初中数学湘教版七年级上册第三章一元一次方程

《第3章一元一次方程》一、选择题1．下列四个式子中，是方程的是（）A．3+2=5 B．x=1+4x C．2x﹣3 D．a2+2ab+b22．下列方程中，解为x=1的是（）A．2x=x+3 B．1﹣2x=1 C． D．3．如果方程（m﹣1）x2|m|﹣1+2=0是一个关于x的一元一次方程，那么m的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±14．已知x=y，则下面变形不一定成立的是（）A．x+a=y+a B．x﹣a=y﹣a C． D．2x=2y5．下列变形正确的是（）A．4x﹣5=3x+2变形得4x﹣3x=2﹣5B．变形得x=1C．3（x﹣1）=2（x+3）变形得3x﹣1=2x+6D．变形得3x=66．方程5x﹣=4x﹣的解是（）A．x= B．x=﹣C．x= D．以上答案都不是7．若方程3（2x﹣2）=2﹣3x的解与关于x的方程6﹣2k=2（x+3）的解相同，则k的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣8．学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，设有x辆汽车，可列方程（）A．45x﹣28=50（x﹣1）﹣12 B．45x+28=50（x﹣1）+12C．45x+28=50（x﹣1）﹣12 D．45x﹣28=50（x﹣1）+129．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（）元．A．140 B．120 C．160 D．10010．如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（）A．10克 B．15克 C．20克 D．25克二、填空题11．已知代数式﹣6x+16与7x﹣18的值互为相反数，则x=．12．小华同学在解方程5x﹣1=（）x+3时，把“（）”处的数字看成了它的相反数，解得x=2，则该方程的正确解应为x=．13．已知关于x的一元一次方程kx=5，k的值为单项式﹣的系数与次数之和，则这个方程的解为x=．14．如果x=1是方程的解，那么关于y的方程m（y﹣3）﹣2=m（2y﹣5）的解是．15．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了千克．16．诗云：“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”请回答：盏灯．三、解答题17．解方程：（1）3x﹣5=2x；（2）x=x﹣；（3）4x﹣3（20﹣2x）=10；（4）10y﹣5（y﹣1）=20﹣2（y+2）；（5）=﹣1；（6）=．18．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？19．联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台．（1）这两次各购进电风扇多少台？（2）商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？20．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？21．为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：档次每户每月用电数（度）执行电价（元/度）第一档小于等于200第二档大于200小于400第三档大于等于400例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×=357（元）．某户居民五、六月份共用电500度，缴电费元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份各用电多少度？

《第3章一元一次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．下列四个式子中，是方程的是（）A．3+2=5 B．x=1+4x C．2x﹣3 D．a2+2ab+b2【考点】方程的解．【分析】含有未知数的等式叫方程，对照方程的两个特征解答．【解答】解：A、3+2=5不含未知数，故不是方程；B、符合方程的定义，x=1+4x是方程．C、2x﹣3不是等式，故不是方程；D、a2+2ab+b2不是等式，故不是方程．故选B．【点评】本题考查的是方程的定义，即含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．2．下列方程中，解为x=1的是（）A．2x=x+3 B．1﹣2x=1 C． D．【考点】方程的解．【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．因而把x=1代入各个方程进行检验就可以．【解答】解：把x=1代入各个方程进行检验得到x=1是第三个方程=1的解．故选C【点评】代入检验是判断一个数是否是一个方程的解的常用方法，要牢记此方法．3．如果方程（m﹣1）x2|m|﹣1+2=0是一个关于x的一元一次方程，那么m的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【考点】一元一次方程的定义．【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：∵（m﹣1）x2|m|﹣1+2=0是一个关于x的一元一次方程，∴m﹣1≠0，2|m|﹣1=1，解得m=﹣1．故选C．【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．4．已知x=y，则下面变形不一定成立的是（）A．x+a=y+a B．x﹣a=y﹣a C． D．2x=2y【考点】等式的性质．【分析】答题时首先记住等式的基本性质，然后对每个选项进行分析判断．【解答】解：A、B、D的变形均符合等式的基本性质，C项a不能为0，不一定成立．故选C．【点评】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．5．下列变形正确的是（）A．4x﹣5=3x+2变形得4x﹣3x=2﹣5B．变形得x=1C．