超静定结构演示文稿

超静定结构演示文稿第一页，共九十二页。优选超静定结构第二页，共九十二页。§14–1超静定结构概述§14–2位移比较法第十四章：超静定结构§14–3力法§14–4对称与反对称性质的利用第三页，共九十二页。§14–1超静定结构概述1静定结构或系统无多余约束的几何不变的承载系统;其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出。PP未知力的数目多于该系统能列出的独立平衡方程的数目；2超静定结构仅仅利用平衡方程不能解出全部未知力。第四页，共九十二页。未知力的数目与独立平衡方程数目之差。3超静定次数PP4多余约束静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；与多余约束相对应的反力；5多余约束反力第五页，共九十二页。提高工程结构中构件的强度和刚度。

6超静定系统的作用：PP第六页，共九十二页。7超静定问题分类结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是超静定的。在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的;仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的;第一类：外力超静定系统。第二类：内力超静定系统。第三类：混合超静定系统；第七页，共九十二页。判断下列结构属于哪类超静定外力超静定内力超静定混合超静定第八页，共九十二页。8、基本静定基解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构；可取尾顶针处为多余约束，得到静定基；也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。第九页，共九十二页。9相当系统在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。PPPRM第十页，共九十二页。10超静定问题的分析方法以未知位移为基本未知量。1.力法：以未知力为基本未知量。2.位移法：第十一页，共九十二页。§14–2位移比较法原理：比较原结构与其基本静定结构在多余约束处的变形，二者应完全相同。PPRPM第十二页，共九十二页。（4）、变形协调方程;（5）、利用莫尔法求多余约束处的位移或转角;

变形比较法计算超静定的步骤（1）、判定超静定次数;（2）、确定多余约束；（3）、去掉多余约束代之以反力，得到相当系统;此时多余约束反力作常量处理;（6）、回代到协调方程中，求解多余约束反力。一旦多余约束得到，系统称为静定，第十三页，共九十二页。1、确定静不定次数；2、确定多余约束；qAB4、列出变形协调条件。3、去掉多余约束，得到相当系统5、莫尔积分计算多余约束处的相应位移；FB例1：如图超静定梁，梁的抗弯刚度为EI，跨度为L，受力如图，求B处的支反力。第十四页，共九十二页。5、用能量法计算梁的弯曲变形。莫尔积分法单位力作用下弯矩方程为：梁的弯矩方程：在B处加一单位力1.0qRBx第十五页，共九十二页。进行莫尔积分6、回代到协调方程中去，求解。第十六页，共九十二页。ADBCEF例2、图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为CD杆的长

