图形面积计算技巧

三、图形面积计算技巧为了解决较复杂的图形面积计算问题,我们除掌握基本概念及技术公式外,还应该学会用变动的方法看问题,如恒等变形的计算方法、添加辅助线法、平移法、旋转法,割补法、等积变形、构造等方法.(一)比例法例1如图,一个长方形被两条平行直线分成四个长方形,其中三个面积分别是求?部分的面积?为什么?25×30÷20=375例2如图,一个正方形分成四个长方形,面积如图,求中间的正方形的面积?解:大正方形的面积是:4+7+3+2=16,大正方形的边长是:AB:BD=4:7,AC:CD=3:2小正方形面积:例3如图,已知ΔABC的每边长都是96厘米,用折线把ΔABC分割成面积相等的四个三角形,那么CE和CF的长度和是多少厘米?解:在ΔABC和ΔBDC中,它们高相等,练习1.在ΔABC中,AB、AC两边分别被分成四等份,阴影部分面积与ΔABC的面积比是多少?从上往下看(1+2+3+4):(1+1+2+2+3+3+4)=5:8.2如图,用面积为1,2,3,4的四张纸片拼成一个大长方形,问阴影部分的面积?解:AB:BD=1:2AC:CD=3:4=7:14=9:12例3如图,5,8和10分别代表包含该数字的三角形面积,试问包含x这个数字的四边形面积??=4,(二)添辅助线法求部分图形面积时,需借助其它图形作中介,这个中介图形需加辅助线段才能得到,这种方法叫辅助线法求面积.例4如图,ΔABC的面积为AE=EB,BD=2DC,求阴影部分的面积?解:连接EC,例5如图,已知正方形的边长是6厘米,E、F分别是CB、CD中点,求四边形ABGD的面积?解:连接CG,练习4如图,ACEG是梯形,BDFG是正方,GE=30cm,GB=24cm,AC=39cm,求梯形ACEG的面积?解:连接BE,梯形ACEG的高5.如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,四边形BGHF的面积是多少平方厘米?解:连接GF,由BF=FC(三)等量代换我们经常会遇到一些由基本图形组成的组合图形,它们的面积不能直接应用公式来计算,需要从整体上观察图形,用灵活、巧妙的方法解答这类较复杂的图形计算问题.“等量代换”就是一种简便的方法.它是将一个图形转化为另一个图形的面积,从而找到解题思路.例6ABCD和CEFG都是正方形,大正方形的边长是12厘米,则ΔBDF的面积是多少平方厘米?解:连接CF,因为BDCF是梯形,=大正方形面积的一半.例7已知ΔABC的面积为36,M为AB上的点,且BM:MA=1:2,MD平行于EC,则ΔEBD的面积是多少?解:连接MC,例8ABCD是边长为10厘米的正方形,三角形ABF的面积比三角形CEF的面积大20平方厘米,求三角形ACE的面积?条件:ΔABF的面积比ΔCEF的面积大20平方厘米,转化为:ΔABC的面积比ΔACE的面积大20平方厘米,练习:6两个半径为2厘米的圆相交,且图中的两个阴影部分的面积相等,求

的长度?长方形的面积等与两个扇形的面积,7.BCEF是平行四边形,ΔABC是直角三角形,BC=8cm,AC=7cm,阴影部分的面积比ΔADH的面积大12平方厘米,求HC的长?平行四边形BCEF的面积ΔABC的面积大12平方厘米.8如图,两个相同的直角梯形重叠在一起,阴影部分的面积()(单位:厘米)9长方形ABCD的周长是20厘米,在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形,已知这四个正方形的面积是104平方厘米,求长方形ABCD的面积?长+宽:(四)割补法割补法求面积是将不规则的图形经过分割、切拼、补充成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法.例9ΔABC是等腰三角形,D是半圆周上的中点,BC是直径,且AB=BC=10分米,求阴影部分的面积?补例10三个圆的半径都是5厘米,三个圆相交于圆心,求阴影部分的面积?阴影部分的面积和等于圆面积的一半,例11如果BF长5厘米,长方形AEFD的面积是40平方厘米,则CD长多少厘米?练习:10如图,A、B是两个圆(只有),那么两个阴影部分的面积差?11求图中阴影部分的面积?(单位:cm)圆的面积-三角形面积12小圆半径为10,大圆半径为20,那么阴影部分的面积是多少?大圆面积-正方形面积(五)等分法例12如图有左右两个一样的等腰直角三角形,其面积都是180平方厘米,分别沿着图中的线剪下两个正方形,请你求这两个正方形的面积?左图正方形面积是三角形面积的一半右图的正方形面积是三角形面积的(六)代数法例12直角梯形ABCD的中位线EF长15厘米,G是EF上一点,ΔABG的面积是梯形面积的,求EG的长?条件不够,用字母表示例13如图,FB和EC都与AD垂直FB=8cm,EC=6cm,AQ=5cm,PD=7cm,求六边形ABCDEF的面积?解:例14如图长方形被分割6个正方形,已知中央正方形的面积为1平方厘米,求原长方形的面积?中央正方形的边长为1cm,设左上角正方形的边长为练习13六张大小不同的小正方形纸片,拼成如图,已知最小的正方形面积为1平方厘米,问图中红色正方形的面积?最小正方形的边长为1,设左上角正方形的边长为红色正方形的边长为:14已知阴影部分的面积是25平方厘米,求图中环形的面积?15

