弹性力学简明教程第八章

弹性力学简明教程第八章第一页，共一百三十六页，2022年，8月28日1.取u,v,w为基本未知函数。按位移求解2.将应变用位移来表示，可以引用几何方程。将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即§8－1按位移求解空间问题第二页，共一百三十六页，2022年，8月28日其中体积应变按位移求解3.将式(a)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程：第三页，共一百三十六页，2022年，8月28日其中拉普拉斯算子V内基本方程第四页，共一百三十六页，2022年，8月28日4.将式代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：边界条件位移边界条件仍为:第五页，共一百三十六页，2022年，8月28日（2）上的应力边界条件(c),（3）上的位移边界条件(d)。

归结：按位移求解空间问题，位移u,v,w

必须满足：

按位移求解这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(b),第六页，共一百三十六页，2022年，8月28日优点在空间问题中，按位移求解方法尤为要：3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边界条件。第七页，共一百三十六页，2022年，8月28日按位移求解空间轴对称问题在柱坐标中，可以相似地导出：位移

应满足：

轴对称问题（1）V内的平衡微分方程，第八页，共一百三十六页，2022年，8月28日轴对称的拉普拉斯算子为其中体积应变轴对称问题（2）上的应力边界条件。

（3）上的位移边界条件。第九页，共一百三十六页，2022年，8月28日1、试导出空间问题中上的应力边界条件（8-4）。2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的平衡微分方程（书中式（8-4）），并将上的应力边界条件用位移来表示。

思考题第十页，共一百三十六页，2022年，8月28日设有半空间体，受自重体力及边界的均布压力q。§8－2半空间体受重力

及均布压力问题第十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日采用按位移求解：

考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，∴可设位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。第十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式自然满足，第三式成为常微分方程，求解方程积分两次,得第十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日相应的应力为求解方程第十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日（2）在z=0的负z面，应力边界条件为边界条件由式(d)求出A，得应力解为第十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日位移解为其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。若z=h为刚性层，则由可以确定B。若为半无限大空间体，则没有约束条件可以确定B；第十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系数。即侧压力系数第十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日当时，侧向变形最大，侧向压力也最大，说明物体的刚度极小，接近于流体。当时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度极大，接近于刚体。讨论：第十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位移求解？第十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日2.若将空间问题的伽辽金位移函数向平面应变问题简化，将得到什么形式的表达式？再转向平面应力问题，又将得到什么形式的表达式？并与平面问题的位移函数相比较（参见“弹性力学简明教程学习指导”和第二章教学参考资料）。3.试用伽辽金位移函数的表达式(8-9),导出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学习指导”）。第二十页，共一百三十六页，2022年，8月28日设有半空间体，在o点受有法向集中力F。本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，而位移,而和应满足:

§8-3半空间体在边界上受

法向集中力问题第二十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日（1）平衡微分方程（书中（8-4））求解条件其中第二十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力边界条件为（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：第二十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。第二十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日其中第二十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日应力特征：（3）水平截面上的全应力，指向F作用点

o。

边界面上任一点的沉陷，（2）水平截面上的应力与弹性常数无关。（1）当当第二十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日若单位力均匀分布在的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为，对积分，便得到书上公式。分布力第二十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日试由位移函数的表达式(8-11)，导出式(8-12)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）2.

试由拉甫位移函数的表达式(8-14)，导出式(8-15)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）思考题第二十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日§8－4按应力求解空间问题按应力求解空间问题的方法：按应力求解形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。2.其他未知函数用应力表示:1.取σx…

τyz…为基本未知函数。

第二十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件的问题。第三十页，共一百三十六页，2022年，8月28日3.在V内导出求应力的方程

