大学物理授课教案第一章质点运动学

第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）第一篇力学运动学：只从几何看法研究物体的运动。如地点、速度、加快度等，而不涉及物体间的互相作用。力学2.动力学：研究物体间互相作用的规律。静力学：研究力及力矩的平衡问题（此内容本课程不讲）第一章质点运动学§1-1质点运动的描绘z一、参照系坐标系质点1、参照系参照系为描绘物体运动而选择的参照物体叫参照系。2、坐标系o为了定量地研究物体的运动，要选择一个与坐标系参照系相对静止的坐标系。如图1-1。说明：参照系、坐标系是随意选择的，x视办理问题方便而定。图1-13、质点忽略物体的大小和形状，而把它看作一个拥有质量、据有空间地点的物体，这样的物体称为质点。说明：⑴质点是一种理想模型，而不真切存在（物理中有好多理想模型）⑵质点突出了物体两个基天性质1）拥有质量2）据有地点⑶物体可否视为质点是有条件的、相对的。

y1第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）二、地点矢量运动方程轨迹方程位移1、地点矢量zz定义：由坐标原点到质点所在地点的矢量称为P地点矢量（简称位矢或径矢）。如图1—2，取的是r直角坐标系，r为质点P的地点矢量yrxiyjzk（1-1）y位矢大小：xrrx2y2z2（1-2）x图1-2r方向可由方向余弦确立：cosx，cosy，coszrrr2、运动方程质点的地点坐标与时间的函数关系，称为运动方程。运动方程⑴矢量式：r(t)x(t)iy(t)jz(t)k（1-3）⑵标量式：xx(t)，yy(t)，zz(t)（1-4）3、轨迹方程从式（1-4）中消掉t，得出x、y、z之间的关系式。如平面上运动质点，运动方程为xt，yt2，得轨迹方程为yx2（抛物线）4、位移以平面运动为例，取直角坐标系，如图1—3。ySA,t设t、tt时辰质点位矢分别为r1、r2，则t时间B,ttr间隔内位矢变化为r1rr2r1（1-5）r2称r为该时间间隔内质点的位移。rr2r1(x2x1)i(y2y1)j（1-6）ox大小为图1-3r(x2x1)2(y2y1)2议论：⑴比较r与r：两者均为矢量；前者是过程量，后者为刹时量⑵比较r与s（A→B行程）两者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。一般状况下rs。当t0时，rs。⑶什么运动状况下，均有rs？2第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）三、速度为了描绘质点运动快慢及方向，进而引进速度看法。1、平均速度如图1-3定义：vr（1-7）t称v为ttt时间间隔内质点的平均速度。rxyvxivyj(1-8）vijtttv方向：同r方向。说明：v与时间间隔(ttt)相对应。2、刹时速度大体地描绘了质点的运动状况。为了描绘质点运动的细节，引进刹时速度。定义：vlimvlimrdrtdtt0t0称v为质点在t时辰的刹时速度，简称速度。vdr（1-9）dt结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。vdrdxidyjvxivyj（1-10）dtdtdtdy式中vxdx，vy。vx、vy分别为v在x、y轴方向的速度重量。dtdtv的大小：drdx2dy2vvx2vy2dtdtdtv的方向：所在地点的切线向前面向。v与x正向轴夹角知足tgvy。vx3、平均速率与刹时速率定义：vsttt内行程tt（拜见图1-3）称v为质点在ttt时间段内得平均速率。为了描绘运动细节，引进刹时速率。定义：vlimvlimsds0tdtt0t称v为t时辰质点的刹时速率，简称速率。，，有当时（拜见图1-3），rdrsdrdst0ds可知：vdsdrdrvdtdtdt3第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）即vvds（1-11）dt结论：质点速率等于其速度大小或等于行程对时间的一阶导数。说明：⑴比较v与v：两者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。⑵比较v与v：两者均为刹时量；前者为标量，后者为矢量。四、加快度为了描绘质点速度变化的快慢，进而引进加快度的看法。

y1、平均加快度A,t1B,tt定义：avv2v1（见图1-4）r（平移）tt1称a为ttt时间间隔内质点的平均加快度。2r22、刹时加快度为了描绘质点运动速度变化的细节，引进刹时加快度。定义：alimalimvdvtdtt0t0

ox图1-4称a为质点在t时辰的刹时加快度，简称加快度。dvd2r（1-12）adtdt结论：加快度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。advdvxid2xdtdt式中：dvx，aydvyaxdt2dtdt

