北师版九年级数学下册解答题复习含答案

北师版九年级数学下册解答题复习含答案第一章三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°；解：原式＝3×eq\f(\r(3),3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)＋eq\f(1,2)－eq\r(3)＝eq\f(1,2).(2)tan260°－2sin45°＋cos60°.解：原式＝(eq\r(3))2－2×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)＝3－eq\r(2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)－eq\r(2).20．(10分)解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA；解：在Rt△ABC中，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(132－52)＝12，则sinA＝eq\f(a,c)＝eq\f(5,13)，cosA＝eq\f(b,c)＝eq\f(12,13)，tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(5,12).(2)在Rt△ABC中，斜边AB＝5，cosA＝0.5，求△ABC的其他元素．解：∵cosA＝eq\f(AC,AB)＝0.5，∴AC＝5×0.5＝eq\f(5,2)，∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2))＝eq\f(5\r(3),2).21．(12分)如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A－C－B行驶，全长68km，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果精确到1km，参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，在Rt△ACD中，sinA＝eq\f(CD,AC)，AC＝eq\f(CD,sin30°)＝2x，在Rt△BCD中，sinB＝eq\f(CD,BC)，BC＝eq\f(CD,sin45°)＝eq\r(2)x，∵AC＋BC＝2x＋eq\r(2)x＝68，∴x＝eq\f(68,2＋\r(2))≈eq\f(68,2＋1.4)＝20，在Rt△ACD中，tanA＝eq\f(CD,AD)，AD＝eq\f(CD,tan30°)＝20eq\r(3)km，在Rt△BCD中，tanB＝eq\f(CD,BD)，BD＝eq\f(CD,tan45°)＝20，∴AB＝20eq\r(3)＋20≈54(km)，∴AC＋BC－AB＝68－54＝14(km)．答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14km.22．(12分)定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作底角的邻对(can)．如图①，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝eq\f(底边,腰)＝eq\f(BC,AB).容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：(1)can30°＝eq\r(3)；(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝eq\f(8,5)，S△ABC＝24，求△ABC的周长．解：(2)过点A作AE⊥BC于点E，∵canB＝eq\f(8,5)，∴可设BC＝8x，AB＝5x，则BE＝eq\f(1,2)BC＝4x，①∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝3x.∵S△ABC＝24，∴eq\f(1,2)BC·AE＝12x2＝24，解得x＝eq\r(2)，故AB＝AC＝5eq\r(2)，BC＝8eq\r(2)，②∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝5eq\r(2)＋5eq\r(2)＋8eq\r(2)＝18eq\r(2).23．(12分)如图①为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．(1)转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图②，求连杆端点D离桌面l的高度DE；(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图③，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？(精确到0.1cm，参考数据：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)①②③解：(1)如图②，过点B作BO⊥DE，垂足为O，则四边形ABOE是矩形，∠OBD＝150°－90°＝60°，∴DO＝BD·sin60°＝40×sin60°＝20eq\r(3)cm，∴DE＝DO＋OE＝DO＋AB＝20eq\r(3)＋5≈39.6(cm)．(2)如图③，过点D作DF⊥l于点F，过点C作CP⊥DF于点P，过点B作BG⊥DF于点G，过点C作CH⊥BG于点H，则四边形PCHG为矩形，∵∠CBH＝60°，∴∠BCH＝30°.又∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，∴CH＝BC·sin60°＝10eq\r(3)，DP＝CD·sin45°＝10eq\r(2)cm，∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝(10eq\r(2)＋10eq\r(3)＋5)cm.∴下降高度为DE－DF＝20eq\r(3)＋5－10eq\r(2)－10eq\r(3)－5＝10eq\r(3)－10eq\r(2)≈3.2(cm)．故连杆端点D离桌面l的高度减少了，减少了3.2cm.24．(12分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2.(1)求证：DC＝BC；(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，判断△ECF的形状，并证明你的结论．