智能控制基础

智能控制技术基础2/7/2023北京邮电大学信息工程学院第一章

绪

论

1.1智能控制的提出

传统控制方法包括经典控制和现代控制，是基于被控对象精确模型的控制方式，缺乏灵活性和应变能力，适于解决线性、时不变性等相对简单的控制问题，难以解决对复杂系统的控制。在传统控制的实际应用遇到很多难解决的问题，主要表现以下几点：1智能控制的发展过程2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（1）模型的不确定性实际系统由于存在复杂性、非线性、时变性、不确定性和不完全性等，无法获得精确的数学模型。某些复杂的和包含不确定性的控制过程无法用传统的数学模型来描述，即无法解决建模问题。（2）高度的非线性在传统的控制理论中，对于这类控制对象，有一些方法可供使用，但不成熟，有些方法过于复杂。（3）任务要求复杂实际控制任务复杂，而传统的控制任务要求低，对复杂的控制任务，如机器人控制、CIMS、社会经济管理系统等复杂任务无能为力。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院在生产实践中，复杂控制问题可通过熟练操作人员的经验和控制理论相结合去解决，由此，产生了智能控制。智能控制将控制理论的方法和人工智能技术灵活地结合起来，其控制方法适应对象的复杂性和不确定性。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1.2智能控制的概念

智能控制是一门交叉学科，著名美籍华人傅京逊教授1971年首先提出智能控制是人工智能与自动控制的交叉，即二元论。美国学者G.N.Saridis1977年在此基础上引入运筹学，提出了三元论的智能控制概念，即IC=AC∩AI∩ORIC——IntelligentControlAI——ArtificialIntelligenceAC——AutomaticControlOR——OperationalResearch2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图1-1分层递阶智能控制三元论表示2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

人工智能（AI）是一个用来模拟人思维的知识处理系统，具有记忆、学习、信息处理、形式语言、启发推理等功能。

自动控制（AC）描述系统的动力学特性，是一种动态反馈控制。

运筹学（OR）是一种定量优化方法，如线性规划、网络规划、调度、管理、优化决策和多目标优化方法等。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

智能控制就是一种控制方式或一种控制系统，如果它能够有效地克服被控制对象（过程）和环境所具有的高度复杂性和不确定性，并且能够达到所期望的目标，那么称这种控制方式为智能控制（仿人控制），称这样的控制系统为智能控制系统。

智能控制的核心是如何设计和开发能够模拟人类智能的机器，使控制系统达到更高的目标。而模拟人类智能就需要解决知识在机器中如何表示以及怎样模仿人类思维推理过程这两方面的问题。其中必须解决的就是定性概念和定量数值表示之间的转换关系。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1.3、智能控制的发展上世纪70年代末，控制理论向着“大系统理论”和“智能控制”方向发展，前者是控制理论从广度上的开拓，后者是控制理论在深度上的挖掘。智能控制是自动控制发展的最新阶段，控制科学的发展过程如图所示。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院开环控制确定性反馈控制最优控制随机控制自适应控制鲁棒控制自学习控制智能控制控制科学的发展过程

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院从二十世纪60年代起，由于空间技术、计算机技术及人工智能技术的发展，控制界学者在研究自组织、自学习控制的基础上，为了提高控制系统的自学习能力，开始注意将人工智能技术与方法应用于控制中。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1966年，J.M.Mendal首先提出将人工智能技术应用于飞船控制系统的设计；1971年，傅京逊首次提出智能控制这一概念，并归纳了三种类型的智能控制系统：（1）人作为控制器的控制系统：人作为控制器的控制系统具有自学习、自适应和自组织的功能；2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（2）人—机结合作为控制器的控制系统：机器完成需要连续进行的并需快速计算的常规控制任务，人则完成任务分配、决策、监控等任务；（3）无人参与的自主控制系统：为多层的智能控制系统，需要完成问题求解和规划、环境建模、传感器信息分析和低层的反馈控制任务。如自主机器人。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1987年国际标准化组织对工业机器人进行了定义：“工业机器人是一种具有自动控制的操作和移动功能，能完成各种作业的可编程操作机。”

我国科学家对机器人的定义是：“机器人是一种自动化的机器，所不同的是这种机器具备一些与人或生物相似的智能能力，如感知能力、规划能力、动作能力和协同能力，是一种具有高度灵活性的自动化机器”。

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1985年8月，IEEE在美国纽约召开了第一界智能控制学术讨论会，随后成立了IEEE智能控制专业委员会；1987年1月，在美国举行第一次国际智能控制大会，标志智能控制领域的形成。

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院近年来，神经网络、模糊数学、专家系统、进化论等各门学科的发展给智能控制注入了巨大的活力，由此产生了各种智能控制方法。智能控制的几个重要分支为专家控制、模糊控制、神经网络控制和遗传算法。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2智能控制的几个重要分支

2.1专家控制上世纪80年代初，人工智能中专家系统的思想和方法开始被引入控制系统的研究和工程应用中。专家系统能处理定性的、启发式或不确定的知识信息，经过各种推理来达到系统的任务目标。专家系统为解决传统控制理论的局限性提供了重要的启示，二者的结合导致了专家控制这一方法。所谓专家控制是将专家系统的理论和技术同控制理论、方法与技术相结合，在未知环境下，仿效专家的经验，实现对系统的控制。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.2模糊控制在工程实践中，人们发现，一个复杂的控制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制效果。这说明，如果通过模拟人脑的思维方法设计控制器，可实现复杂系统的控制，由此产生了模糊控制。模糊控制是模拟人的思维和语言中对模糊信息的表达和处理方式，擅长利用人的经验性知识。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图

