塑性力学第三章

本构关系是固体力学的基础；例如，构件处于振动状态时，材料的阻尼是不可忽略的，而且目前尚存在着不同的阻尼理论。结构抗地震问题力学分析的规反应谱规律制订的，反应谱则是建立在阻尼的粘滞理论之上的，而结构在往复振动条件下的分析常使用复阻尼理论。以上现象需通过适当的本构关系来加以描述。

本构关系是整个固体力学的基础，而并非塑性力学专有的问题。第三章塑性本构关系本构关系是描述物质特性的。

常常是根据材料塑性变形的某些实验现象经分析思考后，再提出“合理假定”来推导本构关系的。3塑性本构关系塑性本构关系的特点：（1）要有屈服条件；（2）应力和应变间是非线性关系；（3）应力和应变间不存在弹性阶段那样的单值关系，即对应一个应变有多个应力值，对应一个应力也有多个应变值。3塑性本构关系由于塑性变形规律的复杂性，近百年来还没有出现很好的模型来描述塑性本构关系。两大类理论：（1）全量理论（形变理论）（2）增量理论（流动理论）3塑性本构关系全量理论（形变理论）H.Hencky提出的理论，不计弹性变形，不计硬化（1924年）；A.Nadai提出的理论，考虑有限变形和硬化（1938年）；A.A.HJBHWNH（依留申）提出的理论，是对Hencky

理论的系统化，考虑了弹性变形的硬化（1943年）。认为在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系。以往研究成果：3塑性本构关系增量理论（流变理论）Levy-Mises理论；Prandtl-Reuss理论；认为在塑性状态下是应变增量（应变率）和应力及应力增量（应力率）之间的关系。以往研究成果：3塑性本构关系其它理论：塑性滑移理论；内时理论；损伤理论（宏微观相结合的）。本章重点：全量理论中的依留申理论以及Levy-Mises理论及Prandtl-Reuss理论。3塑性本构关系3塑性本构关系_3.1基本要素Shield和Ziegler指出，建立塑性本构关系，需要考虑三个条件：初始屈服条件；与初始及后继加载面相关连的某一流动法则；确定一种描述材料硬化特性的硬化条件，亦即加载函数。在弹性范围内，按照广义Hooke定律，应变可表达为：3塑性本构关系_3.2广义Hooke定律在弹性范围内，按照广义Hooke定律，应变可表达为：3塑性本构关系_3.2广义Hooke定律其中：其仅表示一个独立的表达式。3塑性本构关系_3.2广义Hooke定律由此得：推导得出：3塑性本构关系_3.2广义Hooke定律同样，可导出用应力偏量来表示应变偏量的式子：3塑性本构关系_3.2广义Hooke定律代表5个独立的式子。代表1个独立的式子。所以上两式联立等价与3塑性本构关系_3.2广义Hooke定律在弹性范围内，应力和应变间的方向关系是应力主轴和应变主轴重合，而分配关系是应变偏量各分量和应力偏量各分量成比例。也可表达成：3塑性本构关系_3.2广义Hooke定律当应力从加载面卸载时，也服从广义Hooke定律，但是不能写成全量关系，而只能写成增量形式，即：3塑性本构关系_3.3全量型本构方程依留申在1943年提出了一个硬化材料在弹塑性小变形情况下的塑性本构关系（一种全量关系，类似于广义Hooke理论)：(1)体积变化是弹性的(2)应变偏张量和应力偏张量成比例：3塑性本构关系_3.3全量型本构方程其中，φ不是一个常数，它和点的位置以及荷载水平有关，即对物体的不同的点，不同的荷载水平，φ

都是不同的。但对同一点，同一荷载水平，φ是常数。又因为，将代入：3塑性本构关系_3.3全量型本构方程并考虑，得出：3塑性本构关系_3.3全量型本构方程因此，全量本构方程为：(3)应力强度是应变强度的确定函数3塑性本构关系_3.3全量型本构方程全量本构方程只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律。加载单调递增。卸载下降。在加载情况下，应力和应变之间有一一对应的关系，即在已知应变分量时，不难求应力分量。反之亦然。对理想塑性材料，由于塑性状态时，可取任意值，所以不能由应力分量确定应变分量的数值，而只能求得其相互的比值。3塑性本构关系_3.3全量型本构方程设在物体V内给定体力Fi，在应力边界上给定面力，在位移边界上给定位移，要求确定物体内处于塑性变形状态的各点的应力，应变和位移。3塑性本构关系_3.4全量理论的基本方程及边值问题的提法按全量理论，确定这些基本未知量的基本方程计为：3塑性本构关系_3.4全量理论的基本方程及边值问题的提法平衡方程：几何方程：本构方程：其中以上基本方程共15个，求解时需边界条件：3塑性本构关系_3.4全量理论的基本方程及边值问题的提法边界条件：按位移求解和按应力求解。在弹性和塑性交界处还要满足连续条件。全量理论适用于：3塑性本构关系_3.5全量理论的适用范围简单加载定律（1）小变形＋（2）简单加载简单加载：在加载过程中物体内每一点的各个应力分量按比例增长的。即在简单加载时，各应力分量与一个共同的参数成比例，即：是某一非零的参考应力状态，是一个单调增加的参数。3塑性本构关系_3.5全量理论的适用范围简单加载定律如何判断加载过程是否是简单加载？在小变形情况下，满足以下三个条件：（1）荷载按比例增长。（2）材料是不可压缩的。（3）应力强度与应变强度之间有幂函数的关系。伊留申简单加载定律3塑性本构关系_3.6卸载定律什么时候算卸载？按单一曲线假设，在这里是指物体内一点的应力强度减小的情况。3塑性本构关系_3.6卸载定律卸载定律：卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减去以卸载时的荷载改变量P’=(P-P)为假象荷载按弹性计算所得之应力或应变（即卸载过程中应力或应变的改变量）。3塑性本构关系_3.6卸载定律使用卸载定律中的方法时，有两点要注意：（1）卸载过程必须是简单卸载，即卸载过程中各点的应力分量是按比例减小的；（2）卸载过程中不发生第二次塑性变形，即卸载不应引起应力改变符号而达到新的屈服。3塑性本构关系_3.7Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则塑性区的变形与：