(1)证明：过点A作AM⊥DC于点M，则AM＝BC＝2，在Rt△ADM中，tan∠ADM＝eq\f(AM,DM)＝tan∠ADC＝2，∴DM＝eq\f(AM,2)＝eq\f(2,2)＝1.∴DC＝DM＋MC＝DM＋AB＝1＋1＝2.∴DC＝BC.(2)解：△ECF是等腰直角三角形，证明：∵DE＝BF，∠EDC＝∠FBC，DC＝BC，∴△DEC≌△BFC(SAS)．∴CE＝CF，∠ECD＝∠FCB.∴∠ECF＝∠BCF＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE＝∠BCD＝90°.∴△ECF是等腰直角三角形．第二章三、解答题(共66分)19．(8分)已知二次函数的图象经过点(－1，1)，(1，5)和(3，1)，求这个二次函数的表达式．解：设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，将三个点的坐标分别代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝1，,a＋b＋c＝5，,9a＋3b＋c＝1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，,c＝4.))∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋4.20．(10分)(福建中考)已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．解：(1)由题意得4＋4m>0，∴m>－1.(2)设二次函数图象的对称轴交OA于点H.将A(3，0)代入，得－9＋6＋m＝0，∴m＝3，∴B(0，3)，对称轴为直线x＝1，在Rt△AOB中，OB＝OA＝3，∴∠BAO＝45°，∵AH＝2，∴PH＝2，∴点P的坐标为(1，2)．21．(12分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－eq\f(1,2)x2＋2x＋6的图象交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)．(1)求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；(2)把点B向上平移m个单位长度得点B1.若点B1向左平移n个单位长度，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m>0，n>0，求m，n的值．解：(1)令y＝0，则－eq\f(1,2)x2＋2x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝6，∴A(－2，0)，B(6，0)．由函数图象得当y≥0时，－2≤x≤6.(2)由题意得B1(6，m)，B2(6－n，m)，B3(－n，m)．函数图象的对称轴为直线x＝eq\f(－2＋6,2)＝2.∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴eq\f(6－n＋（－n）,2)＝2，∴n＝1.∴m＝－eq\f(1,2)×(－1)2＋2×(－1)＋6＝eq\f(7,2)，∴m，n的值分别为eq\f(7,2)，1.22．(12分)“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客购买，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y条．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？解：(1)y＝－5x＋500.(2)由题意，得w＝(x－40)(－5x＋500)＝－5x2＋700x－20000＝－5(x－70)2＋4500.∵a＝－5＜0时，∴w有最大值．当x＝70时，w最大＝4500.80－70＝10(元)．答：当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润为4500元．(3)由题意，得－5(x－70)2＋4500＝4220＋200，解得x1＝66，x2＝74.∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求．又∵为了让顾客得到最大实惠，∴x＝66.∴当销售单价定为66元时，既符合网店的利润要求，又能让顾客得到最大实惠．23．(12分)(台州中考)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观．科学原理：如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系式为s2＝4h(H－h)．应用思考：现用离度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．解：(1)∵s2＝4h(H－h)，∴当H＝20时，s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400，∴当h＝10时，s2有最大值400.∴当h＝10时，s有最大值20.∴当h＝10时，射程s有最大值，最大射程为20cm.(2)假设存在a，b，使两孔射出水的射程相同．∵s2＝4h(20－h)，∴根据题意，得4a(20－a)＝4b(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2，∴a2－b2＝20a－20b，∴(a＋b)(a－b)＝20(a－b)，∴(a－b)(a＋b－20)＝0，∴a－b＝0或a＋b－20＝0，∴a＝b或a＋b＝20.(3)设垫高的高度为mcm，则s2＝4h(20＋m－h)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h－\f(20＋m,2)))eq\s\up12(2)＋(20＋m)2.∴当h＝eq\f(20＋m,2)时，s最大＝20＋m＝20＋16.∴m＝16，此时h＝eq\f(20＋m,2)＝18.∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.24．(12分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；(2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求点N的坐标；(3)连接OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．解：(1)将点B，C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋4＝0，,64a＋8b＋4＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)，,b＝\f(3,2).))