:从几何方程消去位移，导出六个相容方程：（2）相容方程（六个）:（1）平衡微分方程（三个）。V内方程第三十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(书中（8-12））。4.假设全部为应力边界条件，在上，应满足书中式（7-5）。应力边界条件第三十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日（1）V内的三个平衡微分方程；其中(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。按应力求解归纳为,应力分量应满足：按应力求解归纳（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。（3）上的三个应力边界条件（假设全部为应力边界条件）；（2）V内的六个相容方程；第三十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日（1）物体满足连续性条件导出形变和位移之间的几何方程导出相容方程。对于相容方程说明如下：相容方程说明所以相容方程是位移的连续性条件。（2）形变满足相容方程对应的位移存在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程对应的位移不存在物体不保持连续。第三十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见有关书籍。例如：（4）相容方程必须为六个。相容方程和平衡微分方程的数目大于未知函数的数目，是由于微分方程提高阶数所需要的。第三十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日式是由方程提高阶数得出的，但式增加的解不是原式的解。几何方程中，形变为0阶导数；但在相容方程中形变以2阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。第三十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。应力函数应用这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。第三十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日思考题1、试考虑：从空间问题的相容方程，可以导出平面应变问题的相容方程，却不能直接导出平面应力问题的相容方程，为什么？

(见例题4)2、在表面均受到法向压力q作用的任意形状的空间体，其应力分量是

试证明这些应力分量是该问题之解（对于多连体还应满足位移单值条件）。第三十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日扭转问题也是空间问题的一个特例。§8-5等截面直杆的扭转根据扭转问题的特性来简化空间问题，就建立了扭转问题的基本理论（1854-1856年，圣维南）。扭转问题第三十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日扭转问题的提出:（1）等截面柱体；（2）无体力作用，（3）柱体侧面无面力作用，柱体上下端面的面力，合成一对力矩M。第四十页，共一百三十六页，2022年，8月28日引用按应力求解空间问题的方法—应力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程及上的应力边界条件。按应力求解第四十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日因此只有，代入3个平衡微分方程得1.由扭转问题特性,

∵上下端面（）上无面力∴设

∵侧面无任何面力，∴第四十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日由式(a)前两式，得仅为（x,y）的函数；第三式成为又由偏导数的相容性，存在一个应力函数第四十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭转应力函数

表示为第四十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日由此得出扭转应力函数应满足的方程：2.将式（d）代入6个相容方程，前三式和第六式自然满足，其余两式为代入（d），得C为待定常数。相容方程第四十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日而得3.考察侧面边界条件前两式自然满足，第三式成为边界条件第四十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日∴在S上为常数。又由于中常数不影响应力，∴得的侧面边界条件为考察上端面（z=0）的边界条件。在小边界z=0上，应用圣维南原理，有第四十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日在z=0负面上，只有。∴条件自然满足，而其余三个条件为第四十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日将式代入，并应用条件，经过运算（见书P.168），式的前两式自然满足，而由后一式得出关于的端面边界条件为第四十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日扭转问题归纳为求一个扭转应力函数，应满足：归纳（1）A内方程（2）侧面S上边界条件（3）端面上边界条件第五十页，共一百三十六页，2022年，8月28日注解：（3）扭转问题中的变量为x,y，∴仍属于二维问题。（2）空间问题按应力求解的全部条件均已考虑并满足。（1）另一端面上的边界条件自然满足。第五十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日求位移分量：根据上面的应力，代入物理方程，可以求出对应的形变；再代入几何方程，并进行积分，求出对应的位移为其中，为单位杆件长度的扭角。求位移第五十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日并且还得出对比式（e），得出常数C的物理意义，第五十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日思考题试考虑：上面建立的分析方法是精确的理论还是近似的理论，其中提出的一些假设是否完全成立？

第五十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日§8－6扭转问题的薄膜比拟对于物理现象不同，但数学描述相同的问题，可以应用比拟方法来求解。薄膜问题—设有一薄膜，张在水平边界上，并受到微小的气体压力q。第五十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日薄膜斜率在面分别为薄膜斜率在面分别为薄膜只能承受均匀拉力，不能承受弯矩，扭矩，剪力和压力。取出一个微小单元abcd,各边上的作用力均为，但薄膜的斜率不同。薄膜问题第五十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日平衡条件：第五十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率为薄膜与边界平面（xy面）之间的2倍体积是薄膜的边界条件为薄膜比拟第五十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日扭转问题薄膜问题未知函数A内方程从数学上看，薄膜问题和扭转问题的数学方程相同，比较如下：

