mathematics教程第9章概率统计计算课件

第九章概率统计计算

北京交通大学9.1概率统计软件包Mathematica可以处理概率统计方面的计算,有关的命令都在Mathematica自带的统计软件包中,这些软件包存放在Mathematica系统自己带有程序包,存放在C:\wnmath22\Packges\Statisti目录中,用户可以在Mathematica的工作窗口键入Ctrl+O,调出Open窗口,将该窗口左下脚的文件类型选为Packages(*.m),并用鼠标双击文件夹packages打开其中的子文件夹,然后任意双击Statisti文件夹,就可以在窗口左上部分看到很多以.m为扩展名的Mathematica所有自带的概率统计软件包文件:(见图)下一页返回9.2Mathematica概率统计软件包中最常用的命令为了使用的方便,下面写出一些概率统计软件包中最常用的内容及其调用文件名需调用Statistics`DescriptiveStatistics`软件包才能使用的函数:Mean[data]计算样本数据data的均值Median[data]计算样本数据data的中值Variance[data]计算样本数据data的方差StandardDeviation[data]计算样本数据data的标准差

注意:

data是由离散数据组成的表例1：1)已知样本数据为dat={3.2,5.1,1,4,2},试计算dat的均值、中值、方差、标准差。2)产生[0，1]上的20个随机实数，并计算它们的均值、中值、方差、标准差。解:In[1]:=<<Statistics`DescriptiveStatistics`*调用统计软件包In[2]：=dat={3.2,5.1,1,4,2}；In[3]:=Mean[dat]Out[3]:=3.06In[4]:=Median[dat]Out[4]:=3.2In[5]:=Variance[dat]Out[5]:=2.608In[6]:=StandardDeviation[dat]Out[6]:=1.61493In[7]:=dat1=Table[Random[],{20}]Out[7]:={0.93234,0.439331,0.407442,0.469035,0.741679,0.884562,0.111029,0.696056,0.0591917,0.622276,0.825287,0.540449,0.594691,0.597846,0.490196,0.463414,0.404672,0.19069,0.105273,0.942455}In[8]:=Mean[dat1]Out[8]:=0.525896In[9]:=Median[dat1]Out[9]:=0.515323In[10]:=Variance[dat1]Out[10]:=0.0724088In[11]:=StandardDeviation[dat1]Out[11]:=0.269089需调用Statistics`DiscreteDistributions`软件包才能使用的概率分布和函数:

BernoulliDistribution[p]表示均值为p的离散伯努力分布BinomialDistribution[n,p]表示参数为n,p的二项分布b(n,p)GeometricDistribution[p]表示参数为p的几何分布HypergeometricDistribution[n,nsucc,ntot]表示参数为n,nsucc,ntot的超几何分布PoissonDistribution[mu]表示参数为mu的F泊松分布PDF[distribution,k]离散分布distribution的分布律P{=k}CDF[distribution,x]概率分布为distribution且随机变量小于值x的概率P{<x}Mean[distribution]计算离散分布distribution的均值Variance[distribution]计算离散分布distribution的方差StandardDeviation[distribution]计算离散分布distribution的标准差Random[distribution]产生具有概率分布为distribution一个伪随机数例5：假设投掷一个均匀硬币只能出现正面和反面两种情况,用Mathematica命令来验证投掷出现正面的概率为0.5。解：设X表示投掷一个均匀硬币出现正面和反面的随机变量，它只取两个值0和1,采用具有概率分布均值为0.5的离散伯努力分布BernoulliDistribution[0.5]产生的伪随机数Random[BernoulliDistribution[0.5]]来模拟实际投掷一个均匀硬币的情况，规定出现随机数是1表示投掷硬币出现正面;0表示投掷硬币出现反面。命令中分别用产生的100个伪随机数、500个伪随机数和1000个伪随机数出现数1的频率来验证投掷出现正面的概率为0.5的结论，命令为：In[1]:=<<Statistics`DiscreteDistributions`*调用统计软件包In[2]：=sy[n_]:=Module[{face,s},*定义模拟函数s=BernoulliDistribution[0.5];For[face=0;i=1,i<=n,i=i+1,If[Random[s]==1,face=face+1]];N[face/n]]