3（x﹣1）=2（x+3）变形得3x﹣1=2x+6D．变形得3x=6【考点】等式的性质．【分析】根据移项要变号，即可判断A；等式的两边都除以，求出结果即可判断B；注意3（x﹣1）=3x﹣3即可判断C；先根据分式的基本性质变形，再约分得出5x﹣5﹣2x=1，最后移项合并即可判断D．【解答】解：A、∵4x﹣5=3x+2∴4x﹣3x=2+5，故本选项错误；B、t=，两边都除以得：t=，故本选项错误；C、∵3（x﹣1）=2（x+3），∴3x﹣3=2x+6，故本选项错误；D、∵﹣=1，∴﹣=1，∴5x﹣5﹣2x=1，∴3x=6，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了等式的性质，分式的基本性质，约分等知识点，注意：移项要变号，m（a+b）=ma+mb，不是ma+b．6．方程5x﹣=4x﹣的解是（）A．x= B．x=﹣C．x= D．以上答案都不是【考点】解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去分母得：30x﹣1=24x﹣2，移项合并得：6x=﹣1，解得：x=﹣．故选B．【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解．7．若方程3（2x﹣2）=2﹣3x的解与关于x的方程6﹣2k=2（x+3）的解相同，则k的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣【考点】同解方程．【专题】计算题．【分析】先解方程3（2x﹣2）=2﹣3x，得x=，因为这个解也是方程6﹣2k=2（x+3）的解，根据方程的解的定义，把x代入方程6﹣2k=2（x+3）中求出k的值．【解答】解：3（2x﹣2）=2﹣3x得：x=把x=代入方程6﹣2k=2（x+3）得：6﹣2k=2（+3）解得：k=．故选B．【点评】本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．8．学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，设有x辆汽车，可列方程（）A．45x﹣28=50（x﹣1）﹣12 B．45x+28=50（x﹣1）+12C．45x+28=50（x﹣1）﹣12 D．45x﹣28=50（x﹣1）+12【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】等量关系为：45×汽车辆数+28=50×（汽车辆数﹣1）﹣12．依此列出方程即可求解．【解答】解：设有x辆汽车，根据题意得：45x+28=50（x﹣1）﹣12．故选C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出题目中的相等关系．一般地题目中有2个未知量时，应设数目较小的量为未知数，另一个量作为等量关系的依据．9．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（）元．A．140 B．120 C．160 D．100【考点】一元一次方程的应用．【分析】设商品进价为每件x元，则售价为每件×200元，由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可．【解答】解：设商品的进价为每件x元，售价为每件×200元，由题意，得×200=x+40，解得：x=120．故选：B．【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．10．如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（）A．10克 B．15克 C．20克 D．25克【考点】一元一次方程的应用．【专题】计算题．【分析】根据天平仍然处于平衡状态列出一元一次方程求解即可．【解答】解：设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，根据题意得：m=n+40；设被移动的玻璃球的质量为x克，根据题意得：m﹣x=n+x+20，x=（m﹣n﹣20）=（n+40﹣n﹣20）=10．故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系．二、填空题11．已知代数式﹣6x+16与7x﹣18的值互为相反数，则x=2．【考点】解一元一次方程；相反数．【专题】计算题．【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：﹣6x+16+7x﹣18=0，解得：x=2，故答案为：2【点评】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．小华同学在解方程5x﹣1=（）x+3时，把“（）”处的数字看成了它的相反数，解得x=2，则该方程的正确解应为x=．【考点】解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】先设（）处的数字为a，然后把x=2代入方程解得a=﹣3，然后把它代入原方程得出x的值．【解答】解：设（）处的数字为a，根据题意，把x=2代入方程得：10﹣1=﹣a×2+3，解得：a=﹣3，∴“（）”处的数字是﹣3，即：5x﹣1=﹣3x+3，解得：x=．故该方程的正确解应为x=．故答案为：．【点评】本题求a的思路是根据某数是方程的解，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．13．已知关于x的一元一次方程kx=5，k的值为单项式﹣的系数与次数之和，则这个方程的解为x=2．【考点】解一元一次方程；单项式．【专题】解题方法．【分析】解答此题的关键是根据题意求出k的值，然后列方程，求解即可．【解答】解：由题意可知，k=﹣+3=，列方程，得x=5，方程两边同乘以，得x=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查学生对单项式和解一元一次方程的理解和掌握，解答此题的关键是根据k的值为单项式﹣的系数与次数之和，求得k的值．14．如果x=1是方程的解，那么关于y的方程m（y﹣3）﹣2=m（2y﹣5）的解是y=0．【考点】解一元一次方程；一元一次方程的解．【专题】计算题．