第10章 含有耦合电感的电路

第10章含有耦合电感的电路首页本章内容互感10.1含有耦合电感电路的计算10.2耦合电感的功率10.3变压器原理10.4理想变压器10.5

1.互感和互感电压以及同名端的含义；

2.含有互感电路的计算；

3.含有理想变压器电路的计算。返回本章重点第10章含有耦合电感的电路10.1互感耦合电感在工程中有着广泛的应用。耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。下页上页返回下页上页变压器返回下页上页变压器返回下页上页有载调压变压器返回下页上页小变压器返回下页上页调压器整流器牵引电磁铁电流互感器返回1.耦合电感线圈1中通入电流i1（施感电流）时，产生磁通11

。交链自身的线圈，产生自感磁通链；同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分称为互感磁通链。两线圈间有磁耦合。工程上称这对耦合线圈为耦合电感（元件）。下页上页

21+–u11+–u21i111N1N2定义磁通链

：

=N返回11L1L2空心线圈，与i成正比。当只有一个线圈时：

当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自感磁通链与互感磁通链的代数和：

M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足M12=M21

L

总为正值，M值有正有负。下页上页注意返回下页上页返回注意③互感作用的两种可能性：增磁——同向耦合、消磁——反向耦合。④工程上将同向耦合状态下的一对施感电流的入端或出端定义为耦合电感的同名端。i1**L1L2+_u1+_u2i2M⑤耦合电感的电路符号：具有四个端子的二端口电路元件**i1i2i3△△下页上页N1N2N3返回⑥线圈的同名端必须两两确定。注意L1L2L3MM**M无标记的另一对端点也是同名端。用“•”或“*”或“△”等标记。2.耦合因数k一般情况下，一个线圈中的电流所产生的磁通只有一部分与邻近线圈交链，另一部分称为漏磁通。漏磁通越少，互感线圈之间的耦合程度越紧密。工程上常用耦合因数k表示其紧疏程度：11'22'L1L2i1F21漏磁通F1sF11=F21+F1skdelY12Y11·Y21Y22代入Y11=L1i1，Y22=L2i2k=L1L2M≤10≤k的大小与两线圈的结构、相对位置和周围的磁介质有关。k=1为紧耦合。Y12=Mi2，Y21=M

i1得当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。当i1、u11、u21方向与

符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：自感电压互感电压3.耦合电感上的电压、电流关系下页上页当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。返回在正弦交流电路中，其相量形式的方程为：下页上页返回两线圈的自感磁通链和互感磁通链相助，互感电压取正，否则取负。表明互感电压的正、负：

（1）与电流的参考方向有关；

（2）与线圈的相对位置和绕向有关。下页上页注意返回4.互感线圈的同名端对自感电压，当u,i

取关联参考方向，u、i与

符合右螺旋定则，其表达式为：上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。下页上页i1u11返回对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概念。下页上页当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。同名端返回**i1i2i3△△下页上页+–u11+–u2111

0N1N2+–u31N3

s返回确定同名端的方法：(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。i11'22'**11'22'3'3**例(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。下页上页返回+–V同名端的实验测定：i11'22'**电压表正偏。如图电路，当闭合开关S

时，i

增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。下页上页RS+-i返回由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方向即可。下页上页i1**u21+–Mi1**u21–+M返回☆当施感电流从同名端的标记端流进线圈时，则其互感电压（在另一线圈中）的“+”极性端就在同名端的标记端。例：写出图示电路电压、电流关系式下页上页i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M返回例：21010i1/At/s解：下页上页MR1R2i1**L1L2+_u+_u2返回§10-2含有耦合电感电路的计算方法1：直接列写方程法与一般电路相比，在列写互感电路方程时，必须考虑互感电压，并注意极性。对互感电路的正弦稳态分析，用相量形式。方法2：互感消去法(去耦等效法)