In[3]={sy[100],sy[500],sy[1000]}Out[3]={0.53,0.514,0.472}

从模拟试验结果可以看到投掷出现正面的概率在0.5附近波动。需调用Statistics`ContinuousDistributions`软件包才能使用的概率分布和函数BetaDistribution[,]表示参数为和的Beta连续分布CauchyDistribution[,]表示参数和的柯西连续分布ChiSquareDistribution[n]表示有n个自由度的2连续分布ExponentialDistribution[lambda]表示参数为的指数连续分布"FRatioDistribution[n1,n2]表示分子参数为n1和分母参数为n2的F连续分布NormalDistribution[,]表示均值为标准差为的正态分布N(,2)RayleighDistribution[]表示参数为的瑞利连续分布"StudentTDistribution[n]表示有n个自由度的t连续分布UniformDistribution[min,max]表示[min,max]区间上的均匀分布PDF[distribution,x]概率分布为distribution的分布密度函数f(x)CDF[distribution,x]概率分布为distribution且随机变量小于值x的概率P{<x}Mean[distribution]计算概率分布为distribution均值Variance[distribution]计算概率分布为distribution方差StandardDeviation[distribution]计算概率分布为distribution标准差Random[distribution]产生具有概率分布为distribution一个伪随机数例3：设随机变量服从正态分布N(0,32),（１）求出对应的分布密度函数,并画出对应的分布密度函数图形（２）求随机变量<2的概率解:Mathematica命令为:In[1]:=<<Statistics`ContinuousDistributions`In[2]:=dis=NormalDistribution[0,3]Out[2]:=NormalDistribution[0,3]In[3]:=PDF[dis,x]1Out[3]=-------------------x2/183ESqrt[2Pi]

In[4]:=Plot[PDF[dis,x],{x,-10,10},PlotRange->All]Out[4]:=-Graphics-In[5]:=CDF[dis,2]*求随机变量<2的概率Out[5]=0.747507实验3生成自由度为12的t分布的连续型随机变量及其概率密度函数，分布函数，并用图形显示。Mathematica命令In[1]:=<<Statistics`ContinuousDistributions`In[2]:=rv=StudentTDistribution[12];In[3]:=f=PDF[rv,x]Out[3]:=(*t(12)的概率密度函数*)

In[4]:=Plot[f,{x,-5,5}]In[5]:=g=CDF[rv,x];Out[5]:=(*t(12)的分布函数*)In[6]:=Plot[g,{x,-4,4}]实验4某地区18岁女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从N(110,122)。在该地区任选一个18岁的女青年，测量她的血压X。求P(X≤105)和P(100<X≤120)，画出血压X概率密度函数的图像。Mathematica命令In[1]:=<<Statistics`ContinuousDistributions` rv=NormalDistribution[110，12]; f[x_]:=PDF[rv，x]; F[x_]:=CDF[rv，x]; N[F[105]]Out[5]=0.338461(*P(X105)=0.338461*)In[6]:=N[F[120]-F[100]]Out[6]=0.595343(*P(100<X100)=0.595343*)In[7]:=Plot[f[x],{x,110-12*3,110+12*3}]实验5设随机变量X-b(20-0.4),计算（1）P{X=0}（2）P{X=1}（3）P{X<2}（4）P{X≤6}（5）P{X>10}（6）P{X≥15}Mathematica命令

In[1]:=<<Statistics`DiscreteDistributions`brv=BinomialDistribution[20,0.4];f[x_]:=PDF[brv,x];df[x_]:=CDF[brv,x];f[0]Out[5]=0.0000365616(*得P(=0)=0.0000365616*)In[6]:=f[1]Out[6]=0.000487488(*得P(=1)=0.000487488*)In[7]:=df[2]-f[2]Out[7]=0.000524049(*得P(<2)=0.000524049*)In[8]:=df[6]Out[8]=0.250011(*得P(

6)=0.250011*)In[9]:=1-df[10]Out[9]=0.127521(*得P(>10)=0.127521*)In[10]:=1-df[15]+f[15]Out[10]=0.00161152(*得P(

15)=0.00161152*)实验7给出20个服从均值为0、标准差为3的正态分布N(0,32)随机数组成的表Mathematica命令

In[1]:=<<Statistics`ContinuousDistributions`In[2]:=rv=NormalDistribution[0,3];RandomArray[rv,20]Out[3]={0.636589,-4.25557,2.04924,1.58478,0.0244065,0.371864,-0.933664,3.54688,-0.888601,-0.650029,-2.49356,-3.07764,-2.44536,-0.512286,-1.68181,3.8912,-4.28302,-2.01939,-0.294215,2.13797}实验8n个人每人携带一件礼物参加联欢会。联欢会开始后，先把所有的礼物编号，然后每人任意抽取一个号码，按号码领取礼物。请分别就参加联欢会的人数n=1到20人求所有人都得到别人赠送礼物的概率，并从这些概率值推断随着参加联欢会的人数增加是否会出现所有人都得到别人赠送礼物的概率会不断变小的情况？Mathematica命令

