频率与概率的概念古典概率演示文稿

频率与概率的概念古典概率演示文稿第一页，共五十五页。优选频率与概率的概念古典概率第二页，共五十五页。

实例1

DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率，发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006频率稳定性的实例第三页，共五十五页。

实例2近百年世界重大地震.其中“重大”的标准：①震级7级左右；②死亡5000人以上.

时间地点级别死亡1905.04.04

印度克什米尔地区

8.0

88万1906.08.17

智利瓦尔帕莱索港地区

8.4

2万1917.01.20印度尼西亚巴厘岛

1.5万1920.12.16中国甘肃

8.6

10万1923.09.01

日本关东地区

7.9

14.2万1935.05.30

巴基斯坦基达地区

7.5

5万1948.06.28

日本福井地区7.3

0.51万1970.01.05

中国云南7.7

1万1976.07.28

中国河北省唐山

7.8

24.2万第四页，共五十五页。

时间地点级别死亡1978.09.16伊朗塔巴斯镇地区

7.9

1.5万

1995.01.17日本阪神工业区

7.20.6万1999.08.17土耳其伊兹米特市

7.41.7万2003.12.26伊朗克尔曼省

6.83万2004.12.26印尼苏门答腊岛附近海域

9.015万2008.05.12中国四川省文川8.07万世界每年发生大地震频率约为14%

实例2

近百年世界重大地震.其中“重大”的标准：①震级7级左右；②死亡5000人以上.第五页，共五十五页。世界性大流感发生频率1/40—1/301918年西班牙型流感H1N1亚型1957年亚洲型流感H2N2亚型1968年中国香港型流感H3N2亚型1997年中国香港型流感H5N1亚型

实例3

近百年世界重大流感4亿人感染5000万人死亡20天传遍美国半年席卷全球第六页，共五十五页。李宇春

周笔畅张靓颖3528308票

3270840票1353906票

实例42005年8月26日“超女”决赛第七页，共五十五页。手机投票总数8153054李宇春得票频率

43.27%周笔畅得票频率

40.12%张靓颖得票频率

16.61%得票频率可被视为获胜概率第八页，共五十五页。0.40.6123456723151240.21.00.20.40.8250.502470.4940.440.422560.5020.4980.5120.5240.51622250.5021240.48180.36270.542512492510.502262258试验序号

实例5

将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做7遍观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大，频率f呈现出稳定性在1/2处波动较大在1/2处波动较小第九页，共五十五页。K.皮尔逊实验者德.摩根蒲丰K.皮尔逊204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005fn(H)fn(H)第十页，共五十五页。结论（1）频率有随机波动性，即对于同样的n，所得的fn(H)不一定相同；（2）抛硬币次数n较小时，频率fn(H)

的随机波动幅度较大，但随n的增大，频率fn(H)呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率fn(H)

总是在0.5附近摆动，而逐渐稳定于0.5.第十一页，共五十五页。一、频率

1.频率的定义

2.频率的性质

(1)非负型：0

fn(A)1；(2)规范性：fn(S)＝1；fn()=0；(3)可加性：若AB＝

，则fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).第2讲概率的定义、古典概率可推广到有限个两两互斥事件的和事件第十二页，共五十五页。二、概率

定义

将随机试验E重复作n次，其中事件A出现nA次,则事件A发生的频率为若当n较大时，频率在某一个数p附近波动，则称p数为事件A在试验E下的统计概率.记作P(A)=p.

1.概率的统计定义对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用第十三页，共五十五页。说明1)一般用频率作为概率的近似值，这个定义并不要求所做的试验属于古典模型，因此便于在实际中应用，但要得到比较准确的概率近似值，需要做大量的重复试验.

2)频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增大时，频率趋于稳定值，这个从本质上反映事件在试验中出现可能性大小的稳定值就是事件的统计概率.fn(H)稳定性某一定数第十四页，共五十五页。频率的性质

(1)非负性：0

fn(A)1；(2)规范性：fn(S)＝1；fn()=0；(3)可加性：若AB＝，则fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).可推广到有限个两两互斥事件的和事件第十五页，共五十五页。

(1)非负性：0

P(A)1；(2)规范性：P(S)＝1；P()=0；(3)可加性：若AB＝，则P(AB)＝P(A)＋P(B).可推广到有限个两两互斥事件的和事件概率的性质如果事件两两互不相容，则可列可加性第十六页，共五十五页。二、概率的定义

1.概率的统计定义

2.概率的公理化定义其中为两两互不相容的事件.