dvyd2xd2ydtjdt2idt2j2d2y。ax、ay分别称为a在x、y轴上的重量。dt2222a的大小：22dvxdvyd2xd2yaaxaydtdtdt2dt2a的方向：a与x轴正向夹角知足tgayax说明：a沿v的极限方向，一般状况下a与v方向不同样（如不计空气阻力的斜上抛运动）。刹时量：r，v，v，a综上：过程量：r，v，v，a矢量：r，r，v，v，a，a标量：s，v，v4第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）五、直线运动质点做直线运动，如图1-5A,tB,ttx1、位移ox1x2rr2r1x2ix1ixi图1-50：r沿+x轴方向；x0：r沿-x轴方向。2、速度vdrdxivxidtdtvx0，v沿+x轴方向；vx0，v沿-x轴方向。3、加快度dvdvxiaxiadtdtax0，a沿+x轴方向；ax0，a沿-x轴方向。由上可见，一维运动状况下，由x、vx、ax的正负就能判断位移、速度和加快度的方向，故一维运动可用标量式取代矢量式。六、运动的二类问题第一类问题：微分运动方程v、a等第二类问题：积分例1-1：已知一质点的运动方程为r2ti(2t2)j（SI），求：t=1s和t=2s时位矢；⑵t=1s到t=2s内位移；⑶t=1s到t=2s内质点的平均速度；⑷t=1s和t=2s时质点的速度；t=1s到t=2s内的平均加快度；⑹t=1s和t=2s时质点的加快度。解：⑴⑵⑶⑷

r12ijmr24i2jmrr2r12i3jmvr2i3jt22i3jm/s1vdr2i2tjdt5第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）⑸⑹

v12i2jm/sv22i4jm/svv2v12jat2jm/s2t31d2rdv2jm/s2a2dtdt例1-2：一质点沿x轴运动，已知加快度为a4t(SI)，初始条件为：t0时，v00，x010m。求：运动方程。解：取质点为研究对象，由加快度定义有adv4t（一维可用标量式）dtdv4tdt由初始条件有：vtdv4tdt00得：v2t2由速度定义得：vdx2t2dtdx2t2dt由初始条件得：xtdx2t2dt100即x2t210m3由上可见，例1-1和例1-2分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。§1-2圆周运动

Cet(切向）本节先议论圆周运动，今后再推行到一般曲线运动。一、自然坐标系图2-1中，BAC为质点轨迹，t时辰质点P位于A

（法向）A,tenP点，et、en分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为原点，et切向和en法向为坐标轴，由此组成的参照系为自B然坐标系（可推行到三维）图1-66第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）二、圆周运动的切向加快度及法向加快度1、切向加快度v如图1-7，质点做半径为r的圆周运动，t时辰，质et点速度A,tvvet（2-1）enr式（2-1）中，vv为速率。加快度为

Odvdvdet（2-2）aetvdtdtdt式（2-2）中，第一项为哪一项由质点运动速率变化惹起的，方向与et共线，称该项为切向加快度，记为图1-7atdvetatet（2-3）dt式（2-3）中，atdv（2-4）dtat为加快度a的切向重量。结论：切向加快度重量等于速率对时间的一阶导数。2、法向加快度式（2-2）中，第二项是由质点运动方向改变惹起的。B,tdtet如图1-8，质点由A点运动到B点，有dsA,tvv'drete'tOdsAB因为etOA，e'tOB，所以et、e't夹角为d。dete'tet（见图1-9）当d0时，有detetdd。图1-8因为detet，所以det由A点指向圆心O，可有detdenet式（2-2）中第二项为：detdetdvdsv2dvdtvdtenrdtenrenet该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。称此项为法向加快度，记为anv2en（2-5）图1-9r大小为7第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）v2（2-6）anr式（2-6）中，an是加快度的法向重量。结论：法向加快度重量等于速率平方除以曲率半径。3、总加快度aatanatetanendvetv2en（2-7）dtr大小：2v22aat2an2dv（2-8）dtraat方向：a与et夹角（见图1-10）知足OA,ttgananat4、一般曲线运动图1-10圆周运动的切向加快度和法向加快度也合用于一般曲线运动，只需把曲率半径r看作变量即可。议论：⑴如图1-10，a老是指向曲线的凹侧。⑵an0时，r，质点做直线运动。此时0,加快直线运动（dvat0,减速直线运动（dt0,匀速直线运动（

