得最小值eq\f(31,4)，此时Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(9,4)))，对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，又∠PQM＝90°，∴△PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，PQ最小＝PM最小sin∠QMP＝PM最小·sin∠AEO＝eq\f(31,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(31,5)，∴当抛物线上的动点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(9,4)))时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为eq\f(31,5).二、解答题(共66分)19．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根．解：(1)关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴(2k＋1)2－4(k2＋1)＞0，整理得，4k－3＞0，解得k＞eq\f(3,4).(2)∵方程的两个根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝2k＋1＝3，解得k＝1，∴原方程为x2－3x＋2＝0，∴x1＝1，x2＝2.20．(8分)(安徽中考)如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.(1)求证：△PAB∽△PBC；(2)求证：PA＝2PC.证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB＋∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB，又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC.(2)∵△PAB∽△PBC，∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(PB,PC)＝eq\f(AB,BC)在Rt△ABC中，AB＝eq\r(2)AC，eq\f(AB,BC)＝eq\r(2).∴PB＝eq\r(2)PC，PA＝eq\r(2)PB∴PA＝2PC.21．(9分)(葫芦岛中考)某学校为了解学生“第二课堂”活动的选修情况，对报名参加A.跆拳道，B.声乐，C.足球，D.古典舞这四项选修活动的学生(每人必选且只能选修一项)进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．eq\a\vs4\al(“第二课堂”活动的选修情况,条形统计图)eq\a\vs4\al(“第二课堂”活动的选修情况,扇形统计图.)根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生共有200人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是144°.(2)将条形统计图补充完整；(略)(3)在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．22．(9分)(内江中考)如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米．(结果保留根号)解：作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，∴AD＝CE，设BE＝x，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AE)，则AE＝eq\f(BE,tan∠BAE)＝eq\r(3)x，∵∠EAC＝45°，∴EC＝AE＝eq\r(3)x，由题意得，BE＋CE＝120，即eq\r(3)x＋x＝120，解得，x＝60(eq\r(3)－1)，∴AD＝CE＝eq\r(3)x＝180－60eq\r(3)，∴DC＝180－60eq\r(3)，答：两座建筑物的地面距离DC为(180－60eq\r(3))米．23．(10分)如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB.(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)解：(1)直线CD与⊙O相切，理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∠DAB＝45°，∴∠ODA＝45°，∴∠AOD＝90°，∵CD∥AB，∴∠ODC＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，又∵点D在⊙O上，∴直线CD与⊙O相切．(2)∵⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，∴AB＝2，∵BC∥AD，CD∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形．∴CD＝AB＝2.∴S梯形OBCD＝eq\f(（OB＋CD）×OD,2)＝eq\f(（1＋2）×1,2)＝eq\f(3,2).∴图中阴影部分的面积等于S梯形OBCD－S扇形OBD＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)×π×12＝eq\f(3,2)－eq\f(π,4).24．(10分)(本溪中考)某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系．(1)直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？解：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40（0＜x≤20且x为整数），,－\f(1,2)x＋50（20＜x≤60且x为整数），,20（x＞60且x为整数）.))(2)设所获利润w(元)，当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，∴w＝(40－16)·x＝24x，当x＝20时，w＝480(元)，当20＜x≤60且x为整数时，y＝－eq\f(1,2)x＋50.∴w＝(y－16)x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋50－16))x，∴w＝－eq\f(1,2)x2＋34x，∴w＝－eq\f(1,2)(x－34)2＋578，∵－eq\f(1,2)＜0，当x＝34时，w最大，最大值为578元．答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元．25．(12分)(烟台中考)如图，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝eq\f(6,x)(x＞0)经过点D，连结MD，BD.(1)求抛物线的表达式；(2)点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；(3)动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？(请直接写出结果)解：(1)由题意知C(0，3)，且CD∥x轴，∴D点的纵坐标yD＝3.又∵D点在双曲线y＝eq\f(6,x)上，把yD＝3代入y＝eq\f(6,x)，得xD＝2，∴D(2，3)，抛物线过A(－1，0)，D(2，3)两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋3＝0，,4a＋2b＋3＝3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2.))∴y＝－x2＋2x＋3.(2)M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M′，作D关于x轴的对称点D′，连结M′D′与x轴，y轴分别交于点N，F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M′D′＋MD的长；∴M′(－1，4)，D′(2，－3)，∴M′D′直线的表达式为y＝－eq\f(7,3)x＋eq\f(5,3)，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,7)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))).(3)作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，此时圆心N到BD的距离最小，圆心角∠DNB最大，则∠BPD度数最大，此时t＝9－2eq\r(15).三、解答题(共66分)19．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx－3的图象经过点A(2，－3)，B(－1，0)．(1)求二次函数的表达式；(2)填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移个单位．解：(1)y＝x2－2x－3.(2)4.20．(8分)如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E.(1)请你写出四个不同类型的正确结论；(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的值．解：(1)∠ACB＝90°，BE＝EC，eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，OD∥AC.(答案不唯一)(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得AB＝10，∴OB＝5，在Rt△OBE中，OB＝5，BE＝4，由勾股定理得OE＝3，∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.21.(9分)九年级(1)班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现，老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间(单位：小时)分成5组．A.0.5≤x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D.2≤x＜2.5，E.2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图(如图)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是C；(2)补全频数分布直方图；(3)该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由．解：(2)如图中阴影部分．(3)小明的判断符合实际．理由：这次活动中做家务的时间的中位数所在的范围是1.5≤x＜2，小明这一周做家务2小时，所在的范围是2≤x＜2.5，所以小明的判断符合实际．22．(9分)(淮安中考)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E.(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．解：(1)直线DE与⊙O相切，连结OD.∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．(2)过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝eq\f(1,2)OA＝1，∴AF＝2，∴AF＝OD，又∵AO＝OD，OD∥AF，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝eq\f(1,2)DF＝1.23．(10分)皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径及爆炸时的高度均相同，皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间的函数图象如图所示．(1)求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h(米)随飞行时间t(秒)变化的函数表达式；(2)第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米，皮皮发现在第一花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求？解：(1)设表达式为h＝a(t－3)2＋19.8.把点(0，1.8)代入得1.8＝a(0－3)2＋19.8，∴a＝－2.∴h＝－2(t－3)2＋19.8，故相应的函数表达式为h＝－2(t－3)2＋19.8.(2)当第一发花弹发射3秒后，第二发花弹发射1秒，把t＝1代入h＝－2(t－3)2＋19.8，得h＝－2(1－3)2＋19.8＝11.8(米)．(3)这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径及爆炸时的高度均相同，皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数表达式为h＝－2(t－3)2＋19.8.皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，则令h＝h′得－2(t－3)2＋19.8＝－2(t－5)2＋19.8.∴t＝4秒，此时h＝h′＝17.8米＞16米，∴花弹的爆炸高度符合安全要求．24．(10分)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交△ABC外接圆于另一点D，点E在