第04章-正弦交流电路的分析

第4章正弦交流电路的分析Chapter42/6/20231第4章正弦交流电路的分析第4章正弦交流电路的分析4.1相量法4.2阻抗和导纳4.3RLC串联电路4.4RLC并联电路4.5正弦交流电路的相量图求解法4.6复杂正弦交流电路4.7正弦电路中的功率4.8串联谐振电路4.9并联谐振电路本章小结2/6/20232第4章正弦交流电路的分析4.1相量法1.复数及表示形式复数由实数和虚数组成，对应于复平面上的一个点A或一向量OA，如图4.1所示。复数A在复平面实轴上的投影为a，在虚轴上的投影为b。4.1.1复数概述虚轴上的j称为虚数单位：2/6/20233第4章正弦交流电路的分析1.复数的表示形式:①代数形式：A=a+jb。其中：a为复数A的实部，b为复数A的虚部。指数形式由欧拉公式而得②三角形式：其中:r称为复数A的模，总为正值，φ称为复数A的辐角。③指数形式：

工程上常用复数的极坐标形式：2/6/20234第4章正弦交流电路的分析2.

代数形式和极坐标形式间的互换:根据：可得：二者之间的关系可用一直角三角形表示，如下图所示。

2/6/20235第4章正弦交流电路的分析3.

复数的四则运算：加减运算:乘除运算:复数的向量表示:已知向量如右图示，在向量图中可进行向量的加减（乘除）运算。+1+jboajr2/6/20236第4章正弦交流电路的分析4.1.2正弦量的复数表示法1.相量与正弦量：一个以角频率ω随时间不断旋转的旋转相量，它在纵轴上的投影就是正弦量，如下图所示。2/6/20237第4章正弦交流电路的分析结论：正弦量i是相量乘以并以角频率（角速度）ω随时间旋转的相量在虚轴上的投影。因此可用相量来表示正弦量i：包含了正弦量i三要素的两个要素：有效值和初相，而频率没有反映其中。注意：相量与正弦量i是一种表示方式的对应关系而不是相等关系。在相量中，2/6/20238第4章正弦交流电路的分析2.相量图

相量是用复数表示的，相量在复平面上的图形称为相量图。举例：2/6/20239第4章正弦交流电路的分析4.1.3复数形式的欧姆定律与基尔霍夫定律1.正弦量运算转换为相应的相量运算（1）正弦量的加减运算：设有两个正弦量i1和i2，i=i1±i2，则加减运算可转换为相量运算：（2）正弦量的微分运算：2/6/202310第4章正弦交流电路的分析（3）正弦量的积分运算：2/6/202311第4章正弦交流电路的分析2.欧姆定律的相量形式（1）电阻元件的欧姆定律相量形式：可得：φu

=φi

UR

=R·IR设：则：2/6/202312第4章正弦交流电路的分析（2）电感元件的欧姆定律相量形式：可得：φu

=φi

+90°UL

=XL

·IR设：则：2/6/202313第4章正弦交流电路的分析讨论:感抗oXLwL呈现短路。呈现高阻力,对低频L呈现低阻力。利用该原理可制作高频扼流圈。直流稳态时,f=0，XL=0，对高频L频率特性:

(2)∵具有电阻量纲,∴

(1)∵2/6/202314第4章正弦交流电路的分析（3）电容元件的欧姆定律相量形式：可得：设：则：2/6/202315第4章正弦交流电路的分析讨论:0XCω⑵频率特性即对高频率信号呈现低阻力,对低频率信号呈现高阻力。如:电子线路中的旁路电容。直流稳态时,f=0,C元件呈现为开路。⑴φu