通过列写、变换互感电路的VCR方程，可以得到一个无感等效电路。分析计算时，用无感等效电路替代互感电路即可。方法3：受控源替代法重复前面的话：若i2从L2的同名端流互感电压，控制量为相邻电感的同名端确定。11'L1+-u1i1M22'L2+-u2i2.U2.I2jwL1jwM.I1.I211'+-jwL2jwM.I122'+-.U1可以用相量形式的CCVS替代互感电压，从而将互感电压明确地画在电路中。施感电流。被控量为极性根据若i1从L1的同名端流入，则i1在L2中引起的互感电压参考

“+”极在L2的同名端。的互感电压参考

“+”极在L1的同名端。+-+-入，则i2在L1中引起1.耦合电感的串联(1)L1、L2反向串联时，无感等效电路如下：u1=

R1i+

L1dtdi

-

Mdtdi=

R1i+

(L1-

M)dtdiu2=

R2i+

L2dtdi-

Mdtdi=

R2i+

(L2-

M)dtdi互感起“削弱”作用。由KVL(注意互感)得：L1+-ui+-u2ML2R1R2u1+-L1-M+-ui+-u2L2-MR1u1+-R2相量形式：

.U1=

R1.I+

jw

(L1-

M).I=

Z1.I

.U=

.U1

+

.U2=

(Z1+

Z2).I=

Z.Iu1=

R1i

+(L1-

M)dtdiu2=

R2i

+(L2-

M)dtdi式中Z1=

R1+jw

(L1-

M)

.U2=

R2.I+

jw

(L2-

M).I=

Z2.I式中Z2=

R2+jw

(L2-

M)Z

=Z1+Z2=

(R1+

R2)

+jw

(L1+L2-2M)由KVL：jw

(L1-M)+-+-R1R2+-

.U

.U1

.U2.Ijw

(L2-M)互感的“削弱”作用类似于“容性”效应。由于耦合因数k≤1，所以(L1+L2-2M)≥0。电路仍呈感性。Z

=Z1+Z2=

(R1+

R2)

+jw

(L1+L2-2M)可见，当反向串联时，由于互感的“削弱”作用，使每一条耦合电感支路阻抗(Z1、Z2)和输入阻抗Z都比无互感时小。(L1-M)和(L2-M)有可能一个为负，但不会都为负。友情提示：jw

(L1-M)+-+-R1R2+-

.U

.U1

.U2.Ijw

(L2-M)(2)顺向串联用同样的方法可得出：Z1=

R1+jw

(L1+M)Z2=

R2+jw

(L2+M)综上：两个串联的耦合电感可以用一个等效电感L来替代：Z

=

(R1+

R2)

+jw

(L1+L2+2M)去耦等效电路为：jwL1+-+-jwMR1R2+-.I

.U

.U1

.U2jwL2jw(L1+M)+-+-R1R2+-

.U

.U1

.U2.Ijw(L2+M)L

=

L1+

L2±2M顺接取“+”，反接取“-”。解题指导：电路如图，L1=0.01H，L2=0.02HR1=R2=10Ω，C=20μF，M=0.01H，U=6V。L1+-+-L2R1R2+-

.U.I

.U1

.U2CMw=1000rad/s等效复阻抗为：Z=(R1+R2)+jw(L1+L2-2M)

-wC1求I、U1、U2。...解：耦合线圈为反向串联L1改为L1-ML2改为L2-ML1-M+-+-L2-MR1R2+-

.U.I

.U1

.U2Cw=1000rad/s去耦等效电路如图。代入数据求得：Z=20-j40=

44.7-63.4oW

.U1=[R1+jw(L1-M)].I=

1.3463.4oV可进一步分析功率等问题。L1+-+-L2R1R2+-

.U.I

.U1

.U2CMw=1000rad/sZ=20-j40=

44.7-63.4oW设

.U=

60oV则：.I=Z

.U=60o44.7-63.4o=

0.13463.4oAL1-M+-+-L2-MR1R2+-

.U.I

.U1

.U2Cw=1000rad/s

.U2=[R2+jw(L2-M)].I=

1.90108.4oV顺接一次，反接一次，就可以测出互感：全耦合时：

当

L1=L2

时

,

M=L4M

顺接

0

反接L=互感的测量方法：下页上页返回例如课后习题P273：10-7在正弦激励下：**–下页上页jL1jL2jM+–R1+–+–返回**相量图：(a)顺接(b)反接下页上页jL1jL2jM+–R1+–+–返回2.耦合电感的并联①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM

