2023年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2023年全国初中数学竞赛试题

一二三

题号总分

1〜56〜1011121314

得分

评卷人

复查人

答题时注意：

1.用圆珠笔或钢笔作答；

2.解答书写时不要超过装订线;

3.草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中

有且只有一个选项是对的的.请将对的选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得。分）

1（甲）.假如实数a*,c在数轴上的位置如图所示，那么代数式

一|a++J（c-a）2+|b+c|可以化简为（）.

A.2c-a

B.2a-2b

C.-a

D.a

1（乙）.假如。=-2+a,那么1+—1的值为（）.

2+—!—

3+。

A.-418B.夜C.2»D.25/2

2（甲）.假如正比例函数y=与反比例函数y=gb#0）的图象有两个交点,其中一个交点

的坐标为（-3,-2）,那么另一个交点的坐标为（).

A.（2,3）»B.（3,-2）C.（-2,3）«D.（3,2）

2（乙）.在平面直角坐标系X。），中，满足不等式V+y2W2x+2y的整数点坐标（x,），）的个数为

）.

A.10oB.9C.72.5

3（甲）.假如a,b为给定的实数，且那么1,a+i,2a+b,a+6+l这四个数据的平均数与

中位数之差的绝对值是（）.

生二。

A.l«»B.C.-0D,-

424

3（乙）.如图,四边形458中，AC、应）是对角线，ZXABC是等边三角形.ZADC=3O°,

4）=3,或＞=5,则CD的长为（）.

A.3&o»B.4C.2V5D.4.5

4（甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的

钱数将是你的“倍”；小玲对小倩说：“你若给我〃元，我的钱数将是你的2倍”，其中〃为正整数，则”的

也许值的个数是（）.

A.1°eB・20c・3。D.4

4（乙）.假如关于工的方程“px-q=0Qp,9是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的个数是

（）.

A.5oB.6C.7D.8

5（甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子，设其朝上的

面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为外,p2,Pi,则为，Pi,p2,P3中最大

的是（）.

A.Po°B.。C.p2o°D.p3

5（乙）.黑板上写有1,-，…，-L共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a,b,

23100

然后删去a,b,并在黑板上写上数a+6+而，则通过99次操作后，黑板上剩下的数是（）.

A.2023B.101»C.100-D.99

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6（甲）.按如图的程序进行操作，规定:程序运营从“输入一个值『'到"结果是否>487?”为一次操

作.假如操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.

白一叵一巨一［^3,便

t--------------------1

6（乙）,假如c是正数，且满足a+A+c=9,」一+」一+」一=竺，那么

a+bb+cc+a9

，一+上+上的值为_________.

b+cc+aa+b

十7（甲）.如图，正方形的边长为2，记，E、尸分别是他、BC的中点，AF与DE、DB，分

别交于点M、N,则4DMN的面积是.

7（乙）.如图,的半径为20,A是。O上一点。认为04对角线作矩形O8AC,且OC=12.延长BC,

与。。分别交于£>,E两点，则CE-必的值等于.

E

R9r20"

8（甲）.假如关于x的方程Y+履+；二一3%+]=0的两个实数根分别为％,x2,那么餐的值

为.

8（乙）.设"为整数，且1W〃W2（）12.若（〃2-”+3）（/+〃+3）能被5整除，则所有〃的个数

为.

9（甲）.2位八年级同学和机位九年级同学一起参与象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此

恰好比赛一场.记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学

的得分总和为130分，并且平局数不超过比赛局数的一半，则机的值为.

9（乙）.假如正数x,y,z可以是一个三角形的三边长，那么称（x,y,z）是三角形数.若（a,b,c）

和仕，L“均为三角形数，且aW/pWc,，则3的取值范围

\abc）c

是.

10（甲）.如图，四边形ABC。内接于4?是直径,AD=DC.分别

延长54,CD,交点、为E.作8FLEC,并与EC的延长线交于点

F.若A£=AO,3C=6,则b的长为.

10（乙）.已知”是偶数，且1W〃W1OO.若有唯一的正整数对（a,6）使得成立，则这样的

n的个数为.

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11（甲）.已知二次函数y=V+（机+3）X+//J+2,当一1vx<3时，恒有y<0;关于x的方程

f+（m+3）x+m+2=0的两个实数根的倒数和小于-2.求〃2的取值范围.

10

_4

11（乙）.如图，在平面直角坐标系xOy中,AO=8,AB^AC,sinZABC=-.

8与y轴交于点E,且S△或E=S△"丁已知通过3，C,E三点的图象是一条抛物线，求这条抛

物线相应的二次函数的解析式.