In[1]:=p[n_]:=Sum[(-1)^k*1/k!,{k,2,n}]In[2]:=Table[N[p[k],18],{k,1,20}]Out[2]={0,0.500000000000000000,0.333333333333333333,0.375000000000000000,0.366666666666666667,0.368055555555555556,0.367857142857142857,0.367881944444444444,0.367879188712522046,0.367879464285714286,0.367879439233605900,0.367879441321281599,0.367879441160691161,0.367879441172161906,0.367879441171397190,0.367879441171444985,0.367879441171442173,0.367879441171442329,0.367879441171442321,0.367879441171442322}从计算结果可以看到，随着参会人数的增加，所有人都得到别人赠送礼物的概率不会不断变小，而是会收敛到一个约为0.367879,也就是e-1。实验9在某纺织厂中，一个工人要照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。假设在某一段时间内，每个纱锭的纱被扯断的概率为0.005，求在这段时间内，纱被扯断次数不大于10的概率。分析：相当于进行800次独立试验，用X表示纱被扯断次数，则有X服从b(800,0.005)的二项分布，而所求概率为P{X≤10}可以用求b(800,0.005)的分布函数得到。Mathematica命令

In[1]:=<<Statistics`DiscreteDistributions`In[2]:=rvb=BinomialDistribution[800,0.005];f[k_]:=CDF[rvb,k]f[10]Out[4]=0.997239所以在这段时间内，纱被扯断次数不大于10的概率为0.997239。实验10设样本数据为{110.1,25.2,50.5,50.5,55.7,30.2,35.4,30.2,4.9,32.3,50.5,30.5,32.3,74.2,60.8}

求该样本的均值、方差、标准差、中位数、众数。Mathematica命令

In[1]:=<<Statistics`DescriptiveStatistics`In[2]:=d1={110.1,25.2,50.5,50.5,55.7,30.2,35.4,30.2,4.9,32.3,50.5,30.5,32.3,74.2,60.8};In[3]:=Mean[d1]Out[3]=44.8867(*均值为44.8867*)In[4]:=var=Variance[d1]Out[4]=614.89(*方差为614.89*)In[5]:=Sqrt[var]Out[5]=24.797(*标准差为24.797*)In[6]:=Median[d1]Out[6]:=35.4(*中位数为35.4*)In[7]:=Mode[d1]Out[7]:=50.5(*众数为50.5*)实验11设样本数据为{16.5,13.8,16.6,15.7,16.0,16.4,15.3}，求该样本的均值、几何均值和调和均值。Mathematica命令

In[1]:=<<Statistics`DescriptiveStatistics`In[2]:=d2={16.5,13.8,16.6,15.7,16.0,16.4,15.3};In[3]:=Mean[d2]Out[3]=15.7571(*均值为15.7571*)In[4]:=GeometricMean[d2]Out[4]=15.7296(*几何均值为15.7296*)In[5]:=HarmonicMean[d2]Out[5]=15.7007(*调和均值为15.7007*)实验12设样本数据为{6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3}，画出该样本的条形图和饼形图。Mathematica命令

In[1]:=<<Graphics`Graphics`In[2]:=d3={6.5,3.8,6.6,5.7,6.0,6.4,5.3};In[3]:=BarChart[d3](*画样本条形图10-1*)In[4]:=PieChat[d3](*画样本饼形图10-2*)实验14设有如下30个样本数据

0.192,-1.382,0.508,-0.813,0.531,-0.536,0.826,1.404,-1.372,-0.349,1.054,1.372,1.624,0.709,1.034,1.670,-0.205,-0.017,-0.204,0.056,-1.179,-0.645,1.201,0.453,0.304,-1.832,0.058,1.870,0.912,-1.769

（1）画出具有10个等距子区间的直方图；（2）画出具有16个等距子区间的直方图。（1）Mathematica命令

In[1]:=d={0.192,-1.382,0.508,-0.813,0.531,-0.536,0.826,1.404,-1.372,-0.349,1.054,1.372,1.624,0.709,1.034,1.670,-0.205,-0.017,-0.204,0.056,-1.179,-0.645,1.201,0.453,0.304,-1.832,0.058,1.870,0.912,-1.769}In[2]:=h1=-2;(*左端点值为-2*)h=(2-(-2))/10;(*小区间的长度为0.4*)num=10;(*小区间的个数为10*)dnum=30；(*样本容量为30*)fpn=Table[m=0;Do[If[d[[i]]>=h1&&d[[i]]<h1+h,m=m+1],{i,1,dnum}];h1=h1+h;m,{k,1,num}]Out[2]={2,2,2,2,4,4,4,4,3,3}In[3]:=<<Graphics`Graphics`In[4]:=h1=-2;GeneralizedBarChart[Table[{h1+h*i,fpn[[i+1]],h},{i,0,num-1}],PlotRange->{0,5}]（2）Mathematica命令In[1]:=d={0.192,-1.382,0.508,-0.813,0.531,-0.536,0.826,1.404,-1.372,-0.349,1.054,1.372,1.624,0.709,1.034,1.670,-0.205,-0.017,-0.204,0.056,-1.179,-0.645,1.201,0.453,0.304,-1.832,0.058,1.870,0.912,-1.769}

In[2]:=h1=-2;(*左端点值为-2*)

h=(2-(-2))/16;(*小区间的长度为0.25*)num=16;(*小区间的个数为16*)

dnum=30；