弹性力学第二章第三节

弹性力学第二章第三节第一页，共二十二页，2022年，8月28日一.指标表示法1.指标符号

具有相同性质的一组物理量，可以用一个带下标的字母表示：如：位移分量u、v、w表示为u1

、u2、u

3，缩写为ui（i=1,2,3）坐标x、y、z表示为x1、x2、x3

，缩写为xi（i=1,2,3）。单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。第二页，共二十二页，2022年，8月28日应力分量：可表示为：缩写为：同理，应变分量可表示为：第三页，共二十二页，2022年，8月28日向量表示为三阶线性方程组可表示为缩写为第四页，共二十二页，2022年，8月28日2.爱因斯坦求和约定

在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标（简称哑标）例求和指标j求和指标i非求和指标称为自由指标第五页，共二十二页，2022年，8月28日说明：（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例：（2）哑标的有效范围仅限于本项。（3）多重求和可采用不同的哑标表示。例：（4）哑标可局部地成对替换。（5）自由指标必须整体换名。（6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，应声明对该指标不求和。例第六页，共二十二页，2022年，8月28日3.求导数的简记方法微分算符简记法例:求和约定第七页，共二十二页，2022年，8月28日第八页，共二十二页，2022年，8月28日4.克罗内克(Kroneker)符号第九页，共二十二页，2022年，8月28日具有如下性质(1)(2)也称换名算子同理:第十页，共二十二页，2022年，8月28日4.置换符号表示，有２７个分量。定义：１２３１２３２３１１２３３１２３２１２１３１３２有两个以上的指标相同置换符号用于简化公式的书写．第十一页，共二十二页，2022年，8月28日行列式：第十二页，共二十二页，2022年，8月28日二.弹性力学方程的指数表示(1)平衡(运动)微分方程第十三页，共二十二页，2022年，8月28日(2)几何方程第十四页，共二十二页，2022年，8月28日(3)物理方程第十五页，共二十二页，2022年，8月28日(4)边界条件力边界条件:位移边界条件:第十六页，共二十二页，2022年，8月28日1.迭加原理:

弹性体受几组外力同时作用时的解(应力、应变和位移)等于每一组外力单独作用时对应解的和.§2-8弹性力学的几个基本定义 (1) 迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件是线性的.说明: (2) 对大变形问题,几何方程将出现二次非线性项,平衡方程将受到变形的影响,迭加原理不再适用。 (3) 对非线弹性或弹塑性材料,应力应变关系为非线性,迭加原理不成立。 (4) 对非线性边界条件,迭加原理也失效。第十七页，共二十二页，2022年，8月28日2.解的唯一性定理：

在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。

无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。第十八页，共二十二页，2022年，8月28日3.圣维南原理:

提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。第十九页，共二十二页，2022年，8月28日第二十页，共二十二页，2022年，8月28日利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹性力学的解题范围。第二十一页，共二十二页，2022年，8月28日例