揭秘若干高考数学题的数学史背景与速解决窍

标题、作者揭秘若干高考数学题的数学史背景与速解诀窍

甘大旺2014.3.8.大连湖北省第五批特级教师浙江省宁波市北仑区明港中学浙大《高中数学解题专家》撰者1

因为大连理工大学的徐利治教授是我国数学方法论研究的首创者，所以大连这座美丽、海滨、开放城市也是我国数学方法论研究的发源地。为此，大连的数学教师应该感到自豪！我也很羡慕！

教研员赵文莲老师、特级教师金钟植老师邀请我来大连作一个讲座，给我提供向大家学习与交流的机会，让我感受我国数学方法论研究发源地的学术氛围，也促使着我把原先在宁波大学举办的高中数学教师培训讲稿进行翻新和完善（有时人在外力中更容易进步），所以我对赵文莲老师、金钟植老师和各位老师表示感谢！

0.序言2

浙江省嘉兴一中特级教师沈新权已经谈到我国高考数学题四大来源：源自教材、陈题改编、高数下放、竞赛背景。读后，我受益匪浅.

作为高考数学题研究的延续，这里，我刍谈若干高考数学题的数学史背景，期望对于高中数学教师的数学高考备考、丰富专业涵养能发挥出抛砖引玉的作用。我本人的观点不成熟、有偏差，请指正！

1.揭秘若干高考数学题的数学史背景

链接31.揭秘若干高考数学题的数学史背景

数学史是研究数学学科发生、发展及其规律的科学，它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及数学科学发展对人类文明带来的影响。数学进展的累积性、延续性不同于其它学科进展的颠覆性、割裂性（例如物理学的“以太说”、化学的“燃素说”、天文学的“地心说”、医学的“抗生素”等），这说明学习、研究数学史尤其重要。

41.揭秘若干高考数学题的数学史背景

人们研究数学史可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与其它学科、人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流；可以研究数学家的生平；等等。国际数学组织HPM的研究方向是数学史及其与数学教育的关系。作为高中数学教师，我们不但可以把数学史研究用于编写数学校本教材、改进数学课堂教学，而且更应该关注高考数学题的数学史背景（命题背景、解题背景）。51.1将军饮马唐朝诗人李欣(690--751,四川三台)的诗《古从军行》的开头两句是：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河.”例1（2013年湖南省高考题）在等腰直角三角形……例2(2013年重庆市高考题)已知两个定圆……

链接61.2韦达定理法国数学家韦达（Viete，1540-1603）早年在巴黎普瓦捷大学学习法律，后任律师和法官，主业巅峰时当上法国最高法院律师，业余钻研数学，出版《应用于三角形的数学定理》（1579）、《分析方法入门》（1591）、《各种数学解答》（1593）、《论方程的识别与论证》（1615）、《斜截面》（1615）等数学专著，一直到殂后43年的1646年经晚辈在荷兰出版《韦达全集》后才得到数学界的佩服，被公认为数学符号化之父。《论方程的识别与论证》记载了被后人所称谓的“韦达定理”。例1(2012年山东省高考理科数学试卷的最后一道选择题）设函数……例2（2010年江西省高考题）如果函数……例3（2008年复旦大学自主招生题）设……是三次方程的三个根，则行列式……链接71.3斐波拉契数列意大利数学家斐波那契（L.Fibona-cci，约1170-1250）在1228年修订的《算盘全书》中保留了兔子问题：“如果每对新生的雌雄兔子在第3个月开始每月又能生一对雌雄兔子，假设不发生死亡，那么由一对初生的雌雄兔子繁殖到50个月后共有多少对雌雄兔子？”例1(2012年江西省高考题)观察下列各式……例2（2009年福建省高考题）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位……链接81.4费马点

法国数学家费马（Fermat，1601-1665）出生于法国南部图卢兹的一个皮革商的富贵家庭，从小喜爱浏览多种图书，在图卢兹大学学习法律，毕业后返回家乡图卢兹当律师、法官和议员，主业巅峰时担任法国大理院法庭法官和天主教联盟主席。

虽然钻研数学只是费马的业余爱好，但费马在数学上的总体造诣却远远超过同时代法国的职业数学家，后世被数学界称为“业余数学家之王”。在平面几何中，把到任意的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点F。当该三角形的最大内角小于120度时；否则，费马点F重合于最大内角的顶点。

例1（2008年江苏省高考题）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．……例2(第14届北京市高中数学应用初赛题)……ABCDOP1.491.5卡尔达诺的旋轮问题

意大利科学家、医学博士卡尔达诺(G.Cardano，1501-1576)出生于一个法官的家庭，上大学时学习医学取得医学博士学位，主业从医，33岁时兼任数学教师，42岁又到帕维亚大学任医学教授并逐渐成为闻名全欧的医生，他是医学、哲学、宗教、数学、物理、化学、生物学、天文学、占星预测、棋类、赌博的杂家和玩家。

卡尔达诺最重要的数学著作是1545年出版的《大术》，其中包含了一元三次方程、四次方程的求根公式。此外，他提出了著名的旋轮问题：“一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘相切而旋转，则这个小圆盘上一个定点的运动轨迹是一个椭圆”。例1（2011年江西省高考题）一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，……例2（2012年山东省高考题）如图，一单位圆的圆心的初始位置在……1.5101.6伯努利的装错信笺

瑞士数学家尼•伯努利(DanilBemoulli，1700-1782)提出了装错信笺问题——某人写了n封不同的信，并在n个信封上写下对应的地址，问把所有信笺全部装错的方法共有多少种？