模糊控制原理框图2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1965年美国自动控制专家Zedeh（苏联阿塞拜疆人）教授首先提出用隶属度函数来描述模糊概念，创立了模糊化集合理论，奠定了模糊控制的基础；他还提出了著名的复杂性与精确性“不相容的原理”。1974年印度裔英国学者Mamdani博士利用模糊逻辑，开发了世界上第一台模糊控制的蒸汽机，从而开创了模糊控制的历史；2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1983年日本富士电机开创了模糊控制在日本的第一项应用—水净化处理，之后，富士电机致力于模糊逻辑元件的开发与研究，并于1987年在仙台地铁线上采用了模糊控制技术，1989年将模糊控制消费品推向高潮，使日本成为模糊控制技术的主导国家。模糊控制的发展可分为三个阶段：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（1）1965年-1974年为模糊控制发展的第一阶段，即模糊数学发展和形成阶段；（2）1974年-1979年为模糊控制发展的第二阶段，产生了简单的模糊控制器；（3）1979年—现在为模糊控制发展的第三阶段，即高性能模糊控制阶段。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.3神经网络控制神经网络与模糊控制是当前两种主要的智能控制技术，它们都能模拟人的智能行为。神经网络是模拟人脑的结构以及对信息的记忆和处理能力，擅长从输入输出数据中学习有用的知识。神经网络控制是从机理上对人脑生理系统进行简单结构模拟的一种新兴智能控制方法。神经网络具有并行机制、模式识别、记忆和自学习能力的特点，它能充分逼近任意复杂的非线性系统，能够学习与适应不确定系统的动态特性，有很强的鲁棒性和容错性等，因此，神经网络控制在控制领域有广泛的应用。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院神经网络的发展历程经过4个阶段1启蒙期（1890-1969年）1890年，W.James发表专著《心理学》，讨论了脑的结构和功能。1943年，心理学家W.S.McCulloch和数学家W.Pitts提出了描述脑神经细胞动作的数学模型，即M-P模型（第一个神经网络模型）。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1949年，心理学家Hebb实现了对脑细胞之间相互影响的数学描述，从心理学的角度提出了至今仍对神经网络理论有着重要影响的Hebb学习法则。1958年，E.Rosenblatt提出了描述信息在人脑中贮存和记忆的数学模型，即著名的感知机模型（Perceptron）。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1962年，Widrow和Hoff提出了自适应线性神经网络，即Adaline网络，并提出了网络学习新知识的方法，即Widrow和Hoff学习规则（即δ学习规则），并用电路进行了硬件设计。2低潮期（1969-1982）受当时神经网络理论研究水平的限制及冯·诺依曼式计算机发展的冲击等因素的影响，神经网络的研究陷入低谷。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院在美、日等国有少数学者继续着神经网络模型和学习算法的研究，提出了许多有意义的理论和方法。例如，1969年，S.Groisberg和A.Carpentet提出了至今为止最复杂的ART网络，该网络可以对任意复杂的二维模式进行自组织、自稳定和大规模并行处理。1972年，Kohonen提出了自组织映射的SOM模型。3复兴期（1982-1986）2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1982年，物理学家Hoppield提出了Hoppield神经网络模型，该模型通过引入能量函数，实现了问题优化求解，1984年他用此模型成功地解决了旅行商路径优化问题(TSP)。在1986年，在Rumelhart和McCelland等出版《ParallelDistributedProcessing》一书，提出了一种著名的多层神经网络模型，即BP网络。该网络是迄今为止应用最普遍的神经网络。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院4新连接机制时期（1986-现在）神经网络从理论走向应用领域，出现了神经网络芯片和神经计算机。神经网络主要应用领域有：模式识别与图象处理（语音、指纹、故障检测和图象压缩等）、控制与优化、预测与管理（市场预测、风险分析）、通信等。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.4遗传算法遗传算法（GeneticAlgorithm，简称GA）是人工智能的一个重要分支，是基于自然选择和基因遗传学原理的搜索算法，是基于达尔文进化论，在计算机上模拟生命进化论机制而发展起来的一门学科。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院遗传算法由美国的J.H.Holland教授在1975年提出，80年代中期开始逐步成熟。从1985年起，国际上开始举行遗传算法国际会议。目前遗传算法已经被广泛应用于许多实际问题，成为用来解决高度复杂问题的新思路和新方法。遗传算法可用于模糊控制规则的优化及神经网络参数及权值的学习，在智能控制领域有广泛的应用。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3智能控制的特点、工具及应用3.1、智能控制的特点

（1）学习功能：智能控制器能通过从外界环境所获得的信息进行学习，不断积累知识，使系统的控制性能得到改善；（2）适应功能：智能控制器具有从输入到输出的映射关系，可实现不依赖于模型的自适应控制，当系统某一部分出现故障时，也能进行控制；2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（3）自组织功能：智能控制器对复杂的分布式信息具有自组织和协调的功能，当出现多目标冲突时，它可以在任务要求的范围内自行决策，主动采取行动。（4）优化能力：智能控制能够通过不断优化控制参数和寻找控制器的最佳结构形式，获得整体最优的控制性能。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3.2、智能控制的研究工具