边界条件第五十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日边界条件切应力/斜率扭转问题薄膜问题于是求扭转应力函数的问题，可以化为求薄膜垂度z的问题：只要使M对应于2V，则第六十页，共一百三十六页，2022年，8月28日薄膜比拟的应用：（3）通过薄膜比拟,提出扭转应力函数的假设。（2）通过薄膜比拟,直接求解薄壁杆件的扭转问题。（1）通过薄膜比拟试验,求解扭转问题。第六十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日扭转问题已归结为求扭转应力函数，应满足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,§8－7椭圆截面杆的扭转求φ的条件第六十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日式中的C为常数，其特解十分简单；而式的通解为调和函数。C可以由式求出。第六十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日椭圆截面杆受M的扭转，可以由式(a),(b),(c)求解。1.为了满足式(b)，可取在椭圆边界上椭圆截面杆第六十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日2.将式(d)代入(a)，解出3.再将式(d)及(e)代入式(c)，求出从而得出第六十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日求出单位长度杆件的扭角：第六十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日z向的位移为可见横截面不保持为平面。只有当a=b的圆截面时，w=0，才保持为平面。第六十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日对于的狭矩形截面，从薄膜比拟来看,在边界条件中，长边上应严格满足§8－8矩形截面杆的扭转而短边(x=±b)是次要的，可忽略。狭矩形截面杆1.狭矩形截面杆的扭转

第六十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日（2）在方程中，应主要考虑y向的导数，而可忽略x向的导数，∴由式和，可得可简化为第六十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日（3）将代入求出

∴狭矩形杆的解答为第七十页，共一百三十六页，2022年，8月28日矩形截面杆2.一般矩形截面杆的扭转

以狭矩形杆解答为基础，再迭加一个修正解的方法,进行求解：第七十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日应满足条件是由上式可导出F应满足的条件:第七十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日从式（h）可解出F，再由式（g）得，然后求出应力等解答（用双曲函数和三角函数的级数表示）。书中列出了简化的结果，见式（8-34）和（8-35）。第七十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日3.薄壁杆件的扭转（2）从薄膜比拟可见，当狭矩形的a,b相同时，直线形和曲线形截面的薄膜是相似的，∴它们的相同。（1）薄壁杆件截面都是狭矩形

∴可以直接引用式的解答。薄壁杆件第七十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日（3）对于若干个狭矩形组成的构件，b.总扭矩是各个截面的扭矩之和，由此解出a.各个截面的扭角相同，第七十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日（4）闭口薄壁杆件的扭转设闭口薄壁杆的厚度为，中心线长为s，中心线包围的面积为A，应用薄膜比拟，取外边界上，则内边界上的不能再任意选择，应取，如图，相当于有一块无重钢板悬挂于边界上。由薄膜比拟：第七十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日扭矩解出切应力yxozxzoyq

hs(b)开口薄壁杆件(a)闭口薄壁杆件第七十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日由此得出切应力其中，代入得为了求扭角K,可考虑内边界上无重钢板的平衡条件：第七十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日由薄膜比拟，代入上式，求出当薄壁杆厚度为常量时，第七十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日思考题试比较：矩形中心线的边长为a×b，厚度为δ的矩形的闭口薄壁杆件,和矩形开口薄壁件的切应力和扭角。第八十页，共一百三十六页，2022年，8月28日第八章例题例题1例题2例题3例题4例题第八十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日解：引用“弹性力学简明教程学习指导”§8-2中关于空间位移势函数的解法，应满足泊松方程

例题1试证明位移势函数能解任意弹性体受均布压力q的问题。及边界条件。第八十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日取满足泊松方程。由式（8-8）从求出应力分量,在边界面上，设法线的方向余弦为l,m,n,则面力分量是将应力代入三个边界条件，并求出第八十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日由此，得解答对于多连体，还应从应力求出位移，并校核多连体中的位移单值条件是否满足。显然，位移单值条件是满足的。第八十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日设有无限大弹性体（空间体），在体内一小洞中受有集中力F的作用，如图(a)，试用拉甫位移函数求解应力分量，其中例题2第八十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日及边界条件。将ζ代入方程，显然是满足的。再将ζ代入应力公式（8-16），求出应力分量。