（1）最终的应力状态（2）加载路径有关。描述塑性变形的发展过程及其规律－－变形增量间的关系。只有增量理论，才能追踪整个加载路径来求解。（增量理论的出发点）3塑性本构关系_3.7Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则

Levy-Mises(利维-米赛斯)流动法则（1）从1870年开始，Saint-Venant通过对平面应变的处理来分析塑性变形规律。－－－应变增量主轴和应力主轴重合的。（2）1871年，M.Levy引用Saint-Venant关于方向的假设，提出了分配关系。－－－应变增量各分量与相应的应力偏量各分量成比例。决定于质点的位置和荷载水平3塑性本构关系_3.7Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则

Levy-Mises流动法则（3）1913年，VonMises独立的提出了与M.Levy所提出假设相同的关系式。－－－应变增量各分量与相应的应力偏量各分量成比例。实验表明，这个关系式并不包括弹性变形部分，仅适用于刚塑性体。3塑性本构关系_3.7Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则

Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则（1）1924年，L.Prandtl将Levy-Mises关系式推广应用于塑性平面应变问题。－－－（i）：考虑塑性状态下的弹性变形部分，并认为弹性变形服从Hooke定律。－－－（ii）：假定塑性应变增量张量和应力偏张量相似且同轴线。3塑性本构关系_3.7Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则

Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则（2）1930年，A.Reuss把L.Prandtl应用在平面应变的这个假设推广到一般三维问题。－－－建立了Prandtl-Reuss流动法则。仍决定于质点的位置和荷载水平3塑性本构关系_3.7Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则

Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则考虑塑性的不可压缩性所以，是Prandtl-Reuss法则的另一种表达形式，即塑性应变增量偏张量和应力偏张量成比例。也可写为：则：3塑性本构关系_3.7Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则

Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则弹性应变增量偏张量与应力增量偏张量成线性关系：所以有：且：3塑性本构关系_3.7Levy-Mises流动法则和Prandtl-Reuss流动法则

Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则塑性不可压缩，即体积变化是弹性的，则：所以由Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则导出的增量型本构关系式：适用于弹塑性模型3塑性本构关系_3.8理想弹塑性材料的增量型本构方程针对理想弹塑性材料，确定比例系数：理想弹塑性材料：后继屈服面和初始屈服面重合。若采用Mises屈服条件：则且应变比能增量为：3塑性本构关系_3.8理想弹塑性材料的增量型本构方程又因为：所以：3塑性本构关系_3.8理想弹塑性材料的增量型本构方程其中：将为体积应变比能增量。为形状变形比能增量。带入形状变形比能增量的表达式得：所以：3塑性本构关系_3.8理想弹塑性材料的增量型本构方程或：带入由Prandtl-Reuss（普兰特－雷斯）流动法则导出的增量型本构关系式：理想弹塑性材料的增量型本构方程。3塑性本构关系_3.9理想刚塑性材料的增量型本构方程由Levy-Mises流动法则，同样以Mises条件为初始屈服条件，则推导的：现定义应变增量强度：注意：3塑性本构关系_3.9理想刚塑性材料的增量型本构方程所以得到理想刚塑性材料的增量型本构方程：若应力和应变增量已知，则可求形状改变比能增量，然后可求应力增量的偏张量的各个分量和平均应力增量，最后可求各个应力增量。3塑性本构关系_3.10弹塑性硬化材料的增量型本构方程采用等向硬化模型，取Mises屈服条件，求：3塑性本构关系作业：习题2、4、53塑性本构关系_3.11增量型本构方程的矩阵形式以往增量型本构方程，均采用应力和应力增量表示应变增量。有限元计算中常采用位移法，即用应变求应力；并采用矩阵表达。对称，与当时应力有关，增量理论弹塑性矩阵。3塑性本构关系_3.11增量型本构方程的矩阵形式描述的是进入塑性状态的弹塑性材料在继续家族时的应力增量和应变增量关系。注意：仅适用于加载过程！对理想弹塑性材料，只需要在式中取3塑性本构关系_3.11增量型本构方程的矩阵形式弹塑性矩阵塑性矩阵对于空间问题，弹塑性矩阵为：6×6阶；且对称对空间轴对称问题，弹塑性矩阵为：4×4阶；对称对平面应力问题，弹塑性矩阵为，3×3阶；对称3塑性本构关系_3.12Prandtl-Reuss假设的实验验证理论上：

Lode为验证Prandtl-Reuss理论，进行了薄壁圆管受轴向拉伸和内压力的实验。并引入了两个参数：实验表明：上式大致成立。3塑性本构关系_3.13增量理论的基本方程及边值问题的提法

15个方程、15个未知量，可求平衡方程：3个已知某状态的应力、应变和位移，在外载增加一个增量后，其体力增加，边界面力增加，边界