（1）符号推理与数值计算的结合例如专家控制，它的上层是专家系统，采用人工智能中的符号推理方法；下层是传统意义下的控制系统，采用数值计算方法。（2）模糊集理论模糊集理论是模糊控制的基础，其核心是采用模糊规则进行逻辑推理，其逻辑取值可在0与1之间连续变化，其处理的方法是基于数值的而不是基于符号的。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（3）神经元网络理论神经网络通过许多简单的关系来实现复杂的函数，其本质是一个非线性动力学系统，但它不依赖数学模型，是一种介于逻辑推理和数值计算之间的工具和方法。（4）遗传算法遗传算法根据适者生存、优胜劣汰等自然进化规则来进行搜索计算和问题求解。对许多传统数学难以解决或明显失效的复杂问题，特别是优化问题，GA提供了一个行之有效的途径。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（5）离散事件与连续时间系统的结合主要用于CIMS和智能机器人的智能控制。以CIMS为例，上层任务的分配和调度、零件的加工和传输等可用离散事件系统理论进行分析和设计；下层的控制，如机床及机器人的控制，则采用常规的连续时间系统方法。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3.3、智能控制的应用作为智能控制发展的高级阶段，智能控制主要解决那些用传统控制方法难以解决的复杂系统的控制问题，其中包括智能机器人控制、计算机集成制造系统（CIMS）、工业过程控制、航空航天控制、社会经济管理系统、交通运输系统、环保及能源系统等。下面以智能控制在运动控制和过程控制中的应用为例进行说明。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（1）在机器人控制中的应用智能机器人是目前机器人研究中的热门课题。J.S.Albus于1975年提出小脑模型小脑模型关节控制器（CerebellarModelArculationController，简称CMAC），它是仿照小脑如何控制肢体运动的原理而建立的神经网络模型，采用CMAC，可实现机器人的关节控制，这是神经网络在机器人控制的一个典型应用。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院E.H.Mamdan于20世纪80年代初首次将模糊控制应用于一台实际机器人的操作臂控制。目前工业上用的90%以上的机器人都不具有智能。随着机器人技术的迅速发展，需要各种具有不同程度智能的机器人。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（2）在过程控制中的应用在石油化工方面，1994年美国的Gensym公司和Neuralware公司联合将神经网络用于炼油厂的非线性工艺过程。在冶金方面，日本的新日铁公司于1990年将专家控制系统应用于轧钢生产过程。在化工方面，日本的三菱化学合成公司研制出用于乙烯工程模糊控制系统。将智能控制应用于过程控制领域，是过程控制发展的方向。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院课后习题1简述智能控制的概念。2智能控制的特点是什么？3智能控制与传统控制相比较有什么不同？在什么场合下应该选用智能控制策略？2/7/2023北京邮电大学信息工程学院第二章模糊控制的理论基础1概述1.1模糊控制的特点前面我们就模糊控制发展进行了阐述，这里我们看一下模糊控制的特点。模糊控制是建立在人工经验的基础上的，而不需要了解被控对象精确的数学模型。模糊控制器的特点：无需知道被控对象的数学模型，反映了人类思维过程，易被人们所接受，构造容易，鲁棒性好等。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院模糊控制是以模糊集理论、模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的一种智能控制方法，它是从行为上模仿人的模糊推理和决策过程的一种智能控制方法。该方法首先将操作人员或专家经验编成模糊规则，然后将来自传感器的实时信号模糊化，将模糊化后的信号作为模糊规则的输入，完成模糊推理，将推理后得到的输出量加到执行器上。1.2、模糊控制原理2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图

模糊控制原理框图2/7/2023北京邮电大学信息工程学院模糊控制器（FuzzyController—FC）也称为模糊逻辑控制器（FuzzyLogicController—FLC）,由于所采用的模糊控制规则是由模糊理论中模糊条件语句来描述的，因此模糊控制器是一种语言型控制器，故也称为模糊语言控制器（FuzzyLanguageController—FLC）。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1.3模糊控制器的构成模糊控制器的组成框图如图所示。图模糊控制器的组成框图2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1.模糊化接口（Fuzzyinterface）模糊控制器的输入必须通过模糊化才能用于控制输出的求解，因此它实际上是模糊控制器的输入接口。它的主要作用是将真实的确定量输入转换为一个模糊矢量。对于一个模糊输入变量e，其模糊子集通常可以作如下方式划分：（1）={负大，负小，零，正小，正大}={NB,NS,ZO,PS,PB}（2）={负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}={NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB}（3）={大，负中，负小，零负，零正，正小，正中，正大}={NB,NM,NS,NZ,PZ,PS,PM,PB}2/7/2023北京邮电大学信息工程学院用三角型隶属度函数表示如图所示。

图

模糊子集和模糊化等级

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.知识库（KnowledgeBase—KB）知识库由数据库和规则库两部分构成。（1）数据库（DataBase—DB）数据库所存放的是所有输入、输出变量的全部模糊子集的隶属度矢量值（即经过论域等级离散化以后对应值的集合），若论域为连续域则为隶属度函数。在规则推理的模糊关系方程求解过程中，向推理机提供数据。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（2）规则库（RuleBase—RB）模糊控制器的规则司基于专家知识或手动操作人员长期积累的经验，它是按人的直觉推理的一种语言表示形式。模糊规则通常有一系列的关系词连接而成，如if-then、else、also、end、or等，关系词必须经过“翻译”才能将模糊规则数值化。最常用的关系词为if-then、also，对于多变量模糊控制系统，还有and等。例如，某模糊控制系统输入变量为（误差）和（误差变化），它们对应的语言变量为E和EC，可给出一组模糊规则：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院R1:IFEisNBandECisNBthenUisPBR2:IFEisNBandECisNSthenUisPM通常把if…部分称为“前提部，而then…部分称为“结论部”，其基本结构可归纳为IfAandBthenC,其中A为论域U上的一个模糊子集，B是论域V上的一个模糊子集。根据人工控制经验，可离线组织其控制决策表R,R是笛卡儿乘积集上的一个模糊子集，则某一时刻其控制量由下式给出：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院式中×模糊直积运算；

°模糊合成运算。规则库是用来存放全部模糊控制规则的，在推理时为“推理机”提供控制规则。规则条数和模糊变量的模糊子集划分有关，划分越细，规则条数越多，但并不代表规则库的准确度越高，规则库的“准确性”还与专家知识的准确度有关。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3．推理与解模糊接口（InferenceandDefuzzy-interface）推理是模糊控制器中，根据输入模糊量，由模糊控制规则完成模糊推理来求解模糊关系方程，并获得模糊控制量的功能部分。在模糊控制中，考虑到推理时间，通常采用运算较简单的推理方法。最基本的有Zadeh近似推理，它包含有正向推理和逆向推理两类。正向推理常被用于模糊控制中，而逆向推理一般用于知识工程学领域的专家系统中。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院推理结果的获得，表示模糊控制的规则推理功能已经完成。但是，至此所获得的结果仍是一个模糊矢量，不能直接用来作为控制量，还必须作一次转换，求得清晰的控制量输出，即为解模糊。通常把输出端具有转换功能作用的部分称为解模糊接口。综上所述，模糊控制器实际上就是依靠微机（或单片机）来构成的。它的绝大部分功能都是由计算机程序来完成的。随着专用模糊芯片的研究和开发，也可以由硬件逐步取代各组成单元的软件功能。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1.3模糊控制技术与模糊控制理论需解决的问题模糊控制技术需要解决的具体问题有：⑴模糊控制器的构造;⑵模糊信息与精确信息转换的物理结构和方法;⑶模糊控制器对外界环境的适应性及适应技术;⑷实现模糊控制系统的软技术;⑸模糊控制器和被控对象匹配技术.2/7/2023北京邮电大学信息工程学院模糊控制理论还存在需要解决的系统方法有：1）人的知识和经验的表达；2）知识推理的法则；3）人的知识的获取和总结；4）模糊控制系统稳定性判据；5）模糊控制系统的学习；6）模糊控制系统的分析；7）模糊控制系统的设计方法。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2模糊集合论基础模糊集合论是模糊控制的数学基础。什么是模糊集合，它是怎样描述和定义的，又有哪些运算，这些问题是学习与掌握模糊控制技术的基础。所谓集合是指具有某种特定属性的对象的全体。集合中的个体通常用小写英文字母如u表示，集合的全体又称为论域通常用大写英文字母如U表示，表示元素（个性）u在集合论域（全体）U内。集合分有限集合和无限集合。集合既可以是连续的也可以是离散的。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院集合的5种表示方法：（1）列举法