BE=2AD=2米，由钢杆CD连接。试求悬臂梁AD在D点的挠度。横截面面积第十七页，共九十二页。（1）、判定超静定次数以CD杆的轴力为多余约束力；ADFNBCEFFNFNFNADBCEF一次内力超静定问题。（2）、确定多余约束，得到相当系统。（3）、去掉多余约束代之以反力第十八页，共九十二页。（4）、设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为（5）、用能量法求FFNx2x1ADBCEF第十九页，共九十二页。1.0x单位力作用下的内力方程：积分得到：ADBCEF第二十页，共九十二页。（6）、回代到协调方程中，得到：求解得到：故：第二十一页，共九十二页。1、三支座的等截面轴由于制造误差，轴承有高低，使C支座偏离轴线δ。梁的抗弯刚度为EI，求梁内的最大弯矩。LLδC第二十二页，共九十二页。2、直梁的抗弯刚度为EI，梁长为2ａ，梁的右端用一刚度K=3EI/a3的弹簧支撑。求弹簧的变形。aaq第二十三页，共九十二页。aaqABCDa3、直梁的抗弯刚度为EI，梁长为2ａ，CD杆抗拉刚度为EA，求CD杆的内力。第二十四页，共九十二页。4、两个简支梁的长均为2L，抗弯刚度相等同为EI。在梁的中点用一抗拉压刚度为EA拉杆连接。求下面梁的中点的挠度。LLLLEAq第二十五页，共九十二页。4、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。L/2L/2LLP第二十六页，共九十二页。6、AB、CD两梁的长度相等均为L，并有相同的抗弯刚度EI。两梁水平放置、垂直相交。CD为简支梁，AB的A端固定，B端自由。加载前两梁在中点接触，不计梁的自重。求在力P的作用下B端沿作用力方向的位移。PABCD第二十七页，共九十二页。7、两个横梁的抗弯刚度均为EI＝24×106Nｍ2，拉杆的横截面面积为A＝3×10－4㎡。横梁与拉杆采用同种材料E＝200GPａ。P＝50KN，L=2m,求D点的铅垂挠度。LLL2.5LDBCP第二十八页，共九十二页。8、平面直角拐与CD杆均为圆截面，材料相同。直角拐的抗扭刚度GIｐ＝4EI/5，拉杆CD的抗拉压刚度相等EA＝2EI/(5L2)，其中EI为直角拐的抗弯刚度。求CD杆的内力。ABCD2LLPLH第二十九页，共九十二页。9、求拉杆BC内的应力。EALEIaPBC第三十页，共九十二页。10、悬臂梁的抗弯刚度为EI，长为2ａ，用二根长均为ａ的拉杆BC、CD支撑。已知拉杆的抗拉压刚度相等同为EA。求C点的铅垂挠度。2aaaBCD第三十一页，共九十二页。11、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。求梁内的最大弯矩。EI1EI2L1L2P第三十二页，共九十二页。12、直角拐的抗拉压刚度相等为EI，拉杆DG的横截面面积为A，且I＝Aａ２。求C截面处的弯矩。2aaaaqDGC第三十三页，共九十二页。13、求图示中二个悬臂梁的最大弯矩。EI,aEI,aEA,aP第三十四页，共九十二页。14、图示结构由梁AB与杆CD组成，AC=CB，材料相同。梁截面的惯性矩为I，拉杆的横截面的面积为A。求拉杆CD的轴力。qABCD第三十五页，共九十二页。15水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，使杆1的长度做短了δ=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面积均相同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求装配后两杆的应力。第三十六页，共九十二页。16两端固定的阶梯装杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；该杆材料的弹性模量为E=210GPa，线膨胀系数。试求当温度升高30℃后，该杆各部分产生的应力。第三十七页，共九十二页。17两根长度各为L1和L2的梁交叉放置如图所示，在两梁交叉点处作用有集中荷载P。两梁横截面的惯性矩分别为I1及I2，梁的材料相同。试问在两梁间荷载是怎样分配的。第三十八页，共九十二页。二、刚架的静不定（平面刚架）1、直角拐的抗弯刚度为EI，做刚架的内力图。qaaBA第三十九页，共九十二页。2、求B处支反力PaaB第四十页，共九十二页。4、求B支反力2a2aM=PaPB第四十一页，共九十二页。qM=2qa22aa2aBa5、求B支反力第四十二页，共九十二页。6、作刚架的弯矩图2qa2q2a2aB第四十三页，共九十二页。