解：引用“弹性力学简明教程学习指导”§8-3中关于拉甫位移函数

ζ

的解法，ζ应满足重调和方程

第八十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日为了校核小洞中受集中力的边界条件，在点o附近切出一薄板，图(b)，应用圣维南原理来考虑此薄板的平衡条件。由于应力分量都是轴对称的，且对于z=0的面又是反对称的，只须考虑下列平衡条件：第八十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日而从而得出各应力分量为代入后得第八十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日第八十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日其中而均为调和函数，满足

例题3用代入法证明，下列的位移表达式是无体力时平衡微分方程的解答，第九十页，共一百三十六页，2022年，8月28日由于都是调和函数，代入无体力的平衡方程均能满足。H.Neuber等曾用这一形式的解答求出一批回转体的解。

解：当无体力时，平衡微分方程是其中体积应变第九十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日例题4

平面应力解答的近似性—试从空间问题按应力求解的方法，来导出和考察平面应变问题和平面应力问题的基本理论。第九十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日解：（1）对于平面应变问题，在常截面的很长柱体（可以假设为无限长），只有x,y方向的体力、面力和约束且沿z方向不变的条件下，由于任一横截面（z面）均为对称面，可以推论出，第九十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日从式可以得出，在式中，表示等式左边的物理量仅为x,y的函数。第九十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日将式代入空间问题的平衡微分方程、相容方程、应力和位移边界条件，可以得出平面应变问题的全部方程和条件，而其余的方程和条件均为自然满足。例如，将式代入空间问题的相容方程（书中式（8-10）、（8-11））得出而其余五式全部自然满足。第九十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日因此，从空间问题的基本理论，可以导出平面应变问题的理论。（2）对于平面应力问题，在很薄的板，只受x,y方向的体力、面力和约束，且不沿板厚方向（z向）变化；又在板面上无任何面力的条件下，由板面的边界条件第九十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日假设在弹性体内因此，只有平面应力和，并进一步假设这就是平面应力问题。由上两式，还可得出第九十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日将式代入空间问题的相容方程（书中式），除了得出式外，还得出第九十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日在一般的情况下，由式得出的显然不能满足相容方程。由此可见，平面应力问题的假设不能保证所有的相容条件都得到满足。因此，平面应力问题的理论是近似性的。第九十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日但是Clebsch,A.证明，在条件下从空间问题理论得出满足所有相容方程的精确解答，是一般平面应力问题（假设的解答，再补充一个沿板厚抛物线变化的修正解（与成正比）。对于充分薄的板，第一百页，共一百三十六页，2022年，8月28日因此，平面应力问题的解答，显然不能满足所有的相容条件，但对薄板却仍是一个很好的近似解。读者可参阅§8-4的详细证明。修正解远小于第一部分平面应力问题的解，且只影响边界附近的局部区域。第一百零一页，共一百三十六页，2022年，8月28日8-2提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设若为多连体，还应满足位移单值条件。8-1提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设)。柱体的侧面，在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（n=0,l,m为任意的），并应用一般的应力边界条件。第八章习题的提示和答案第一百零二页，共一百三十六页，2022年，8月28日由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（7-5）：法线的方向余弦为l,m,n，边界面为任意斜面，受到法向压力q作用。为了考虑多连体中的位移单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。8-3见§8-2的讨论。8-4从书中式（8-2）和（8-12）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。

第一百零三页，共一百三十六页，2022年，8月28日8-5为了求o点以下h处的位移，取出书中式（8-6）的，并作如下代换Z→h，R→ρ2＋a2，F→dF＝q2πρdp,然后从o→a

对积分。8-6引用布西内斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是（1）求矩形中心点的沉陷，采用图8-9（a）的坐标系，第一百零四页，共一百三十六页，2022年，8月28日代入并积分，再应用部分积分得到，第一百零五页，共一百三十六页，2022年，8月28日

a/2

a/2

b/2

b/2odxdyxyyxbadydx(a)(b)第一百零六页，共一百三十六页，2022年，8月28日（2）求矩形角点处的沉陷，采用图8-9(b)的坐标系，第一百零七页，共一百三十六页，2022年，8月28日8-8题中能满足两个圆弧处的边界条件。然后，相似于上题进行求式解。的两倍。8-7题中已满足边界条件再由便可求出切应力及扭角等。第一百零八页，共一百三十六页，2022年，8月28日8-9分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由，得出代入后进行比较即可得出。8-10参见§8-8的讨论。第一百零九页，共一百三十六页，2022年，8月28日