（2）定义法用集合中的共性来描述集合的方法。（3）归纳法通过一个递推公式来描述一个集合。给出集合中的一个元素和一个规则，集合中的其它元素可以借助这个规则来找到。（4）特征函数表示法

它是利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合的，因为某一集合中的元素要么属于这个集合，要么就不属于这个集合。（5）通过某些集合的运算来表示的集合

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.1模糊集合模糊集合是模糊控制的数学基础。1．特征函数和隶属函数在数学上经常用到集合的概念。例如：集合A由4个离散值x1，x2，x3，x4组成。A={x1,x2,x3,x4}例如：集合A由0到1之间的连续实数值组成。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院以上两个集合是完全不模糊的。在经典的集合论中，对任意元素x，只有两种可能：属于A，不属于A，两者必居其一。这种特性可以用特征函数来描述：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院为了表示模糊概念，需要引入模糊集合和隶属函数的概念（模糊集合的定义实际是将经典集合论中的特征函数表示扩张到用隶属函数来表示的）其中A称为模糊集合，表示元素x属于模糊集合A的程度，取值范围为[0,1]，称为x属于模糊集合A的隶属度，那么2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.模糊集合的表示法①若论域为有限论域，模糊集合A表示为：或②若论域为无限论域，模糊集合A表示为：除查德法外还有序偶表示法和向量表示法2/7/2023北京邮电大学信息工程学院在模糊集合的表达中，符号“/”、“+”和“∫”不代表数学意义上的除号、加号和积分，它们是模糊集合的一种表示方式，表示“构成”或“属于”。模糊集合是以隶属函数来描述的，隶属度的概念是模糊集合理论的基石。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院例2-1设论域U={张三，李四，王五}，评语为“学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得95分，李四得90分，王五得85分，三人都学习好，但又有差异。若采用普通集合的观点，选取特征函数2/7/2023北京邮电大学信息工程学院此时特征函数分别为(张三)=1，(李四)=1，(王五)=1。这样就反映不出三者的差异。假若采用模糊子集的概念，选取[0，1]区间上的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子集A的程度，就能够反映出三人的差异。采用隶属函数，由三人的成绩可知三人“学习好”的隶属度为(张三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。用“学习好”这一模糊子集A可用向量表示法表示为：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。例2-2以年龄为论域，取。Zadeh给出了“年轻”的模糊集合Y，其隶属函数为隶属函数曲线如图所示。

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图“年轻”的隶属函数曲线2/7/2023北京邮电大学信息工程学院例2-3以人对室温（0℃～40℃）的感觉为例。用经典集合论来解决问题把小于15℃的温度哪怕是14.9℃也只能属于“冷”（见左图），显然这与人的感觉是不一致的。用模糊集合论来解决问题根据人们的认识，把从15℃～25℃的室温称作“舒适”的温度，而把15℃以下的温度称为冷，25℃以上称为“热”。若用模糊集合论来定义如上这种情况，就是用具有0～1之间变化的隶属度的特征函数来描述某一模糊元素，模糊集合中的特征函数就称作隶属函数。用图表示为：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

2.2模糊集合的运算

对于模糊集合，元素与集合之间不存在属于或不属于的明确关系，但是集合与集合之间还是存在相等，包含以及与经典集合论一样的一些集合运算如并、交、补等。下面分别引入这些定义。1.模糊集合的基本运算由于模糊集是用隶书函数来表征的，因此两个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（2）全集模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，即（3）等集两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属函数相等，则A和B也相等。即（1）空集模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，即2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（4）补集若为A的补集，则例如，设A为“成绩好”的模糊集，某学生属于“成绩好”的隶属度为：；则属于“成绩差”的隶属度为：（5）子集若B为A的子集，则（6）并集若C为A和B的并集，则C=A∪B2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（7）交集若C为A和B的交集，则C=A∩B（8）模糊运算的基本性质模糊集合除具有上述基本运算性质外，还具有下表所示的运算性质。1．幂等律A∪A=A，A∩A=A2．交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3．结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)4．吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)2/7/2023北京邮电大学信息工程学院6．双重否认律7．德·摩根律8．两极律（同一律和零一律）A∪U=U，A∩U=AA∪Ф=A，A∩Ф=Ф2/7/2023北京邮电大学信息工程学院例2-4设求A∪B，A∩B则2/7/2023北京邮电大学信息工程学院例2-5试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成立，即，证：设，则2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.模糊算子模糊集合的逻辑运算实质上就是隶属函数的运算过程。采用隶属函数的取大（MAX）-取小（MIN）进行模糊集合的并、交逻辑运算是目前最常用的方法。但还有其它公式，这些公式统称为“模糊算子”。设有模糊集合A、B和C，常用的模糊算子如下。（参见P17）2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（1）交运算算子设C=A∩B，有三种模糊算子：①

模糊交算子②

代数积算子③有界积算子2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（2）并运算算子设C=A∪B，有三种模糊算子：①

模糊并算子②

代数和算子③有界和算子2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.3、隶属度函数的建立

模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集合论中占有极其重要的地位。如何确定隶属度函是一个关键问题。隶属度函数没有统一的计算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性，因此，它应遵守一些基本原则。