∴二次函数的表达式为y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4.(2)设点N的坐标为(n，0)(－2<n<8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.∵B(－2，0)，C(8，0)，∴BC＝10.在y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4中，令x＝0，则y＝4.∴点A(0，4)，OA＝4.∴S△ABN＝eq\f(1,2)BN·OA＝eq\f(1,2)×(n＋2)×4＝2(n＋2)．∵MN∥AC，∴eq\f(AM,AB)＝eq\f(NC,BC)＝eq\f(8－n,10)，∴eq\f(S△AMN,S△ABN)＝eq\f(AM,AB)＝eq\f(8－n,10)，∴S△AMN＝eq\f(8－n,10)S△ABN＝eq\f(1,5)(8－n)(n＋2)＝－eq\f(1,5)(n－3)2＋5.∵－eq\f(1,5)<0，∴当△AMN的面积最大时，n＝3，即N(3，0)．(3)当N(3，0)时，N为BC边的中点．∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝2eq\r(5)，AC＝eq\r(OC2＋OA2)＝4eq\r(5)，∴AB＝eq\f(1,2)AC，∴OM＝eq\f(1,4)AC.第三章三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD.求证：CE＝BE.证明：∵AB＝CD，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))－eq\o(CB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))－eq\o(CB,\s\up8(︵))，即eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠C＝∠B，∴CE＝BE.20．(10分)(梁溪区期中)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°.(1)求∠B的大小；(2)已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．解：(1)∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°；∴∠C＝∠APD－∠CAB＝30°，∵由圆周角定理得∠C＝∠B，∴∠B＝30°.(2)过O作OE⊥BD于E，∵OE过O点，∴BE＝DE，∵圆心O到BD的距离为3，∴OE＝3，∵AO＝BO，DE＝BE，∴AD＝2OE＝6.21．(12分)(烟台中考)如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为点D，E，且eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵)).(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．解：(1)△ABC为等腰三角形．理由：连接AE，∵eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝∠AEB，又∵AE＝AE，∴△AEC≌△AEB(ASA)，∴AC＝AB，∴△ABC为等腰三角形．(2)∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝eq\r(102－62)＝8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴eq\f(1,2)AE·BC＝eq\f(1,2)BD·AC，∴BD＝eq\f(48,5)，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝eq\f(48,5)，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\f(14,5)，∴sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\f(14,5),10)＝eq\f(7,25).22．(12分)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝eq\r(3)，∠C＝30°，求eq\o(AD,\s\up8(︵))的长．(1)证明：连接OD.∵OC＝OD，AB＝AC，∴∠ODC＝∠C，∠C＝∠B.∴∠ODC＝∠B.∵DE⊥AB，∴∠BDE＋∠B＝90°.∴∠BDE＋∠ODC＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE.又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(2)连接AD.∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∵AB＝AC，OD＝OC，∴∠B＝∠C＝∠ODC＝30°，BD＝CD，∴∠AOD＝60°，在Rt△BDE中，BD＝2DE＝2eq\r(3)，∴CD＝2eq\r(3).在Rt△ADC中，AC＝eq\f(CD,cosC)＝4，∴leq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\f(60,180)π·2＝eq\f(2,3)π.23．(12分)(遂宁中考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；证明：连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD.(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝eq\f(18,5)，sin∠ABD＝eq\f(3,5)，求线段BN的长．(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴eq\f(AM,AD)＝eq\f(AD,AB)，∴AD2＝AM·AB.(3)解：∵sin∠ABD＝eq\f(3,5)，∴sin∠1＝eq\f(3,5)，∵AM＝eq\f(18,5)，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝eq\f(3,5)，∴DN＝eq\f(24,5)，∴BN＝eq\r(B