AB与CD是两条垂直的直径,圆O的半径是15厘米,弧AEB是以C为圆心,AC为半径,求阴影部分的面积?(七)设数法例15已知长方形的面积是35平方厘米,ΔABE的面积是5平方厘米,ΔADF的面积是7平方厘米,求ΔAEF的面积?35=7×5,设长方形长为7厘米,宽为5厘米.例16甲、乙两个正方形的面积都是20平方厘米,阴影部分的哪一块大?大多少?想:甲圆的面积是正方形面积的几分之几?乙圆的面积是正方形面积的几分之几?甲阴影:乙阴影:11.4-4.3=7.1(平方厘米)练习16.已知两个正方形的面积差400平方厘米,则圆A与圆B的面积差是多少?(八)图形的变换1.平移法:就是在不改变图形面积大小下,通过平移把几部分阴影拼成较规则图形的方法,例17.大小两个半圆,它们直径在同一直线上,弦AB与小半圆相切,且与直径平行.弦AB长12厘米,求图中的阴影的面积?通过平移变成右图,阴影部分的面积就是圆环面积的一半.例18如图一条白色手帕,它的边长是18厘米,手帕上横竖有两道红条,红条宽都是2厘米.问这条手帕白色部分的面积是多少?把红条向右、向下平移(如图),2.反射法:一些轴对称图形,在进行面积计算时,有时可以利用对称的观点,沿图形的对称轴翻转,把两处不规则图形拼成一处规则图形,使解法简便.例19如图A部分与B部分的面积相差()平方厘米.利用对称观点解题:B部分比A部分面积大练习17求图中阴影部分的面积?(单位:cm)3.旋转法:旋转法是将图形绕一个点顺(逆)时针方向转过某一个角度,图形在转动时位置始终保持不变的那一点,叫做旋转中心,图形旋转的角度,叫做旋转角.显然图形在旋转时,它的大小和形状都没有改变.例20在直角三角形ABC中,四边形AEFD是正方形,BF=77cm,FC=52cm,求图中两个三角形面积的和?直角三角形DFC以F旋转中心,逆时针旋转90度,拼成一个大直角三角形.例21ABCD是平行四边形,并且四边相等,ΔEFG,ΔPNM是圆内正三角形,并且面积都是100平方厘米,求平行四边形ABCD的面积?ΔEFG面积是ΔABC练习18如图是一个边长10厘米的正方形,在正方形内作一个最大的圆,再在圆中作一个最大的正方形,求小正方形的面积?解法一:解法二:旋转法小正方形面积是大正方形面积的19求图中阴影部分的面积?(单位:cm)半圆面积-三角形面积(九)去空求差、合并求和在一个规则图形中去掉一个不规则图形,求阴影部分面积,可以先求出不规则图形面积,再求阴影部分的面积.例22ΔABC是腰直角三角形,腰长为10厘米,求阴影部分的面积?练习20如图ΔABC是直角三角形,AC=4cm,,以BC,AC分别为直径画半圆,两个半圆的交点D在AB边上,求阴影部分的面积?21求图中阴影部分的面积?(单位:cm)(十)杂题例23在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13、35、49,那么图中A部分的面积?图形画一下13+35+49=9722圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形面积相等,求阴影部分的周长?圆面积与长方形面积相等,想到圆面积公式推导:长方形长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径,阴影部分的周长=圆周长+圆周长23正方形的周长