1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。

3、隶属度函数要符合人们的语言顺序避免不恰当的重叠图交叉越界的隶属度函数示意图2/7/2023北京邮电大学信息工程学院函数的选择通常还应遵循：

1）论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域，同时它一般应属于至多不超过两个隶属度函数的区域。

2）对同一输入没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度。

3）当两个隶属度函数重叠时，重叠部分对两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院重叠指数也是衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。为了定量研究隶属度函数之间的重叠，有重叠率和重叠鲁棒性的概念，并用这两个指数来描述隶属函数的重叠关系，如上图右图。它们的定义如下：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院为了定量研究隶属度函数之间的重叠，有重叠率和重叠鲁棒性的概念，并用这两个指数来描述隶属函数的重叠关系，如上图右图。它们的定义如下：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图隶属度函数重叠的范例隶属度函数是模糊控制的应用基础，正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院隶属度函数确立方法：

1）模糊统计法

模糊统计试验，首先选取一个论域U，例如人的年龄。接着在U中选择一个固定的元素，然后在考察U的一个变化的普通集合，例如“年轻人”到底属于哪个年龄阶段。这个概念是随着不同条件、场合和观点而变化的。实际上每次试验可以理解为让不同的人来评论某个年龄是不是属于“年轻人”这个集合。年龄对年轻人的隶属度可表示为：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2）例证法从有限个隶属度值，来估计U上的模糊集A的隶属度函数。3）专家经验法专家根据实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数来确定隶属函数的一种方法由专家给出隶属度函数值。4）二元对比排序法通过对多个事物之间的两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。这里介绍相对比较法。设论域U中一对元素其具有某特征的等级分别为，即在和的二元对比中，如果具有某特征的程度用来表示，则具有某特征的程度用来表示，并且该二元对比级的数对必须满足：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院令这里若以为元素，且定义则构造出矩阵G，并称G为相及矩阵：对于n个元素相及矩阵G

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院对矩阵G的每一行取最小值，即对第i行取

并按其值的大小排序，即可得到元素对某特征的隶属函数。

例2-6设论域，其中表示长子，

表示次子，表示三子，表示父亲。如果考虑长子和次子与父亲的相似问题，则可这样来描述长子相似于父亲的程度为0.8，次子相似于父亲的程度为0.5。如果仅考虑次子和三子，则次子相似于父亲的程度为0.4，三子相似于父亲的程度为0.7。如果仅考虑长子和三子，则长子相似于父亲的程度为0.5，三子相似于父亲的程度为0.3，则可建立如下关系按照“谁像父亲”这一原则排序，可得2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

计算相及矩阵G，由于

则相及矩阵为

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院在相及矩阵中取每一行有最小值，按所得值的大小排列得

1<3/5<4/7

结论是长子最像父亲（1），三子次之（0.6），次子最不像父亲（0.57）。由此，可以确定出隶属度函数的大致形状。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下6种隶属函数。1）高斯型隶属函数高斯型隶属函数由两个参数和c确定：其中通常为正，参数c用于确定曲线的中心Matlab表示为x=0:0.1:10;y=gaussmf(x,[25]);plot(x,y)xlabel('gaussmf,P=[25]')2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图高斯型隶属函数2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2）广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数由三个参数a，b，c确定：其中参数b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为x=0:0.1:10;y=gbellmf(x,[246]);plot(x,y)xlabel('gbellmf,P=[246]')2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图广义钟型隶属函数

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3）S形隶属函数S形函数由参数a和c决定：其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。Matlab表示为x=0:0.1:10;y=sigmf(x,[24]);plot(x,y)xlabel('sigmf,P=[24]')2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图S形隶属函数2/7/2023北京邮电大学信息工程学院4）梯形隶属函数梯形曲线可由四个参数a，b，c，d确定：其中参数a和d确定梯形的“脚”，而参数b和c确定梯形的“肩膀”。x=0:0.1:10;y=trapmf(x,[1578]);plot(x,y)xlabel('trapmf,P=[1578]')2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图梯形隶属函数2/7/2023北京邮电大学信息工程学院5）三角形隶属函数三角形曲线的形状由三个参数a，b，c确定：其中参数a和c确定三角形的“脚”，而参数b确定三角形的“峰”。x=0:0.1:10;y=trimf(x,[368]);plot(x,y)xlabel('trimf,P=[368]')2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图三角形隶属函数2/7/2023北京邮电大学信息工程学院例2-7设计评价一个学生成绩的隶属函数，在[0，100]之内按A、B、C、D、E分为五个等级，即{不及格，及格，中，良，优}。分别采用五个高斯型隶属函数来表示，建立一个模糊系统，仿真结果如图所示。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图高斯型隶属函数曲线2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3.4模糊关系1.模糊关系的定义定义设A，B两个非空集合的直积中的一个模糊子集R称为从A到B的一个模糊关系。模糊关系由其隶属度函数完全刻画。序偶的隶属度为。一般地，若论域为n个集合的直积，则它所对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数，显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时，模糊关系就化为普通关系。

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院例2-8设有七种物品：苹果、乒乓球、书、篮球、花、桃、菱形组成的一个论域U，并设分别为这些物品的代号，则。现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。解：假设物品之间完全相似者为1、完全不相似者为0就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下：

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院R苹果x1乒乓球x2书x3篮球x4花x5桃x6菱形x7苹果x11.00.700.70.50.60乒乓球x20.71.000.90.40.50书x3001.00000.1篮球x40.70.901.00.40.50花x50.50.400.41.00.40桃x60.60.500.50.41.00菱形x7000.10001.02/7/2023北京邮电大学信息工程学院对于确定的控制系统，输入输出存在的关系称普通关系。对于模糊的控制系统，输入输出存在的关系称模糊关系，这种模糊关系是通过定义在不同论域上的模糊变量之间的模糊条件语句来表示的，即模糊规则。考察如下一条模糊规则