【分析】先把x=1代入关于x的方程求出m的值，再把m的值代入关于y的方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．【解答】解：∵x=1是方程2﹣（m﹣x）=2x的解，∴2﹣（m﹣1）=2×1，解得m=1，∴关于y的方程为y﹣3﹣2=2y﹣5，移项得，y﹣2y=﹣5+2+3，合并同类项得，﹣y=0，系数化为1得，y=0．故答案为：y=0．【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，比较简单，根据方程的解的定义求出m的值是解题的关键，注意移项要变号．15．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买了5千【考点】一元一次方程的应用．【分析】设买了甲种药材x千克，乙种药材（x﹣2）千克，根据用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材比乙种药材多买了2千克，列方程求解．【解答】5解：设买了甲种药材x千克，乙种药材（x﹣2）千克，依题意，得20x+60（x﹣2）=280，解得：x=5．即：甲种药材5千克．故答案是：5．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．16．诗云：“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”请回答：3盏灯．【考点】一元一次方程的应用．【专题】工程问题．【分析】要求尖头几盏灯，就要先设出求知数，再根据倍加增求出各层的灯数，然后根据共灯三百八十一等量关系列出方程求解．【解答】解：设顶层有x盏灯根据题意得：x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381解得：x=3．因此尖头（最顶层）有3盏灯．故答案为：3．【点评】根据倍加增，可以由顶层灯的盏数，表示出其它各层的灯的盏数，根据共灯381列方程求解．三、解答题17．解方程：（1）3x﹣5=2x；（2）x=x﹣；（3）4x﹣3（20﹣2x）=10；（4）10y﹣5（y﹣1）=20﹣2（y+2）；（5）=﹣1；（6）=．【考点】解一元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用．【分析】（1）根据一元一次方程的解法，移项，合并同类项即可；（2）根据一元一次方程的解法，移项，合并同类项，系数化为1即可；（3）根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；（4）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解；（5）先利用分数的基本性质将分子、分母中的小数化为整数，再去分母，去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解．【解答】（1）解：移项得，3x﹣2x=5，合并同类项得，x=5；（2）解：移项得，x﹣x=﹣，合并同类项得，x=﹣，系数化为1得，x=﹣；（3）解：去括号得，4x﹣60+6x=10，移项得，4x+6x=10+60，合并同类项得，10x=70，系数化为1得，x=7；（4）解：去括号得，10y﹣5y+5=20﹣2y﹣4，移项得，10y﹣5y+2y=20﹣4﹣5，合并同类项得，7y=11，系数化为1得，y=；（5）解：去分母得，8（y﹣1）=3（y+2）﹣12，去括号得，8y﹣8=3y+6﹣12，移项得，8y﹣3y=6﹣12+8，合并同类项得，5y=2，系数化为1得，y=；（6）解：方程可化为，=，去分母得，3（3x+5）=2（2x﹣1），去括号得，9x+15=4x﹣2，移项得，9x﹣4x=﹣2﹣15，合并同类项得，5x=﹣17，系数化为1得，x=﹣．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．18．（2023•泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【考点】一元一次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】设每件衬衫降价x元，根据销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，列出方程求解即可．【解答】解：设每件衬衫降价x元，依题意有120×400+（120﹣x）×100=80×500×（1+45%），解得x=20．答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程求解．19．联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因价格提高30元，进货量减少了10台．（1）这两次各购进电风扇多少台？（2）商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场获利多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】（1）设第一次购买了x台电风扇，则第二次购买了（x﹣10）台电风扇，根据题意可得，第一次比第二次单价低30元，据此列方程求解；（2）分别求出两次的盈利，然后求和．【解答】解：（1）设第一次购买了x台电风扇，则第二次购买了（x﹣10）台电风扇，由题意得，=150+30，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解，且符合题意，则x﹣10=60﹣10=50，答：第一次购买了60台电风扇，则第二次购买了50台电风扇；（2）第一次获利：（250﹣150）×60+（250﹣150﹣30）×50=6000+3500=9500（元）．答：商场获利9500元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．20．甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟（x+200）米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差=环形场地的路程，列出方程