=φi

-90°UC

=XC

·IC2/6/202316第4章正弦交流电路的分析φu

=φi

-90°UC

=XC

·ICφu

=φi

+90°UL

=XL

·IR结论：R、L、C元件上的电压与电流的关系为：相量形式的欧姆定律。φu

=φi

UR

=R·IR2/6/202317第4章正弦交流电路的分析R、L、C基本元件的相量图:R元件上的电压与电流同相；L元件上的电压超前电流90º；C元件上的电压滞后电流90º。2/6/202318第4章正弦交流电路的分析3.基尔霍夫定律的相量形式：基尔霍夫定律：对应的相量形式就是：即在正弦交流电路中，当各正弦电流i用电流相量表示，各正弦电压u用电压相量表示，其KCL和KVL的表示形式与直流电路相同，正弦交流电路的等效变换分析方法及电路的网络方程分析方法也同样可以参照直流电路的分析方法，只是需要注意R、L、C元件有不同的电压、电流相量的欧姆定律表达形式。2/6/202319第4章正弦交流电路的分析4.2阻抗和导纳阻抗的定义：单口无源网络的端口的电压相量与电流相量之比。符号：Z单位：为欧姆（Ω）4.2.1阻抗2/6/202320第4章正弦交流电路的分析由阻抗的定义可知，对于单一元件R、L、C的阻抗Z分别为：阻抗Z=R+jX，所对应的阻抗三角形与电压三角形：2/6/202321第4章正弦交流电路的分析4.2.2导纳导纳的定义：阻抗的倒数。符号：Y；单位：西门子（S）对于单一元件R、L、C的导纳Y分别为：2/6/202322第4章正弦交流电路的分析导纳Y=G+jB，所对应的导纳三角形和电流三角形：

2/6/202323第4章正弦交流电路的分析例4.4有一元件的电流和电压相量分别为：试求：该元件的阻抗和导纳。解：阻抗为：导纳为：2/6/202324第4章正弦交流电路的分析4.3

RLC串联电路电路：4.3.1

RL串联电路RL串联电路：2/6/202325第4章正弦交流电路的分析4.3.2

RC串联电路RC串联电路：2/6/202326第4章正弦交流电路的分析4.3.3

RLC串联电路RLC串联电路：

2/6/202327第4章正弦交流电路的分析4.4RLC并联电路RL并联电路：4.4.1RL并联电路RL并联电路：2/6/202328第4章正弦交流电路的分析4.4.2RC并联电路RC并联电路：或2/6/202329第4章正弦交流电路的分析4.4.3RLC并联电路

RLC并联电路:2/6/202330第4章正弦交流电路的分析例4.6

在下图中，已知R=50Ω，ω=100rad/s，L=10mH，C=0.01F，求电压相量和其他电流相量。解：2/6/202331第4章正弦交流电路的分析4.5正弦交流电路的相量图求解法1.正弦量可以用相量图表示。2.正弦交流电路中的欧姆定律可用相量形式表示：3.KCL和KVL的相量形式：4.5.1用相量图分析正弦电路的主要依据2/6/202332第4章正弦交流电路的分析4.5.2用相量图求解正弦电路的方法1．参考相量的选择：（1）对于串联电路，常选电流为参考相量。（2）对于并联电路，常选电压为参考相量。（3）对于混联电路，参考相量灵活选择，常选末端电压或电流为参考相量。2．用相量图求解电路的方法：（1）根据电路结构及已知条件选择参考相量。（2）以参考相量为基准，依据各元件或电路的电压与电流的相位关系画出其余的电压电流相量图。（3）运用电路的二个基本定律（相量形式的欧姆定律和KCV、KVL定律）及三角函数求解电路。2/6/202333第4章正弦交流电路的分析例4.7应用相量图求右图（a）所示电路中电压表的读数。解：设RLC串联电路的参考相量为：画出相量图如图（b）所示。根据图（b）中所示的直角三角形关系，可得电压表读数：2/6/202334第4章正弦交流电路的分析例4.8应用相量图求下图（a）所示电路中R支路电流的有效值。解：设RLC并联电路的参考相量为：画出相量图如图（b）所示。根据图（b）中所示的直角三角形关系，可得R支路的电流为：2/6/202335第4章正弦交流电路的分析4.6复杂正弦交流电路1.极坐形式Z与Y的等效互换4.6.1阻抗与导纳的等效互换因为：所以：2/6/202336第4章正弦交流电路的分析2.代数形式Z与Y的等效互换因为：所以：2/6/202337第4章正弦交流电路的分析例4.9电路如下图（a）所示，已知，R=1Ω，XL=8Ω，XC=8.125Ω，（1）求电路的总导纳Y，（2）求电路的总电流，（3）求电容中的电流。解：将图（a）中的RL串联支路变换为GB并联电路，得到图（b）电路.2/6/202338第4章正弦交流电路的分析总导纳：总电流：电容支路电流：2/6/202339第4章正弦交流电路的分析4.6.2阻抗串并联电路的计算1.阻抗的串联总阻抗：2/6/202340第4章正弦交流电路的分析2.阻抗的并联总阻抗：总导纳：2/6/202341第4章正弦交流电路的分析例4.10求如图4.22所示电路的输入阻抗。已知：解：总阻抗：2/6/202342第4章正弦交流电路的分析＊4.6.3复杂电路的计算计算方法：运用欧姆定律和基尔霍夫定律的相量形式分析。运用在相量形式下的各种解题方法。（如：支路电流法、节点电压法、网孔电流法以及叠加定理、戴维南定理、诺顿定理和电源的等效变换等）。注意点：在原定律或定理理论的基础上，必须把所有的电流用电流相量表示，把所有的电压用电压相量表示，把所有的元件阻值用复阻抗来表示。这样，直流电路的各种解题方法也可以用来对正弦交流电路进行分析计算。2/6/202343第4章正弦交流电路的分析例4.11电路如图4.23所示，列出a、b点的节点电压方程和3个网孔方程。解：设c点为参考节点，对于a点和b点的节点电压方程为：2/6/202344第4章正弦交流电路的分析3个网孔电流方程为：同理，可以也可用其它的几种方法解题。2/6/202345第4章正弦交流电路的分析4.7正弦电路中的功率任一单口无源网络的瞬时功率为：4.7.1瞬时功率恒定分量交流分量2/6/202346第4章正弦交流电路的分析4.7.2有功功率有功功率：又叫平均功率，是瞬时功率p在一个周期内的平均值：符号：P单位：W电感和电容都是储能元件，只进行能量的转换，不消耗功率，因而电感和电容元件的平均功率为0。一个单口无源网络的平均功率就是电阻上实际消耗的功率，电阻将电能转换为其他形式的的能量而做功，故平均功率又称为有功功率，单位为瓦(W)。2/6/202347第4章正弦交流电路的分析4.7.3无功功率无功功率：是电路中电感或电容元件与电源进行能量交换的量值。符号：用Q表示单位：泛（var）。2/6/202348第4章正弦交流电路的分析4.7.4视在功率视在功率：由网络端口的额定电流和额定电压的乘积决定。符号：用S表示。单位：伏安（V·A）。有功功率、无功功率和视在功率三者之间的关系：2/6/202349第4章正弦交流电路的分析4.7.5复功率复功率：便于将相量法引入正弦交流电路的功率计算。复功率的符号：单位：伏安（V·A）。定义：2/6/202350第4章正弦交流电路的分析例4.12已知：阻抗为：最后可得：有功功率为P=125W，无功功率为Q=125var，视在功率为S=177V·A。复功率为：电流的共轭为：电流相量为：解：求:有功功率、无功功率和视在功率。两端的电压为：2/6/202351第4章正弦交流电路的分析4.7.6功率因数的提高方法：对于感性负载，通常采用并联补偿电容的方法来提高功率因数。例4.13