dv0)dv0)dv0)⑶an0时，r有限，质点做曲线运动。此时0,加快曲线运动（dvat0,减速曲线运动（dt0,匀速曲线运动（

dv0)dv0)dv0)加快圆周运动圆周运动减速圆周运动匀速圆周运动⑷曲线运动特例竖直下抛抛体运动平抛斜抛8第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）三、圆周运动的角量描绘y1、角坐标B,tt如图1-11，t时辰质点在A处，tt时辰质点A,t在B处，是OA与x轴正向夹角，是OBOx与x轴正向夹角，称为t时辰质点角坐标，为ttt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间隔内的角位移。图1-112、角速度平均角速度：定义：（2-9）t称为平均角速度。平均角速度大体地描绘了物体的运动。为了描绘运动细节，需要引进刹时角速度。定义：limlimd（2-10）t0t0tdtd（2-11）dt结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导数。说明：角速度是矢量，的方向与角位移d方向一致。3、角加快度为了描绘角速度变化的快慢，引进角加快度看法。（1）平均角加快度：设在ttt内，质点角速度增量为定义：t（2-12）称为ttt时间间隔内质点的平均角加快度刹时角加快度：定义：limlimdd2（2-13）tdtdt2t0t0称为t时辰质点的刹时角加快度，简称角加快度。dd2（2-14）dtdt2结论：角加快度等于角速度对时间的一阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。说明：角加快度是矢量，方向沿d方向。9第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）4、线量与角量的关系把物理量v、v、a、at、an等称为线量，，等称为角量。（1）、v与关系B,tdt如图2-7，dt0时，drdsrddrdsA,tdrrdr有ddtdtr（2-15）即vr（2）、at与关系图1-12x式（2-15）两边对t求一阶导数，有dvrddtdt即atr（2-16）（3）、an与关系v2r2r2anrr即anr2（2-17）§1-3相对运动本节议论一个质点的运动，用两个参照系来描绘，并得出两个参照系中物理量（如：速度、加快度）之间的数学变换关系。一、相对位矢设有参照系E、M，其上固连的坐标系，如图M相关于E运动。质点P相对E、M的位矢分别为rPE、rPM，相对位矢为：rPErPMrO'E(2-18)结论：P对E的位矢等于P对M的位矢与O'对E的位矢的矢量和。二、相对位移由（2-18）有

1-13，二坐标系相应坐标轴平行，yMyprPErPMEOxrO'EOx图1-1310第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）rPErPMrO'E（2-19）结论：P对E的位移等于P对M的位移与O'对E的位移的矢量和。三、相对速度将式（2-18）两边对时间求一阶导数有vPEvPMvME（2-20）结论：P对E的速度等于P对M的速度与M对E的速度的矢量和。四、相对加快度由式（2-20）对时间求一阶导数有aPEaPMaME（2-21）结论：P对E的加快度等于P对M的加快度与M对E的加快度的矢量和。例1-3：质点做平面曲线运动，其位矢、加快度和法向加快度大小分别为r，a和an，速度为v，试说明下式正确的有哪些？advdt⑵ad2rdt2⑶a2an2dvdt⑷avvr解：因为标量矢量，所以⑴不对。又ad2r，而d2rd2r，故⑵不对。dt2dt2dt2而a2an2atdvdv，所以⑶正确。dtdt因为avv中r为曲率半径，而这里r为位矢的大小，不必定是曲率半径，所以⑷不对。r例1-4：在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其行程S随时间的变化规律为Sv0t1bt2，此中，v0，b都是正的常数，则t时辰齿尖P的速2度和加快度大小为多少？解：vdsv0btdt11第一章质点运动学沈阳工业大学郭连权（教授）dv2222v0bt4a22vbatandtRR2例1-5：一质点运动方程为r10cos5ti10sin5tj（SI），求：（1）at?（2）an?dr50sin5ti50cos5tj解：⑴vdtvv50sin5t250cos5t250m/satdv0dt⑵ana2at2a250m/s2(注意此方法，给定运动方程，先求出a、at，今后求an，这样比用anv2求an简单)r例1-6：抛射体运动，抛射角为，初速度为v0，不计空气阻力，⑴问运动中a变化否？at、an变否？⑵随意地点at、an为多少？⑶抛出点、最高点、落地点at、an