其中，条件部模糊集A定义为，结论部模糊集B定义为。其输入输出的模糊关记为

其中，是有序对的集合，即

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

例设

；则由式

用模糊关系矩阵R来表示

123410.80.60.40.220.70.60.40.230.20.20.20.22/7/2023北京邮电大学信息工程学院

定义

笛卡尔积（算子）若分别是论域中的模糊集，则的笛卡尔积是在积空间中的一个模糊集，其隶属度函数为直积（极小算子）：或代数积：对于论域连续情况，关系矩阵可以记为为了便于区分起见，我们引入两个记号分别表示笛卡尔积（算子）两种运算规则，即直积（极小算子）用表示，代数积用表示。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

例2-9考虑如下模糊条件语句

如果C是慢的，则A是快的。

其中，C，A分别属于两个不同的论域U，V。

其隶属度函数分别为

那么它们的直积为

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院取隶属函数，其中u为成绩。如果将他们的成绩转化为隶属度，则构成一个X×y上的一个模糊关系R，见下表。例2-10设有一组同学X，X={张三，李四，王五}，他们的功课为Y，Y={英语，数学，物理，化学}。他们的考试成绩如下表：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院表考试成绩表的模糊化将上表写成矩阵形式，得：该矩阵称作模糊矩阵，其中各个元素必须在[0，1]闭环区间上取值。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2、模糊关系的合成

对于存在多重推理现象的系统，如IFATHENB,IFBTHENC这样一类控制规则，其控制输出变量是C，那么，A和C之间也存在着某种定量的关系。寻求这种关系的方法就是模糊关系的合成。先看一下普通关系的合成。如A和B是兄弟关系，B和C是父子关系，则A和C就会形成一种新的关系，即叔侄＝兄弟父子，推广到模糊概念域，就是模糊关系合成，其合成的方法是通过模糊关系矩阵来进行的。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

例2-11某家中子女与父母的长像相似关系为模糊关系R，父母与祖父母的相似关系为模糊关系SR父母子0.20.8女0.60.1S祖父祖母父0.50.7母0.10那么，在该家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度应该如何呢？2/7/2023北京邮电大学信息工程学院解：模糊关系合成运算为

这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院定义模糊关系合成：如果R和S分别为笛卡尔空间上的模糊关系，则R和S的合成是定义在笛卡尔空间上的模糊关系，并记为。其隶属度函数的计算方法

上确界（Sup)算子2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

结合律：包含逆运算注意，模糊关系合成运算不满足交换率，即。分配律与模糊集合的运算定律相似，模糊关系合成算子sup-min存在如下特征：

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成

3.1模糊逻辑及其基本运算

模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑，而模糊命题是指含有模糊概念或者是带有模糊性的陈述句。模糊命题有真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值，而是有多个值，甚至是连续量。如下：

1）这个放大器的零点漂移太严重；

2）A点的电平太低；

3）电动机的转速稍偏高；

4）加热炉中温度上升太快；

由于例句中含有这些模糊概念，给出的界限都是不分明的，因此称这样的陈述句为模糊命题。

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院记P、Q、R为三个模糊单命题，那么

1）模糊逻辑补：

2）模糊逻辑合取：

3）模糊逻辑析取：

4）模糊逻辑蕴含：

5）模糊逻辑等价：

6）模糊逻辑限界积：

7）模糊逻辑限界和：

8）模糊逻辑限界差：

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院模糊逻辑运算的基本定律

（1）幂等律：

（2）交换率：

（3）结合律：

（4）吸收律：

（5）分配分律：

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（6）双否律：

（7）德•摩根律：

（8）常数运算法则：

注意，与二值逻辑不同之处是二值逻辑中的互补律：

。在模糊逻辑中互补律是不成立，模糊逻辑的互补运算满足2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3.1模糊语言逻辑

1.自然语言和形式语言

自然语言是指人们在日常生活和工作中所使用的语言，它是以字或词为符号的一种符号系统。人们通过它来描述主客观事物、概念、行为、情感以及相互之间的关系等。

人与计算机“对话”也需要所谓的机器语言，机器语言是机器指令的集合，又称低级语言。在此基础上又研究出各种高级语言。由于这些计算机语言是用一系列符号去代表计算机的动作和被处理单位的状态，只是在形式上起记号的作用，所以又称为形式语言。

两者的区别是：前者具有模糊性，后者具有二值逻辑的特点，执行起来是严格的，没有一点灵活性。

2.模糊语言

广义角度讲：一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。模糊语言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院模糊语言变量模糊语言变量的概念是Zedeh首先提出来的，所谓语言变量是以人工语言中字或句作为变量，而不是以数值作为变量。语言变量用以表征那些十分复杂或定义很不完善而又无法用通常的精确术语进行描述的对象。语言变量概念的一个重要方面是，在语言变量取模糊集合作为它的值的意义上，语言变量比起模糊变量来是一个级别更高的变量；另一个重要方面是，语言变量有句法规则和语义规则。定义语言变量：语言变量是用一个五元素的集合(X，T(X)，U，G，M)来表征的。其中X是语言变量名，如速度、年龄、颜色等；T(X)为语言变量X的项集合，即语言变量名的集合，且每个值都是在U上定义的模糊数xi

；U为语言变量X的论域；G为产生X数值名的语言值规则，用于产生语言变量值，即隶属度函数的建立规则；M为与每个语言变量含义相联系的算法规则，如合成规则。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院如下图来所示，“速度”为一语言变量，可以赋予语言值。不同的语言值可以表示模糊变量速度快慢程度的差别，但无法对它们的量作出精确的定义，因为语言值是模糊的，所以可以用模糊数来表示。

速度语言变量

语言值规则G

语言值集合

算法规则M

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院定义

以实数集合为全集合，一个具有连续隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数。

它实质上是一个模糊子集。这里，所谓的正规集合的含义就是隶属度函数的最大值为1，数学表达式表示就是：

定义语言值：在语言系统中,那些与数值有直接联系的词，如长、短、多、少、高、低、重、轻、大、小等或者由它们再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。语言值一般是模糊的，可以用模糊数来表示。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院4.语言算子

为了对模糊的自然语言形式化和定量化，常常还借用自然语言中的修饰词，诸如“较”、“很”、“非常”等来描述模糊值，为此引入语言算子的概念。语言算子通常又分为三类：语气算子、模糊化算子和判定化算子。