电路如下图(a)所示，电源电压U为220V，工作频率为50Hz，负载为感性（等效为RL串联电路），负载的有功功率为P=10kW，功率因数cosθ1=0.6，如将功率因数提高到cosθ2=0.9，如图（b）所示，求并联在负载两端的电容器C的大小。2/6/202352第4章正弦交流电路的分析解：设:并联电容之前，cosθ1=0.6，θ1=arccos0.6=53.13º。则有并联电容之后，cosθ2=0.9，θ2=arccos0.9=25.84º。其相量图如上图所示。则有2/6/202353第4章正弦交流电路的分析则有电容并联补偿后，有功功率不变，无功功率减少，线路电流减少，使线路损耗降低。同时视在功率也减少，负载所需要的无功功率由电容提供了。而对RL支路，并联电容器前后，其电流、功率因数、有功功率及无功功率都不变。2/6/202354第4章正弦交流电路的分析4.8串联谐振电路谐振现象:

指是在含有L和C的单口网络中，当出现端口电压与电流同相，电路呈纯阻性时所发生的一种特殊现象。谐振条件:

电路的总阻抗为纯电阻，即：电路的电抗为0。

Z=R，或

X=0。4.8.1谐振现象与谐振条件2/6/202355第4章正弦交流电路的分析RLC串联谐振电路：或谐振频率谐振角频率谐振条件：电路总阻抗：2/6/202356第4章正弦交流电路的分析4.8.2串联谐振时电路的特点1.串联谐振时，电路的总阻抗最小，且等于R，为纯阻性。2.串联谐振时，在外加电压不变的情况下，电路的电流最大，且与总电压同相。3.串联谐振时，电感上的电压与电容上的电压大小相等、方向相反，且为电源电压的Q倍。4.谐振时，电感与电容进行完全的能量交换。2/6/202357第4章正弦交流电路的分析4.8.3串联谐振电路的品质因数谐振电路的品质因数：工程中简称为Q值，是反映谐振电路性能的一个物理量。Q值的大小：常用谐振电路的特性阻抗ρ与电路中的电阻R的比值来确定。ρ：特性阻抗是指RLC电路谐振时的感抗或容抗：或2/6/202358第4章正弦交流电路的分析例4.14电路如右图所示，电路已处于谐振状态，已知U=10V，L=1H，C=25μF，R=10Ω，（1）求电路的谐振角频率ω0，（2）求I，UL，UC，UR，（3）求品质因数Q。解：因电路已处于谐振状态，总电流与总电压同相，所以总阻抗的虚部为0，即X=0。2/6/202359第4章正弦交流电路的分析2/6/202360第4章正弦交流电路的分析4.9并联谐振电路4.9.1谐振条件RLC并联谐振电路:2/6/202361第4章正弦交流电路的分析电路总导纳：