12（甲）.如图,0。的直径为AB,。01过点O,且与。。内切于点B.C为。。上的点,OC与OO1交

于点D,月一。£>>8.点E在OD上，且DC=DE,BE的延长线与00,交于点F，求证:ABOC^ADO.F.

12（乙）.如图,。。的内接四边形ABC。中,AC,8。是它的对角线，AC的中点/是八钻。的内

心.求证：

⑴O/是△/B£>的外接圆的切线;

（2）AB+AD^2BD.

13（甲）.已知整数A满足:a-万是素数，且必是完全平方数.

当a,2012时，求a的最小值.

13（乙）.凸〃边形中最多有多少个内角等于150。？并说明理由.

14（甲）.求所有正整数〃，使得存在正整数不和…，X2012'满足X＜工2＜…＜工2012，旦

122012

—I-------1---------1-----------=n.

,^2012

14（乙）.将2,3,…，〃（〃22）任意提成两组，假如总可以在其中一组中找到数a,b,C（可以相同）

使得〃'=c,求”的最小值.

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2023年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1（甲）.C

解:由实数〃，b,c在数轴上的位置可知

b<a<O<c9且网>c,

所以，储一|。|+J（c-+16+c|=—u+（。+Z?）+（c—。）一（Z?+c）=­a•

1（乙）.B

W：1H----:-=1H------^―:=1-1-----7==]+~7=^=14-\/2-1=>/2.

2+_L2+』2+0-1V2+1

3+a1+V2

2（甲）.D

解：由题设知2=〃•（—3）,（-3>（-2）=6,所以。=—,0=6.

3

2

y=一龙，

解方程组13得x=—3,卜=3,

67=-2；[y=2.

y=一，

X

所以另一个交点的坐标为（3,2）.

注:运用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点

的坐标为（3,2）.

2（乙）.B

解：由题设Y+y?W2x+2），，得0W（x-l）2+（y-l）2W2.

由于x,y均为整数,所以有

(x-l)2=O,f(x-l)2=O,J(x-l)2=1,J(x-l)2=1,

1(y-1)2=0：1()'-1)2=1；[(y-1)2=0；[(y-1)2=1.

解得

Jx=1>Jx=l,J.r=1>Jx=0,Jx=0,Jx=0»Jx=2,fx=2,Jx=2>

[y=l；[.v=2；[y=0；[y=l；[,v=0；[y=2；[y=1；=0；[y=2.

以上共计9对(x,y).

3(甲).D

解:由题设知,l<a+l<a+5+l<2a+A,所以这四个数据的平均数为

I+(a+1)+(a+6+1)+(2。+h)3+4a+2b

4―4

(a+l)+(a+〃+l)4+4a+2b

中位数为

2―4，

4+4a+2Z?3+4a+2h_1

于是

44-4,

3(乙).B

解:如图，认为C£>边作等边△口）£,连接AE.

由于4C=BC,CZ)=CE,

NBCD=ZBCA+ZACD=NDCE+ZACD=ZACE,

所以△BCD会/MCE,BD=AE.

又由于NAOC=30°,所以NAOE=90°.

在RtZ\4£)E中，AE=5,AD=3,

于是£>E=〃炉-Ab=4,所以CO=Z)E=4.

4（甲）.D

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,x,y均为非负整数.由题设可得

Jx+2=〃（y_2）,

[y+n=2（x-n）f

消去x得（2y-7）〃=y+4,

2〃=(2)-7)+I5=I+』

2y-72y-l

由于士一为正整数，所以2y-7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11.从而w的值分

2y-7

别为8,3,21；x的值分别为14,7,6,7.

4（乙）.C

解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为F<0,故方程的根为一正一负.由二次函数

y=x?-px-g的图象知，当x=3时,y>0,所以3?-3p-q>0,即3P+4<9.由于p,q都是正整数，所以

0=1,1<夕<5;或p=2,lWqW2,此时都有△="!+4q>0.于是共有7组（p,q）符合题意.

5（甲）.D

解:掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是

0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个，所以为=2,目=刍，p,=2,03=史，因此P3最大.

36363636

5（乙）.C

解：由于。+6+必+1=（。+1）（。+1）,所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变.

设通过99次操作后黑板上剩下的数为x,则

Z=（l+1）加加…g+）

解得x+l=101,x=100.

二、填空题

6（甲）.7<xW19

解:前四次操作的结果分别为

3x-2,3（3x-2）-2=9x-8,3（9x-8）-2=27x-26,3（27x-26）-2=81x-80

由已知得

J27x-26W487

[81x-80>487

解得7VxW19.