1）语气算子

语气算子用来表达语言中对某一个单词或词组的确定性程度。有两种相反的情况，一种是有强化作用的语气算子，如“很”、“非常”等。这种算子使得模糊值的隶属度函数的分布向中央集中，常称为强化算子。另一种是有淡化作用的语气算子，如“较”、“稍微”等。这种算子可以使得模糊值的隶属度函数的分布由中央向两边弥散，常称为淡化算子，2/7/2023北京邮电大学信息工程学院记为语气算子运算符，则它的集合可以定义为：

对于原语言值A经语气算子作用，形成一个新的语言值。设原语言A的隶属度函数为，新的语言值的隶属度函数为，则

语气的强弱程度会因人而异，对于某一特定的语气词，其的取值并不会完全一样，但的取值的大小与语气的强弱程度应该是一致的。

例2-12我们以“年老”这个词为例，来说明语气算子的作用。

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

＞50

＞50

＞502/7/2023北京邮电大学信息工程学院现以强化算子“很”和淡化算子“有点”为例，比较“年老”、“很老”、“有点老”几个语言值的隶属度函数，如图所示。

2）模糊化算子

模糊化算子用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化，或者是将原来己经是模糊概念的词义更加模糊化如“大概”、“近似于”、“大约”等。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院前面我们已经知道，在模糊控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确量，要利用模糊逻辑推理方法，就必须首先把精确量进行模糊化，模糊化过程实质上是使用模糊化算子来实现的。用数学语言来说，模糊化算子的集合可以表示为：

设模糊化之前的集合为A，模糊化算子为F，则模糊化变换可表示为F(A)，并且它们的隶属度函数关系满足

如果A是清晰集，则就是特征函数。是表示模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线，即

参数的取值大小取决于模糊化算子的强弱程度。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院例2-11设论域X上的清晰集的特征函数为

且取c=5，则“大约是5”这一语言值的隶属度函数可以定义为

如图所示。

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3）判定化算子

它是将原来具有模糊词义的词进行肯定化处理，例如“倾向于”、“大半是”等。判定化算子的集合表示为：

设判定化之前的集合为A，它的隶属度函数为，判定化算子为P，则判定化变换可表示为这P（A），并且它们的隶属度函数关系满足

当取时，可用来表示“倾向于”。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3.4模糊逻辑推理

这里我们介绍模糊逻辑推理法，模糊逻辑推理是不确定性推理方法的一种，其基础是模糊逻辑，它是在二值逻辑三段论的基础上发展起来的。模糊逻辑推理是以模糊判断为前提的，运用模糊语言规则，可推出一个新的模糊判断结论的方法，例

大前提：腿长则跑步快

小前提：小王腿很长

结论：小王跑步很快

这里“腿长”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判断和大前提的前件不是严格相同的。因此这一推理的结论也不是从前提中严格地推出来的而是近似于逻辑地推出的结论。通称为假言推理或似然推理。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1、近似推理

在控制系统中经常存在此类现象，“如果温度低，则控制电压就增大”这样一个前提下，要问“如果温度很低，则控制电压将是多少呢？很自然用人们的常识可以推知，“如果温度很低，则控制电压就很大”，这种推理方式就称为模糊近似推理。可表示为：

前提1：如果是A，则是B

前提2：如果是A′

结论：是

即结论B′可用A′与由A到B的推理关系进行合成而得到，利用R可以得到近似推理的隶属度函数为

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院根据不同的推理方法可以得到模糊关系矩阵R元素的不同计算方法

①查德推理法

或

隶属度函数为

②玛达尼推理法

隶属度函数为

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院例2-13设论域X＝Y＝｛1,2,3,4,5｝X、Y上的模糊子集“大”、“小”、“较小”分别定义为：

“大”＝0.4/3+0.7/4+1/5

“小”＝1/1+0.7/2+0.3/3

“较小”＝1/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4

己知：规则若小，则大

问题：当＝较小时，＝？

解：

己知

且

由查德推理法

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院因此，可得较小时的推理结果2/7/2023北京邮电大学信息工程学院由马达尼推理法可得2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.模糊条件推理

语言规则是：如果是A，则是B，否则是C。

逻辑表达式为：。

根据逻辑表达式，其模糊关系R是X×Y的子集，可以表示为

有了这个模糊关系矩阵，就可根据模糊推理合成规则，将输入与该关系矩阵R进行合成得到模糊推理结论

，即

例2-14对于一个系统，当输入A时，输出为B，否则为C，2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

例2-14对于一个系统，当输入A时，输出为B，否则为C，且有

己知当前输入。求输出D。

解

关系矩阵。由玛达尼推理法得

则

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

3.多输入模糊推理

语言规则的一般形式为

前提1：如果A且B，那么C

前提2：现在是且

结论：

因为

如果A且B，那么C的数学表达式是

其模糊关系矩阵2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

若用马达尼推理，则模糊关系矩阵的计算就变成

由此，推理结果为：

其隶属度函数为

是指模糊集合A与交集的高度。

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院玛达尼推理削顶法的几何意义是分别求出对，对的隶属度，并且取这两个之中小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，再以此为基准去切割推理后件的隶属度函数。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院如果各语言变量的论域是有限集时，即模糊子集的隶属度函数是离散的，则模糊逻辑推理过程可以用模糊关系矩阵的运算来描述。举例如下：

已知当A和B时，输出为C，即存在推理规则

IFAANDB,THENC

求当和，控制输出应该多少时？采取的步骤如下

1）先求令得矩阵为

2）将写成列矢量即

3）求出关系矩阵R，

4）由，

5）仿照2），将化为行矢量

6）最后求出模糊推理输出

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

解2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

又因为

所以

即2/7/2023北京邮电大学信息工程学院4.多输入多规则推理

对于一个控制系统而言，通常都有一系列控制规则来构成一个完整的模糊控制系统。如

多输入多规则推理方法就是为了解决这类系统如何进行推理运算的问题而提出来的。

以二输入多规则为例。考虑如下一般形式：

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院在这里，

上的模糊集合。

利用玛达尼推理方法，规则如果，那么的模糊关系可以表示为

“否则”的意义是“OR”即“或”，在推理计算过程中可以写成并集形式。由此，推理结果为

其中，

其隶属度函数为

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院整个推理过程的意义为分别从不同的规则得到不同的结论，其几何意义是分别在不同规则中用各自推理前件的总隶属度去切割本推理规则中后件的隶属度函数以得到输出结果。最后对所有的结论进行模糊逻辑和，即进行“并”运算，得到总的推理结果。下面看一下二输入二规则的推理方法。