（一）本章的学习重点及要求1、本章介绍空间问题的位移法和应力法，其思路和步骤与平面问题相似。读者可对照平面问题来学习和理解。2、空间问题的位移法比应力法尤为重要。一是因为位移法可以适用于各种边界条件的问题；二是位移法的未知函数数目比应力法少，而在空间问题中，又没有如第八章教学参考资料

第一百一十页，共一百三十六页，2022年，8月28日平面问题那样，有普遍性的应力函数存在。在近似解法中，位移法得到广泛的应用。3、为了便于空间问题的求解，力学家和数学家提出了一些应力函数、位移势函数和位移函数等来表示应力或位移，使相应的微分方程得到简化，并从而得出了一些解答。但读者应注意，这些函数都是人为假定的和有局限性的，并不能作为空间问题的一般解，因为并不能保证这些函数在任何情况下都存在。

第一百一十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日4、扭转问题

是空间问题中的一个专门问题。扭转问题的理论，是从空间问题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立起来的。扭转问题的应力函数（x,y）是x,y坐标变量的函数，所以仍然是二维问题。第一百一十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日（二）本章的内容提要1.在直角坐标系（x,y,z）中，按位移求解一般的空间问题时，取u,v,w为基本未知函数，它们应满足（1）用位移表示的平衡微分方程，第一百一十三页，共一百三十六页，2022年，8月28日（2）用位移表示的应力边界条件，其中第一百一十四页，共一百三十六页，2022年，8月28日2.在柱坐标系中，按位移求解空间轴对称问题时，取为基本未知函数，它们仅为的函数，应满足（1）用位移表示的平衡微分方程，（3）位移边界条件第一百一十五页，共一百三十六页，2022年，8月28日3.在直角坐标系中，按应力求解一般的空间问题时，取为基本未知函数，它们应满足（1）区域v内的平衡微分方程，（2）用位移表示的应力边界条件。（3）位移边界条件。第一百一十六页，共一百三十六页，2022年，8月28日（3）在边界上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件），其中（2）区域V内的相容方程，第一百一十七页，共一百三十六页，2022年，8月28日（4）若为多连体，还应满足位移单值条件。4.对于常截面杆的扭转问题，可归结为求解一个扭转应力函数它应满（1）截面区域A内的泊松方程，式中K为单位长度柱体的扭角。切应力公式是（2）边界条件，第一百一十八页，共一百三十六页，2022年，8月28日

以下（三）—（七）均参见“弹性力学简明教程学习指导”（三）空间问题的位移势函数和位移函数

按位移求解空间问题，也可以引用位移势函数和位移函数，以简化求解的方法。读者同样应注意，这些人为假定的位移势函数或位移函数，不具有普遍性，只能用来解决某些问题。但作为解决问题的思路和方法，是值得我们参考和借鉴的。

1.用位移势函数求解空间问题假设位移u,v,w

是有势的函数，它们可以第一百一十九页，共一百三十六页，2022年，8月28日式(a)可以归并为将上式代入用位移表示的平衡微分方程（8－2），若不计体力，则得分别用位移势函数ψ(x,y,z)的导数来表示，即第一百二十页，共一百三十六页，2022年，8月28日求解的方法是：（1）由

求出势函数；（2）由

求位移（式（8－6））及应力（式（8－8））；将式（8－6）代入应力公式（8－1），则应力也可以用位移势函数表示为

其中C为任意常数。若取C=0，则上式成为拉普拉斯方程，

为调和函数，即第一百二十一页，共一百三十六页，2022年，8月28日（3）使位移和应力满足和上的边界条件。位移势函数的局限性是，是人为假定的，且体积应变因此，它只适用于弹性体内各点均无体积应变的情形（如纯剪切问题）。2、用伽辽金位移函数求解空间问题伽辽金假定位移可以表示为如下形式，第一百二十二页，共一百三十六页，2022年，8月28日其中ξ,η,ζ均为x,y,z函数。由于(x,y,z)具