容易验证，当7<xW19时，3x—2W4879x-8W487,故x的取值范围是

7cxW19.

6（乙）.7

解：由已知可得

abc9-b~c9-c-ci9-a-h

-----1------1-----------1--------1------

b+cc+aa+bb+cc+aa+b

=---9--+---9---+---9-----3c

b+cc+aa+b

=9cx-1-°---3c=7r.

9

7（甲）.8

解：连接。尸，记正方形A3CD的边长为2a.由题设易知

WFNs/\DAN,所以

ADANDN=2

2

由此得AN=2NF,所以AN=—AF.

3

在RtZXMF中，由于AB=2o,BF=a,所以

AF=dAB?+BF?=&,

,.AB26

于是cosZBDArr==-----.

AF5

由题设可知八位出四△&F,所以

ZAME=1800-ZBAF-ZAED=1800-ZBAF-ZAFB=90.

AM=AE-cosZBAF=^-a,

于是

5

MN=AN-AM=-AF-AM=迫0,

315

S^MND_MN_4

S&AFDAF15

又S&AFD=g•（2。）•（2。）=2a2,所以5.机=2AFO=24•

由于。=岳，所以％MNO=8.

73?

解：如图，设DE的中点为M,连接OM,则。0.由于

OB=V202-122=16,所以

OM二四区16x1248

BC20-M，

64

22

CM=y/0C-0M=—fBM=—

64362R

所以CE-BD=CEM-CM)-(DM-BM)=BM-CM=---=—

555

2

8（甲）.~

解：根据题意，关于x的方程有

△=二一4件2-3&+2）20,

由此得（攵一3）2W0.

又（2-3）22。，所以（女一3）一=（）,从而女=3.止匕时方程为x2+3x+\=0,解得x=w=—1.

8（乙）.1610

解：由于（万一〃+3）（/+〃+3）=〃4+5/+9=（〃一】）（〃+1）（/+1）+5/+10.

当〃被5除余数是1或4时，〃一1或〃+1能被5整除，则（/一〃+3）（/+〃+3）能被5整除;

当〃被5除余数是2或3时，1+1能被5整除，则（/一〃+3）（川+〃+3）能被5整除；

当〃被5除余数是0时，（/一〃+3）（/+〃+3）不能被5整除.

所以符合题设规定的所有”的个数为期x8+2=1610.

10

9（甲）.8

解：设平局数为“，胜（负）局数为8,由题设知

为+劝=130,

由此得0W/?W43.

又.+人=所以2a+2匕=。〃+］）（„2+2）.于是

0W8=130-(，*+l)(〃?+2)W43,

87W(m+l)(m+2)W130,

由此得机=8,或帆=9.

当帆=8时,6=40,a=5;当机=9时，6=20,a=35,a>^-=—,不合题设.

22

故机=8.

9心

解：由题设得

a+b>c,

-+—

cba

所以

一+---->—.

cc-aa

整理得

闫一3闫+1＜。，

由二次函数y=f-3x+l的图象及其性质，得匕叵出叵.

2c2

又由于0W1,所以上避＜@W1.

c2c

10(甲)当

解:如图，连接AC,BD,OD.

由4B是OO的直径知NBCA=ABDA=90°.

'4E

依题设NBFC=90°,四边形ABCD是。0

的内接四边形，所以

ZBCF^ZBAD,

所以RtABC/sRtZjjM),因此曳=丝

CFAD

由于是。O的半径,A£)=8,所以8垂直平分AC,OD//BC,

于是器=^=2.因此

DE=2CD=2AD,CE=3AD.

HA3

由AAEDsACEB,知。££C=AEBE.由于AE=—,BE=-BA,

22

所以24。・34£>=殓・3&4,朋=284。，故

22

6=丝衣=与=述

BA2\122

10（乙）.12

解：由已知有（。-3（4+。）=〃,且〃为偶数,所以。-4Q+b同为偶数，于是〃是4的倍数.设〃=4根,

则lWmW25.

（I）若相=1,可得/2=0,与b是正整数矛盾.

（H）若m至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对（〃,为满足包心.色!女=„!；若加恰是

22

一个素数的塞，且这个塞指数不小于3,则至少有两个正整数对（a,历满足巴士.也=〃?.

22

（III）若〃?是素数，或相恰是一个素数的嘉，旦这个幕指数为2,则有唯一的正整数对（a,为满足

a-ba+b

----------=m.

22

由于有唯一正整数对（a,6）,所以出的也许值为2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有1

2个.