后来，瑞士数学家欧拉(Euler，1707-1783)运用递推数列独立地解决了这道组合妙题。例6（2010年浙江省高考题）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、……例7(2012年全国高考题)将字母排成三行两列，要求每行的字母……1.6111.7从阿氏圆，到极点、极线

阿波罗尼(奥)斯(P.Apollonius，约前262-约

前190)是希腊数学家、天文学家，经典巨著《圆锥曲线论》领先1800年。目前比较流行的阿波罗尼(奥)斯圆是“与两定点的距离之比为常数(不等于1)的点的轨迹是一个圆”。

例1(2008年江苏省高考题)满足AB=2，AC=……三角形ABC面积的最大值是

。例2(2013年辽宁省高考题19（2）)如图，抛物线……求线段AB中点的轨迹方程。

1.7121.8

琴生不等式

丹麦工程师和业余数学家琴生(Jensen，1859-1925）出生于丹麦，跟随当房地产经理的父亲在瑞典度过了大部分童年时光，17岁回国中断了在哥本哈根科技学院的学业，24岁成为一家电话公司的工程师，31岁成为技术主管，没有专修数学和讲授数学的历练，自学高等数学，业余研究数学。著名的琴生不等式不但在数学竞赛中常被运用，而且在高考数学命题中也常常若隐若现。例1（2011年我国内地招收侨港澳台学生入学试题）设三角形ABC为锐角三角形……例2（2011年湖北省高考末题）设……1.8131.9拉格朗日中值定理

拉格朗日（Lagrange，1736-1813）是法国数学家、力学家、天文学，出生于生于意大利，幼年家境衰落，17岁就喜爱研读微积分，19岁时当上都灵皇家炮兵学院教授，20岁受数学家欧（1707-1783）的举荐被任命为德国皇家普鲁士科学院通讯院士，30岁受德国大帝的邀请前往柏林担任普鲁士科学院数学部主任，51岁以后受法国国王的邀请定居巴黎，59岁当选法兰西研究院数理委员会主席。例1（2009年辽宁省高考题21）已知函数…例2（2010年辽宁省高考题21）已知函数…1.9141.10

(揭秘若干数学高考题的数学史背景)其它

古希腊的形数、柯西函数方程、杨辉三角、阿贝尔求和、欧拉线、蝴蝶、雪花曲线、幻方、阿基米德三角形、四色、七桥、帕斯卡赌金分配、正整数的二进制,级数，

彭色列闭形定理、调和点列，交比，包络、高阶等差数列，羨除，…。152.揭秘若干数学高考题的速解诀窍

北京师大《数学通报》1997年第2期发表了我的论文“通法与特技的相对性及启示”，受到专家的好评，这一年我38岁被破格评为湖北省第5批特级教师与这篇代表作密切关联。写这篇学术争鸣论文的初衷只是要鼓励数学教师乐于潜心研究解题方法，却想不到引起了全国不少中学数学教师的共鸣，后来者居上，比如东北的特级教师金钟植对数学解题通法与特技进行了更加系统的研究(/view/2eb84c17eff9aef8941e06a5.html),新颖地提出了通法的概括性、隐蔽性、发展性、层次性等等特点.

在数学解题中，通法与特技（妙法），孰优孰劣，目前再很少有人去辩论了。再强调，无论是通法还是特技（妙法），易学且省时的解法就是好法。2.0162.揭秘若干数学高考题的速解诀窍2001年秋季我在陕西师大接受第3期高中数学国家级骨干教师培训班（兼任学习委员），聆听到裘宗沪教授的专题报告（时任教务长的罗增儒教授主持报告会），裘教授直白地说道：“熟能生巧”几乎是数学教育的全部，‥‥‥。裘宗沪教授的这种说法务实求真，与华罗庚先生提倡的“勤能补拙”是一脉相承的。在高考数学备考中，教师引导学生熟悉解题的若干速解技巧、多熟悉几套解题妙招，学生就会对数学学习增加乐趣、在数学高考中增加胜算。172.1函数图象的轴对称和点对称

2012年4月，上海市七宝中学特级教师文卫星委托我为他点评复习课“函数图像的对称性、周期性”的教学实录,文卫星老师的探究成果与在座的多位教师的探究心得可能不谋而合。思考：若函数图象有两条对称轴，则周期如何？……

2.1182.2指数、对数的分隔不等式2.22.2192.3不动点2.3202.4平面的截距式法向量2.4212.5巧求平均数、方差链接222.6三角法2.6232.7平面几何帮大忙链接242.8居高临下2.8252.9先猜后证2.9262.10(揭秘若干数学高考题的速解诀窍)其它

等积（面积或体积）法，解析法，直观感悟、分类、分析，逆向思维，经典特例，极限化，整体换元，归纳概括，寻找引理（复合函数的反函数、“对勾”函数性质、空间三直角折线、三角形内的向量等式、共轭复数性质、圆的根轴、等等），质疑辟误…。

2.1027结语3.028思考、调研题

某董事长的司机和保镖两人某次闲暇时掷硬币猜赢，商约先掷出4次正面就归司机赢得全部网络游戏币3000元，反之先掷出4次反面就归保镖赢得这些游戏币，掷硬币最少4次、最多7次就可见分晓。正当他们掷出3次正面、2次反面时，董事长要这两人陪同去接见外商，两人受到“再犯就开除”的严厉警告。投掷过程不能了结，就委