.U

=jwL1.I1+

jwM.I2

.U+jwL2.I2=

jwM.I1

.I3

=.I1+.I2

.U.I1

=jwL1+

jwM

.I3

-.I1()=

jw(L1-M).I1+

jwM

.I3

(1)同侧并联同名端接在同一结点上。把(3)代入(1)得……(1)……(2)………………(3)把(3)代入(2)得

.U

=

jwM

.I3

-.I2().I2

+jwL2=

jwM

.I3

+

jw(L2-M).I2.I3jwM.I1jw(L1-M)+-

.U.I2jw(L2-M)②①1'①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM

.U

=jw(L1-M).I1+

jwM

.I3

.U=

jwM

.I3

+

jw(L2-M).I2由以上两个方程得到去耦等效电路：(1)同侧并联.I3-jwM.I1jw(L1+M)+-

.U.I2jw(L2+M)②①1'①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM与同侧并联的比较去耦等效电路①jwL2jwL1

.U.I1.I2+-.I3②jwM：异名端连接在同一个结点上。(2)异侧并联.I3jwM.I1jw(L1-M)+-

.U.I2jw(L2-M)②①1'“去耦方法”归纳如下：使用条件：两个耦合电感必须有一侧联在一起，或经电阻联在一起。L2L1M312**L2-ML1-MM312同正异负L2L1M312R1R2L2+ML1+M-M312R1R2同减异加另一侧可任意联接。☆耦合电感的T型等效电路同名端为共端的T型去耦等效电路下页上页**jL1123jL2jM312j(L1-M)j(L2-M)jM返回如果耦合电感的两条支路有一端与第三条支路形成了仅含三条支路的共同结点，则可用三条无耦合的电感支路来等效替代，且等效电感与电流的参考方向无关。异名端为共端的T型去耦等效电路下页上页**jL1123jL2jM12j(L1+M)j(L2+M)-jM3返回☆耦合电感的T型等效电路下页上页**Mi2i1L1L2ui+–(L1－M)M(L2－M)i2i1ui+–**Mi2i1L1L2u1+–u2+–(L1－M)M(L2－M)**Mi2i1L1L2u1+–u2+–返回等效电感：等效电路下页上页Lequi+–返回**Mi2i1L1L2ui+–同侧并联☆耦合电感的直接等效电路如全耦合：L1L2=M2当

L1L2

，Leq=0

(短路)当L1=L2=L

，Leq=L

(相当于导线加粗，电感不变)

等效电感：下页上页返回同侧并联

异侧并联等效电感：下页上页**Mi2i1L1L2ui+–返回等效电路Lequi+–☆耦合电感的直接等效电路3.耦合电感的受控源等效电路下页上页**Mi2i1L1L2u1+–u2+–jL1jL2+––++–+–返回Lab=6H解下页上页M=4H6H2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3H返回例例：求图示电路的开路电压。解：互感消法。作去耦等效电路，一对一对地消去互感。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23RL1-M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31M23RL2-M12L1-M12+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31RL2-M12+M23-M23-M23例：求图示电路的开路电压。解：互感消法。作去耦等效电路，一对一对地消去互感。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23RL1-M12+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12△△M31RL2-M12+M23-M23-M23L1-M12+M23+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12-M23RL2-M12-M23-M31-M31+M31由去耦等效电路得开路电压为：

.UOC=R

+jw(L1+

L3-2M31)jw(L3+M12-M23-M31)