例2-15对于二输入二规则的推理过程如图所示。

对于这样多输入多规则总的推理结果是将每一个推理规则的模糊关系矩阵进行“并”运算就可以，即对于以上式中的每一条推理规则，都可以得到相应的模糊关系矩阵

系统总的控制规则所对应的关系矩阵2/7/2023北京邮电大学信息工程学院

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院课后练习讲解

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院第三章模糊控制系统1模糊控制系统组成及工作原理1.1基本组成前面已指出，模糊控制属于计算机数字控制的一种形式。因此，模糊控制系统的组成类同于一般的数字控制系统，框图如下：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院模糊控制系统一般可分为四个部分：1）模糊控制器实际上是一台计算机，根据控制系统的需要，既可选用系统机，又可选用单片机等。2）I/O接口装置除包括A/D，D/A转换外，还包括必要的电平转换线路。3）广义对象（包括被控对象和执行结构）被控对象可以是线性的或非线性的，定常或时变的，也可以是单变量或多变量的，有时滞或无时滞的以及有强干扰的多种情况。4）传感器将被控对象或各种过程的被控制量转换为电信号，它的精度直接影响到整个控制系统的精度。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1.2工作原理1.一步模糊控制算法模糊控制的基本原理如下图所示，它的核心部分为模糊控制器。其控制规律由计算机的程序实现。一步模糊控制算法可分为四步：1）根据本次采样得到的系统的输出值，计算所选择的系统的输入变量；2）将输入变量的精确值转化为模糊量；3）根据输入量（模糊量）和模糊控制规则，按模糊推理合成规则计算控制量（模糊量）；4）有上述得到的控制量计算精确的控制量。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图

模糊控制原理框图2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.模糊自动控制系统的工作原理以水位的模糊控制为例，如图所示。设有一个水箱，通过调节阀可向内注水和向外抽水。设计一个模糊控制器通过调节阀门将水位稳定在固定点附近。按照日常的操作经验，可以得到基本的控制规则：“若水位高于O点，则向外排水，差值越大，排水越快”“若水位低于O点，则向内注水，差值越大，注水越快”根据上述经验，按下列步骤设计模糊控制器：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院图

水箱液位控制

2/7/2023北京邮电大学信息工程学院1）确定观测量和控制量定义理想液位O点的水位为h0，实际测得的水位高度为h，选择液位差将当前水位对于O点的偏差e作为观测量，2）输入量和输出量的模糊化将偏差e分为五级：负大（NB），负小（NS），零（O），正小（PS），正大（PB）。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院根据偏差e的变化范围分为七个等级：-3，-2，-1，0，+1，+2，+3。得到水位变化模糊表。表水位变化划分表2/7/2023北京邮电大学信息工程学院控制量u为调节阀门开度的变化。将其分为五级：负大（NB），负小（NS），零（O），正小（PS），正大（PB）。并根据u的变化范围分为九个等级：-4，-3，-2，-1，0，+1，+2，+3，+4。得到控制量模糊划分表。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院表控制量变化划分表2/7/2023北京邮电大学信息工程学院3）模糊规则的描述根据日常的经验，设计以下模糊规则：（1）“若e负大，则u负大”（2）“若e负小，则u负小”（3）“若e为0，则u为0”（4）“若e正小，则u正小”（5）“若e正大，则u正大”2/7/2023北京邮电大学信息工程学院上述规则采用“IFATHENB”形式来描述：（1）ife=NBthenu=NB（2）ife=NSthenu=NS（3）ife=0thenu=0（4）ife=PSthenu=PS（5）ife=PBthenu=PB根据上述经验规则，可得模糊控制表。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院表模糊控制规则表4）求模糊关系模糊控制规则是一个多条语句，它可以表示为U×V上的模糊子集，即模糊关系R：其中规则内的模糊集运算取交集，规则间的模糊集运算取并集。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院由以上五个模糊矩阵求并集（即隶属函数最大值），得：2/7/2023北京邮电大学信息工程学院5）模糊决策模糊控制器的输出为误差向量和模糊关系的合成：当误差e为NB时，控制器输出为2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2/7/2023北京邮电大学信息工程学院6）控制量的反模糊化由模糊决策可知，当误差为负大时，实际液位远高于理想液位，e=NB，控制器的输出为一模糊向量，可表示为：如果按照“隶属度最大原则”进行反模糊化，则选择控制量为2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2模糊控制系统的设计

其设计问题会有以下内容

1）确定模糊控制器的输入变量和输出变量（即控制量）；

2）设计模糊控制器的控制规则；

3）确立模糊化和非模糊化的方法；

4）选择模糊控制器的输入变量及输出变量的论域并确定模糊控制器的参数（如量化因子；比例因子）

5）编制模糊控制算法的应用程序；

6）合理选择模糊控制器设计的基本方法和基本原则。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院2.1模糊控制器的结构设计

所谓模糊控制器的结构指确定模糊控制器的输入输出变量。模糊控制系统结构根据被控对象和模糊控制器输入输出变量的个数可分为单变量模糊控制和多变量模糊控制。1.单变量模糊控制器这类系统的控制量和输出量都只有一个，最简单又最典型。单输入-单输出模糊控制结构拫据模糊控制器输入变量的个数多少可分为一维模糊控制器，二维模糊控制器和多维模糊控制器。而多维指的是模糊控制器条件部中语言变量多少。2/7/2023北京邮电大学信息工程学院（1）一维模糊控制器如图所示，一维模糊控制器的输入变量往往选择为受控量和输入给定的偏差量e。由于仅仅采用偏差值，很难反映过程的动态特性品质，因