谐振角频率：

或：

谐振条件：

2/6/202362第4章正弦交流电路的分析4.9.2并联谐振时电路的特点1.并联谐振时，输入导纳最小，也就是阻抗最大。2.在外加电流不变的情况下，电路的端电压最大，且与总电流同相。3.并联谐振时，电感中的电流与电容中的电流大小相等、方向相反，且为电源电流的Q倍。4.谐振时，电感与电容进行完全的能量交换。2/6/202363第4章正弦交流电路的分析4.9.3并联谐振电路的品质因数并联谐振电路的Q是反映并联谐振电路性能的一个物理量。由Q=IL/I或Q=IC/I得:2/6/202364第4章正弦交流电路的分析Q值的定义：并联谐振电路的Q值的计算式与串联谐振电路的计算式正好相反。这是因为谐振电路的品质因数的大小是由谐振时电路中LC电磁振荡的总能量与电阻上消耗的能量的比值的大小来确定的，其一般定义式为:2/6/202365第4章正弦交流电路的分析LC储存的总能量为：R一周内消耗的能量为：所以，并联谐振电路的Q为：LC储存的总能量为：R一周内消耗的能量为：所以，串联谐振电路的Q为：在并联谐振电路中：在串联谐振电路中：2/6/202366第4章正弦交流电路的分析例4.15电路如右图所示，电路已处于谐振状态，已知：

I=2A，L=1H，C=1F，R=100Ω，（1）求谐振角频率ω0，（2）求U，IL，IC，IR，（3）求品质因数Q。解：因已处于谐振状态，所以B=02/6/202367第4章正弦交流电路的分析2/6/202368第4章正弦交流电路的分析4.9.4电感线圈与电容器并联谐振电路电感线圈与电容器并联谐振电路：将图（a）中的RL串联电路通过阻抗与导纳的等效变换，转换为图（b）理想状态的RLC并联谐振电路来分析。

2/6/202369第4章正弦交流电路的分析总导纳为:其中：谐振时导纳的虚部B为0：求解可得谐振频率为：当线圈的电阻R值很小，R«时，可使谐振电路的品质因数Q»1，此时的谐振角频率与理想状态的RLC并联谐振电路的角频率近似相等，即。其电路的谐振特性也与理想状态的RLC并联谐振电路相近。2/6/202370第4章正弦交流电路的分析本章小结1.复数的表示形式三种形式的相互转换关系是：复数的加减运算一般采用代数形式，复数的乘除运算一般采用指数形式或极坐标形式。复数的表示形式有3种：2/6/202371第4章正弦交流电路的分析2.正弦量的复数表示法相量与正弦量有一一对应的关系，一个旋转相量在纵轴上的投影就是一个正弦量。则对应的相量为若正弦量为3.欧姆定律的相量形式其中Z为复阻抗，不同的元件有不同的表示形式：在正弦交流电路中，欧姆定律的相量形式为:2/6/202372第4章正弦交流电路的分析

对于R元件，复阻抗：ZR=R。电压与电流的关系：瞬时值：u=Ri，有效值：U=RI，相位：φu=φi

。

对于L元件，复阻抗：ZL=jωL。电压与电流的关系：瞬时值：有效值：U=ωLI，相位：φu=φi+90º。

对于C元件，复阻抗：电压与电流的关系：瞬时值：有效值：I=ωCU

，相位：φi=φu+90º。2/6/202373第4章正弦交流电路的分析4.基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式为在正弦交流电路中，当各电压用电压相量表示，各电流用电流相量表示，各元件用复阻抗表示。则电路的分析计算方法与直流电路相同，只是直流电路对应的是代数方程的运算，而正弦交流电路对应的是复数的运算。5.阻抗和导纳导纳与阻抗之间的等效转换关系为:导纳与电流电压的关系为：阻抗与电流电压的关系为：阻抗：导纳：2/6/202374第4章正弦交流电路的分析6.RLC串联电路总电压为：等效阻抗为：阻抗三角形的各条边乘以电流可得电压三角形关系：电压三角形的各条边再乘以电流可得功率三角形关系：在复平面上构成阻抗三角形关系。2/6/202375第4章正弦交流电路的分析7.