设S是随机试验E的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E

的每一事件A赋于一个实数，记为P(A),称之为事件A的概率，这种赋值满足下面的三条公理：(1)非负性：(2)规范性：(3)可列可加性：第十七页，共五十五页。一、频率二、概率三、概率的性质第2讲概率的定义、古典概率证设由概率的可列可加性得显然第十八页，共五十五页。一、频率二、概率三、概率的性质第2讲概率的定义、古典概率2.有限可加性:设两两互不相容，那么第十九页，共五十五页。证取由概率的可列可加性得第二十页，共五十五页。3.设A、B是两个随机事件，且AB，则证三、概率的性质2.有限可加性:设两两互不相容，那么第二十一页，共五十五页。证4.对任意一个随机事件A，则3.设A、B是两个随机事件，且AB，则三、概率的性质2.有限可加性:设两两互不相容，那么第二十二页，共五十五页。5.对任意一个随机事件A，则证3.设A、B是两个随机事件，且AB，则三、概率的性质2.有限可加性:设两两互不相容，那么4.对任意一个随机事件A，则第二十三页，共五十五页。5.对任意一个随机事件A，则3.设A、B是两个随机事件，且AB，则三、概率的性质2.有限可加性:设两两互不相容，那么4.对任意一个随机事件A，则6.加法公式：对任意两个事件A,B,有第二十四页，共五十五页。证AABB由图可得又由性质3得因此得第二十五页，共五十五页。推广三个事件和的情况n个事件和的情况右端共有项.第二十六页，共五十五页。解设A={小王能答出甲类问题},B={小王能答出乙类问题}.(1)(2)(3)

例1

小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求(1)小王答出甲类而答不出乙类问题的概率；(2)小王至少有一类问题能答出的概率；(3)两类小王问题都答不出的概率.第二十七页，共五十五页。

例2

设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)

取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在时取得.——

最小值——

最大值最大值在时取得.第二十八页，共五十五页。

例2中回答当时,

取得最小值是否正确？这相当于问如下命题是否成立答：不成立！⊛⊛式是“羊肉包子打狗”——有去路,没回路为什么呢？学了几何概型便会明白.第二十九页，共五十五页。一、频率二、概率三、概率的性质四、古典概率的计算第2讲概率的定义、古典概率第三十页，共五十五页。四、古典概率的计算定义如果随机试验E

具有下列特点：

(1)样本空间包含的基本事件的总数是有限个；

(2)每个基本事件等可能的发生.则称E

为古典(等可能)概型设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:计算公式第三十一页，共五十五页。

例3（无放回地摸球）设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率.样本空间包含的基本事件总数为A所包含基本事件的总数为解，由已知条件第三十二页，共五十五页。例4（有放回地摸球）设袋中有4只红球和6只黑球，现从袋中有放回地摸球3次，求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.

解

A={前2次摸到黑球、第3次摸到红球}第1次摸到黑球6种第2次摸到黑球第1次摸球第2次摸球10种第3次摸球10种10种6种第3次摸到红球4种第三十三页，共五十五页。例5

把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.

4个球放到3个杯子的所有放法因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为解第三十四页，共五十五页。

例6

在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3个记录其纪念章的号码.

（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率.

解设A={任选3个记录其纪念章最小号码为5},B={任选3个记录其纪念章最大号码为5}.由已知条件所求概率分别为第三十五页，共五十五页。解设A={第1至第4个杯子各放一个球},由已知条件例7把4个球放到10个杯子中去，每个杯子只能放一个球，求第1至第4个杯子中各放一个球的概率.所以

例8

在1-2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少?第三十六页，共五十五页。

解设A={取到的数能被6整除}，B={取到的数能被8整除}。故所求概率为由已知条件第三十七页，共五十五页。

例9（分房模型）设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:

（1）某指定的k个盒子中各有一球；（2）某指定的一个盒子恰有m个球();

（3）某指定的一个盒子没有球；（4）恰有k个盒子中各有一球；（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.第三十八页，共五十五页。解设(1)—(6)的各事件分别为，则第三十九页，共五十五页。假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.