三、解答题

11（甲）.解：由于当一lvxv3时，恒有y<。,所以

△=（TW+3）2—4（m+2）>0,

即（m+1）2>0,所以机w—l.

........（5分）

当x=-l时,yWO;当x=3时,yWO,即

（一1）2+（僧+3）（—1）+机+2W0,

且3"+3(/%+3)++2W0,

解得mW-5.

...............（10分）

设方程f+（加+3）x+（故+2）=0的两个实数根分别为“％，由一元二次方程根与系数的关系得

%=一（"7+3）,x]x2=m+2.

iio

由于—I<-----,所以

X1%210

%1+x2_机+3<9

XRm+210

解得〃zv-12,或加>一2.

因此tn<—12.

...............（20分）

AnA

11（乙）.解：由于sin/A8C==—,40=8,所以

AB5

AB=\0

由勾股定理，得80=y]AB2-AO2=6.

易知人钻。丝△ACO,因此CO=3O=6.

于是A（0,-8）,B（6,0）,C（-6,0）.

设点。的坐标为（7%,n）,由%C0E=,得.所以

-BC\n\^-AOBO,

22

gxl2（-〃）=gx8x6,

解得n=-4.

因此。为M的中点，点。的坐标为（3,-4）.

...............（10分）

因此CD,AO分别为43,BC的两条中线，点E为ZVIBC的重心，所以点E的坐标为（0,-|

设通过5,C,E三点的抛物线相应的二次函数的解析式为y=a（x-6）（x+6）.将点E的坐标代入,

2

解得“

27

故通过B,C,E三点的抛物线相应的二次函数的解析式为

228

—x——

273

（20分）

12（甲）.证明：连接班），由于03为。q的直径，所以

NODB=90°.又由于£）C=£＞E,所以△C5E是等腰三角形.

设BC与交于点M,连接,则NOM8=90。.又由于

OC=OB,所以

NBOC=2ZDOM=2ZDBC=2ZDBF=ZDOtF.

（15分）

又由于NBOC,NDO尸分别是等腰△BOC,等腰尸的顶角，所以

WOCs^DO.F.

（20分）

12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性

CI=CD.

同理,C1=CB.

故点C是△/%＞的外心.

连接OA,OC,由于/是AC的中点，且。4=OC,

所以O/_LAC,即O/_LC7.

故。/是△/%＞外接圆的切线.

（10分）

（2）如图，过点I作/E_LAD于点E,设OC与BD交于点F.

由8c=8,知OC_L3E>.

由于NCBF=Z7AE,BC=CI=AI,所以

RtABCFgRtAM/£,

所以3F=AE.

又由于/是入曲的内心，所以

AB+AD—BD=2AE=BD.

故=

.......（20分）

13（甲）.解：设。一。=相（加是素数），ab=n2（〃是正整数）.

由于（Q+b）2-=（a-b）2,

所以-4〃2="2,

（2a-m+2n）（^2a-m-In）=nr

.......（5分）

由于2a-m+2〃与2zz-〃2-2n都是正整数，且2a-m+2n>2a-m-2n{m为素数），所以

2a-m+2n=m2,2a-tn-2n=\.

（m+1）2m2—1

解得

44

.（加一

于是b—a-m=------

4

.......（10分）

又a22012,即竺亚22012.

4

又由于m是素数，解得相力89.此时,aN（>+1产=2025.

4

当a=2O25时，机=89,。=1936,〃=1980.

因此，a的最小值为2025.

.......（20分）

13（乙）.解:假设凸〃边形中有上个内角等于150°,则不等于150°的内角有〃-％个.

（1）若左=〃，由〃*150°=（〃—2）xl80°,得”=12,正十二边形的12个内角都等于150°;

........（5分）

（2）若k<n,且〃N13,由“xI50°+（〃-&）*180°>（〃-2）xl80°,可得％<12,即ZW11.

当&=11时，存在凸〃边形，其中的11个内角等于150°,其余〃-左个内角都等于

,二("2)xl80TM5。。上,。。<”]8。。，350。.

n-11n-11

...............(10分)

(3)若Ac”,且8W〃W11.

当々=〃-1时，设另一个角等于a.存在凸“边形，其中的个内角等于150°,另一个内角

a=(n-2)xl80°-(n-l)xl50o=(n-7)x30o.

由“W11可得a=(〃-7"30°<180°;由“力8可得a=5-7“30°>0°,且0^150°.

...............(15分)

(4)若A<〃，且3W〃W7,由(3)可知ZW"-2.当々="-2时，存在凸"边形，其中"一2个内

角等于150°,另两个内角都等于(〃-2)x15°.