7、C支座抬高δ＝qa4/3EI，作刚架的弯矩图aaδqC第四十四页，共九十二页。8、求C截面的转角M=2qa22aaC第四十五页，共九十二页。１、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的2.5倍。C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。aPaCK刚架的静不定（空间刚架）第四十六页，共九十二页。２、平面直角拐与CD杆均为圆截面，材料相同。直角拐的抗扭刚度GIｐ＝4EI/5，拉杆CD的抗拉压刚度相等EA＝2EI/(5L2)，其中EI为直角拐的抗弯刚度。求CD杆的内力。ABCD2LLPLH第四十七页，共九十二页。３、直角拐在支座A处有一沉陷δ，求在载荷的作用下，A处的约束反力。设GIP＝4EI/5,δ=qL4/6EILqLδABC第四十八页，共九十二页。1、求C截面的铅垂位移aaaqC三、二次静不定第四十九页，共九十二页。２、作刚架的弯矩图2a2aaaP=qaq第五十页，共九十二页。静不定综合1、两根长为L＝2米的竖直简支梁，在跨中用一根拉紧的金属丝相连。左边梁的抗弯刚度为EI1＝50KNm2，右边梁的抗弯刚度为EI2＝150KNm2。金属丝的横截面面积为65毫米2，E＝70GPa，求在两梁的跨中施加两个2KN的力后，金属丝内的应力。2KN2KN0.5m第五十一页，共九十二页。2、GH平行于EF，并且GH、EF垂直于圆轴的轴线。圆轴、GH、EF处于水平。已知：圆轴的直径为D1＝100毫米，GH、EF的直径为D2＝20毫米，材料相同。G＝0.4E，M＝7KNｍ。求轴内的最大剪应力。1m1m2m2mMGHEF第五十二页，共九十二页。3、直角拐ABC的直径为D＝20毫米，CD杆的横截面面积为A＝6.5㎜2，二者采用同种材料制成。弹性模量E＝200GPａ，剪变模量G＝80GPａ。CD杆的线胀系数α=12.5×10-6，温度下降50º。求出直角拐的危险点的应力状态。0.6mABCD0.3m第五十三页，共九十二页。4、图示中梁为工字型截面，梁的跨度为L＝4米，力P＝40KN作用在梁的中央。对本身形心轴的惯性矩为IZ＝18.5×106mm4，求该梁的最大剪力和弯矩，并求C截面的挠度。P90C第五十四页，共九十二页。5、图示中的钢制直角曲拐ABC的截面为圆型，直径为d＝100毫米，位于水平面内，A端固定，C处铰接钢制直杆CD。已知CD杆的横截面面积为A＝40毫米2，钢材的弹性模量为E＝200GPa，剪变模量为G＝80GPa，线胀系数α＝12.5×10－6(1/oC)。试用能量法求在K截面处作用有扭转力偶M＝5KNm，且CD的温度下降40oC，CD杆的内力。AK=KB=BC=0.5m，CD=0.3mAKBCDM第五十五页，共九十二页。6、图示中的悬臂梁AB1与刚架B2CD需要在B1和B2处铰接，但在铅垂方向存在装配误差△。已知各杆均为直径d=20毫米的钢杆，长为L＝1000毫米，材料的弹性模量为E＝200GPa，剪变模量G＝0.4E，许用应力为[σ]=100Mpa,且不考虑剪力的影响。试根据强度条件确定最大允许的装配误差△，以及B1和B2间的相互作用力。AB1B2CDLLL第五十六页，共九十二页。7、水平曲拐ABC为圆截面折杆，在C端的上方有一铅垂杆DK。制造时DK做短了Δ。曲拐AB段和BC段的抗扭刚度和抗弯刚度皆为EI、GIP。且GIP＝4EI/5。杆DK的抗拉刚度为EA，且EA＝2EI/(5a2)。求①:在AB段的B端加多大的扭矩，才可使C点刚好与D点接触。②若C、D两点接触后，用铰链将C、D两点连接在一起，再逐渐撤出所加扭矩，求此时DK杆的轴力和固定端A截面的内力。ABDKC2aaa第五十七页，共九十二页。12-19直梁ABC在承受荷载前搁置在支座A、C上，梁与支座B间有一间隙Δ。当加上均布荷载后，梁就发生变形而在中点处与支座B接触，因而三个支座都产生约束反力。如要使这三个约束反力相等，则Δ值应为多大？第五十八页，共九十二页。§14–3用力法解超静定结构一、力法的基本概念1、多余约束如果该处约束反力已知，则力系便成为静定系统；且该约束对体系的几何不变无影响。2、相当系统解除多余约束，代之以相应的约束反力，此时在外力与多余约束反力的作用下成为静定结构。X1PB第五十九页，共九十二页。3、解的唯一性既满足力系平衡，又满足变形协调。4、正则方程利用B处竖向位移，可求出X1。PBX1①、设为B处沿X1方向作用单位力时B点沿方向的位移；B1.0②、此时B点的变形协调方程可写为：第六十页，共九十二页。，