64个人生日各不相同的概率为故64个人中至少有2人生日相同的概率为解分房模型的应用第四十页，共五十五页。

1o

明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型.

3o计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式,将复杂问题简单化.如例9.

2o样本空间包含的基本事件总数随试验设计的不同而不同，一般样本空间包含的基本事件总数越小越好.计算古典概率注意事项第四十一页，共五十五页。若P(A)0.01,则称A为小概率事件.小概率事件一次试验中小概率事件一般是不会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理————(即实际推断原理)第四十二页，共五十五页。

例10

区长办公室在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的.

解

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么12次接待来访者都是在周二、周四的概率为

小概率事件在实际中几乎是不可能发生的，从而可知接待时间是有规定的.第四十三页，共五十五页。一、频率二、概率三、概率的性质四、古典概率的计算五、几何概率第2讲概率的定义、古典概率第四十四页，共五十五页。五、几何概率定义当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量（长度，面积，体积）相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为(其中S是样本空间的度量，是构成事件A的子区域的度量)这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概率.说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时，就归结为几何概率.第四十五页，共五十五页。

例11

某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.9点10点10分钟分析不妨认为此人听到报时的整点为10点，那么它打开收音机的时间应该在9点与10点之间.60分钟解所求概率第四十六页，共五十五页。解设分别为甲、乙两人到达的时刻，则例12（会面问题）甲、乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面.先到的人等候另一个人，经过时间t(t<T)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.那末两人会面的充要条件为第四十七页，共五十五页。故所求的概率为若以表示平面上点的坐标，则有第四十八页，共五十五页。例13

甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1:15、1:30、1:45、2:00.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的.如果它们约定

(1)见车就乘;(2)最多等一辆车.求甲、乙同乘一车的概率.解设x,y分别为甲、乙两人到达的时刻，则有第四十九页，共五十五页。见车就乘的概率为:甲、乙同乘一车充分必要条件为第五十页，共五十五页。最多等一辆车，甲、乙同乘一车的概率为甲等多等了一辆车乙等多等了一辆车甲、乙乘同一辆车第五十一页，共五十五页。小结最简单的随机现象古典概型古典概率几何概型第五十二页，共五十五页。一、频率（波动）概率（稳定）二、概率性质小结第五十三页，共五十五页。思考题

1.从5双不同的手套中任取4只，求(1)恰有两只配成一双的概率？(2)至少有2只配成一双的概率？

2.n个人每人携带一件礼品参加联欢会。联欢会开始后，先把所有礼品编号，然后每人各抽取一个号码，按号码领取礼品。试求(1)所有参加联欢会的人都得到别人赠送的礼品的概率；(2)恰好k个人拿到自己的礼品的概率。第五十四页，共五十五页。禽流感

H5N1禽流感病毒属于甲型流感病毒的一个高致病性亚型，其中的H和N分别代表病毒表面的两种蛋白质，H是血凝素（hemagglutinin)

，就如病毒的钥匙，它能打开和侵入人类或动物的细胞；N是神经氨酸酶(neuraminidase)，其作用是破坏细胞，使病毒在感染者体内自由传播。N蛋白共有9个类型，分为N1—N9，H蛋白有15个类型，即H1—H15，不同的N蛋白和H蛋白结合，组成不同的病毒类型，毒性和传播速度也不同。H5N1病毒就包括了H5蛋白和N1蛋白病毒的毒性很强，病禽的死亡率几乎可达100%。

H5N1禽流感病毒属于甲型流感病毒的一个高致病性亚型，其中的H和N分别代表病毒表面的两种蛋白质，H是血凝素(hemagglutinin)，就如病毒的钥匙，它能打开和侵入人类或动物的细胞；N是神经氨酸酶(neuraminidase)，其作用是破坏细胞，使病毒在感染者体内自由传播。N蛋白共有9个类型，分为N1—N9，H蛋白有15个类型，即H1—H15，不同的N蛋白和H