.USL1-M12+M23+-

.Uoc+-

.US

.I1L3+M12-M23RL2-M12-M23-M31-M31+M31例：求图示电路的开路电压。解：互感消法。L2L1M12+**-

.Uoc+-

.US

.I1L3△△M31M23R10.3耦合电感的功率当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从耦合电感一边传输到另一边。下页上页**jL1jL2jM+–R1R2例：求图示电路的复功率返回下页上页**jL1jL2jM+–R1R2返回下页上页线圈1中互感电压耦合的复功率线圈2中互感电压耦合的复功率注意两个互感电压耦合的复功率为虚部同号，而实部异号，这一特点是耦合电感本身的电磁特性所决定的；耦合功率中的有功功率相互异号，表明有功功率从一个端口进入，必从另一端口输出，这是互感M非耗能特性的体现。返回下页上页耦合功率中的无功功率同号，表明两个互感电压耦合功率中的无功功率对两个耦合线圈的影响、性质是相同的，即，当M起同向耦合作用时，它的储能特性与电感相同，将使耦合电感中的磁能增加；当M起反向耦合作用时，它的储能特性与电容相同，将使耦合电感的储能减少。注意返回**Mi2i1L1L2ui+–R1R2例题：电路如图所示，设正弦电压U=50V，R1=3Ω，ωL1=7.5Ω，R2=5Ω，ωL2=12.5Ω，ωM=8Ω。试对电路中的复功率的转换和传输做以分析。解：复功率为互感吸收的复功率：M起同向耦合的作用，使耦合电感中的无功功率都增加了同一个值。有功功率的传输情况是：线圈1吸收功率（54.78W）→线圈2发出（-54.78W）→线圈2电阻R2的消耗（19.80W）+剩余功率（-34.98W）→返回给电源（有功功率的“过冲”现象）。**Mi2i1L1L2ui+–R1R210.4变压器原理变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。1.变压器电路（工作在线性段）原边回路副边回路下页上页**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX返回2.分析方法方程法分析令

Z11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)回路方程：下页上页**jL1jL2jM+–R1R2Z=R+jX返回等效电路法分析下页上页+–Z11+–Z22原边等效电路副边等效电路返回根据以上表示式得等效电路。副边对原边的引入阻抗。引入电阻。恒为正,表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。引入电抗。负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。下页上页+–Z11原边等效电路注意返回引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。原副边虽然没有电的联接，但互感的作用使副边产生电流，这个电流又影响原边电流电压。能量分析电源发出有功

P=I12(R1+Rl)I12R1

消耗在原边；I12Rl

消耗在付边证明下页上页返回原边对副边的引入阻抗。利用戴维宁定理可以求得变压器副边的等效电路。副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。副边等效电路下页上页+–Z22注意去耦等效法分析对含互感的电路进行去耦等效，再进行分析。返回已知

US=20V,原边引入阻抗

Zl=10–j10.求:

ZX

并求负载获得的有功功率.负载获得功率：实际是最佳匹配：例1解下页上页**j10j10j2+–10ZX10+j10Zl+–返回L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,

R2=0.08W,

RL=42W,w=314rad/s,应用原边等效电路例2解1下页上页**jL1jL2jM+–R1R2RL+–Z11返回下页上页+–Z11返回应用副边等效电路解2下页上页+–Z22返回例3全耦合电路如图，求初级端ab的等效阻抗。解1解2画出去耦等效电路下页上页**L1aM+–bL2L1－M

L2－M+–

Mab返回例4L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10W,C1=C2=0.01F

问：R2=？能吸收最大功率,求最大功率。解1w=106rad/s,下页上页jL1jL2jMR1R2**+–1/jC21/jC1返回应用原边等效电路当R2=40时吸收最大功率下页上页10+–返回解2应用副边等效电路当时吸收最大功率下页上页R2+–返回解例5**问Z为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。判定互感线圈的同名端下页上页＋－uS(t)Z100CL1L2MjL1R

+–

MZ**jL21/jC

返回作去耦等效电路下页上页+–

Zj100－j20j20100j(L-20)jL1R

+–

MZ**jL21/jC

+–

Zj100100j(L-20)返回下页上页＋－uoc+–

j100100j(L-20)j100100j(L-20)Zeq返回10.5理想变压器1.理想变压器的三个理想化条件理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。全耦合无损耗线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。参数无限大下页上页返回以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。下页上