系数项计算5B1.0为只考虑单位力作用下的内力方程PBX1第六十一页，共九十二页。MP(x)为去掉多余约束力，只考虑外载作用下的内力方程。PPBX16回代到正则方程求解得到第六十二页，共九十二页。注意：1、写外载作用下内力方程时，多余约束＝0，其余支座不动；2、写单位载荷作用下的内力方程时，外载=0，支座不动。第六十三页，共九十二页。二、静不定次数的确定1、用力法计算超静定时，应先确定多余约束的数目；★2、在超静定结构上去掉多余约束的基本方式有：判定系统为几次静不定，从而确定补充方程的个数。一般情况下，多余约束力的个数，就是静不定的次数。①、去掉一个链杆，相当于去掉一个联系；X1X1第六十四页，共九十二页。②、去掉一个单铰，相当于去掉两个联系；X1X1X2X2③、切断一根梁式杆，相当于去掉三个联系；X1X1X2X2X3X3第六十五页，共九十二页。④、钢接处改为单铰，相当于去掉一个联系。X1X1第六十六页，共九十二页。三、力法的典型方程力法的思想力法以多余力作为未知量，通过位移条件求解多余约束力，再由静定系统求其他的未知反力。

例、图示中刚架的抗弯刚度EI为常量。求约束反力。P1P2AB第六十七页，共九十二页。P1P2AX1X2X31、取支座B处为多余约束拆除，暴露出三个约束反力X1、X2、X3P1P2AB2、在B处，由于约束的限制不可能有任何的线位移和角位移。故其约束条件为：（沿X1方向的线位移为零）（沿X2方向的线位移为零）（沿X3方向的角位移为零）。第六十八页，共九十二页。P1P21.01.01.0

3、设：和外载分别作用于静定基点B沿分别引起P1P2AX1X2X3方向的位移分别为：点B沿方向的位移分别为：点B沿方向的位移分别为：第六十九页，共九十二页。应用叠加原理得到点B的总位移为：正则方程P1P2AX1X2X3n次超静定时的正则方程为：第七十页，共九十二页。为主系数，为副系数；表示引起处沿方向的位移；表示结构所有已知载荷产生的在处沿方向的位移。由位移互等知：第七十一页，共九十二页。①、写外载引起的内力方程时，多余力去掉；中将含有项，即：注意事项②、单位力分别施加，一次只能施加一个单位力；③、切断一根梁时，★④、折掉一根二力杆时，且积分遍布于整个结构上；

多余约束力成对出现，施加单位力时也应成对施加，相当于相对位移等于零。第七十二页，共九十二页。⑤、求出多余力后，欲求某点位移时，莫尔积分应遍布整个结构；⑥、写外载作用下的内力方程时，多余力去掉，支座不动；写单位力作用下的内力方程时，外载卸掉，支座不动。注意事项第七十三页，共九十二页。力法的计算步骤⑤

、解正则方程，求多余约束反力；①、判定超静定次数，确定多余约束；②、去掉多余约束，并用约束反力代换得到相当系统；③、建立正则方程；④

写外载作用下的内力方程MP(x)时，和单位载荷作用下的内力方程，并计算系数项。第七十四页，共九十二页。系数项的计算主系数：副系数：常数项：静不定系统的内力第七十五页，共九十二页。例1、刚架如图所示，抗弯刚度为EI，求刚架的约束反力。Pa/2a/2aABCD（1）、取固定铰处为多余约束卸掉，得到相当系统；a/2a/2aX1X2P（2）、此系统为２次超静定，写出正则方程如下：第七十六页，共九十二页。xxxP（3）、分别施加单位力，写单位力作用下的内力方程和外载作用下的内力方程。外载作用下各段的内力方程CD段：BC段：BA段

Pa/2a/2aABCD第七十七页，共九十二页。1.01.0Pa/2a/2aABCD单位力X1=1.0作用下对应段的内力方程单位力X２=1.0作用下对应段的内力方程；第七十八页，共九十二页。（4）、计算各系数项第七十九页，共九十二页。(5)代入正则方程：

求解得到：第八十页，共九十二页。1判定多余约束反力的数目；C

例3

如图所示，梁EI为常数。试求支座反力，作弯矩图，并求梁中点的挠度。PAB(a)PABCX1(b)②选取并去除多余约束，代以多余约束反力，列出变形协调方程。变形协调方程第八十一页，共九十二页。变形协调方程③用能量法计算和PABC(c)x(d)xABX1AB1x(e)由莫尔定理可得(图c、d、e)超静定结构第八十二页，共九十二页。④求多余约束反力将上述结果代入变形协调方程得⑤求其它约束反力

由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向见图(f)。CPAB(f)⑥作弯矩图，见图(g)。(g)+–⑦求梁中点的挠度第八十三页，共九十二页