微积分中值定理与导数的应用

微积分中值定理与导数的应用1节1第一页，共七十页，2022年，8月28日1节2§4.1中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理第二页，共七十页，2022年，8月28日罗尔中值定理则

①在闭区间[a,b]上连续;②

在开区间(a,b)上可导;③

f(a)=f(b).若f(x)

满足：一、罗尔中值定理几何意义注：1.

定理的条件：三个缺一不可.2.

定理的应用：导函数零点(根)的存在问题.1111-111例1例2Rolle,(法)1652-17193第三页，共七十页，2022年，8月28日例1.验证f(x)x22x3在[-1,3]上满足罗尔定理条件，找出满足f

()=0的.注意到f(x)(x1)(x3),在[-1,3]上显然连续; f

(x)2x22(x1)

在(-1,3)上显然可导； f(1)f(3)0

存在1(1,3)

使f

(1)0解

故f(x)满足罗尔定理的条件其中a1

b3返回罗尔定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.4第四页，共七十页，2022年，8月28日例2

不求导判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数有几个实根、及其所在范围

解

而f

(x)是二次多项式仅有上述两个根

f(1)f(2)f(3)0

∴

f(x)在[1,2][2,3]上满足罗尔定理条件

∵f(x)在R上连续、可导且根据罗尔定理，有：罗尔定理是其他微分中值定理的基础，该定理对判别方程根的存在性特别有效.5第五页，共七十页，2022年，8月28日所以最值不可能同时在端点取得.使有证对于有

由极限的保号性6第六页，共七十页，2022年，8月28日7第七页，共七十页，2022年，8月28日拉格朗日中值定理则

使得①在闭区间[a,b]上连续;②

在开区间(a,b)上可导.若f(x)

满足：二、拉格朗日中值定理几何意义注：2.拉格朗日公式的等价形式：拉格朗日公式1.拉氏定理是罗尔定理的推广.Lagrange(法)1736-1813

8第八页，共七十页，2022年，8月28日分析定理的结论就转化为函数利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数.将变为使的问题.微分中值定理拉格朗日中值定理9第九页，共七十页，2022年，8月28日过街天桥上的微分中值定理北京的珠市口天桥三个公式：万有引力定律、质能公式、拉格朗日中值公式微分中值定理讲的是这么一个故事摘自“过路人的空间”

在一个遥远的曲线的世界，所有的一切都是一条条漂亮的紫色曲线。每条曲线的起止点a、b之间连接着一条漂亮的橙色直线。微分中值定理告诉我们：在每条紫色曲线上都有一个神奇的点，从它那里做出的绿色切线，与橙色的ab连线平行。ba10第十页，共七十页，2022年，8月28日它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数11第十一页，共七十页，2022年，8月28日证

例3

证明不等式

arctanx2arctanx1x2x1(x1x2)

设f(x)arctanx

arctanx2arctanx1x2x1

在[x1,x2]上应用拉格朗日定理，有

如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.12第十二页，共七十页，2022年，8月28日例4证由上式得设由

关键

满足拉格朗日中值定理的条件,证明函数不等式的惯用手段！13第十三页，共七十页，2022年，8月28日推论2设f和g

在区间I上可导，且,则在区间I上f(x)和g(x)只差一个常数，即是I上的常值函数.推论1设f(x)在区间I上可导，且,则f(x)例5.证明：证明函数恒等式的惯用手段！14第十四页，共七十页，2022年，8月28日注意AB的斜率切线斜率15第十五页，共七十页，2022年，8月28日柯西中值定理①在闭区间[a,b]上连续;②

在开区间(a,b)上可导;若函数f和g满足：③

g’(x)≠0,x∈(a,b).则

使三、柯西中值定理几何意义注：几何意义：考虑参变量方程v=f(x)u=g(x)例6.

设函数f在区间[a,b](a>0)上连续,在(a,b)上可导，则存在∈(a,b),使Cauchy(法)1789-185916第十六页，共七十页，2022年，8月28日

前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了

现在对两个给定的函数

f(x)、g(x),构造即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数

分析上式写成

用类比法17第十七页，共七十页，2022年，8月28日拉格朗日中值定理柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之间的关系；f()=0.罗尔定理问题：证明存在∈(a,b),使得H(a,b,)=0化为求根问题将a,b与分离，找匹配形式18第十八页，共七十页，2022年，8月28日与题设矛盾！例7*.

设p(x)

是一个多项式,且方程p'(x)=0

没有实根，证:则方程p(x)=0

至多有一个实根，且这个根的重数为1.1)设p(x)有两个实根x1,x2，且x1<x2.多项式函数p(x)显然在[x1,x2]上满足罗尔定理的条件，故存在∈(x1,x2)使得p()=0.与题设矛盾！2)又设p(x)有一个k(k≥2)次重根x0.则故所以19第十九页，共七十页，2022年，8月28日§4.2洛必达法则一、0/0型未定式二、∞/∞

型未定式三、其他未定式L’Hospital法国数学家(1661-1705)20第二十页，共七十页，2022年，8月28日则注：1.此法可推广到其他各类0/0型函数极限.①③②

f和g在某Uo(x0)内都可导且；若（A也可以是∞,±∞）一、0/0型未定式极限2.此法可以与等价代换、换元法等方法结合使用.3.只要满足条件，可以反复、多次运用此法.洛必达法则21第二十一页，共七十页，2022年，8月28日例1.计算下列0/0型未定式极限：22第二十二页，共七十页，2022年，8月28日注：1.此法可推广到其他各类∞/∞

型函数极限.二、∞/∞

型未定式极限2.此法可与等价代换、换元法等方法结合使用.3.只要满足条件，可以反复、多次运用此法.则①③②

f和g在某Uo(x0)内都可导且；若（A也可以是∞,±∞）洛必达法则23第二十三页，共七十页，2022年，8月28日例2.计算下列∞/∞

型未定式极限：注：洛必达法则并非万能公式,应验证条件！24第二十四页，共七十页，2022年，8月28日三、其他未定式①型：②型：③型：例4.求求例5.化为0/0型或∞/∞型整理成1/0-1/0,经通分化为0/0型④数列形式未定式：化为e0·∞型(

)改求函数极限求例6.25第二十五页，共七十页，2022年，8月28日例7.解:(根据洛必达法则)①②(根据二阶导定义)26第二十六页，共七十页，2022年，8月28日§4.3函数的增减性

回顾：判断函数的单调性方法——定义法是否有其它（更简便的）办法判断函数的单调性？问题：27第二十七页，共七十页，2022年，8月28日定理

单调增加;单调减少.一、单调性的判别法28第二十八页，共七十页，2022年，8月28日证

拉格朗日中值定理(1)(2)

此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注29第二十九页，共七十页，2022年，8月28日例解定义域为问题如本例,函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调．那么，如何找这些具有单调性的区间？30第三十页，共七十页，2022年，8月28日例单调区间为31第三十一页，共七十页，2022年，8月28日单调区间的寻找方法：定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点．二、单调区间求法则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间32第三十二页，共七十页，2022年，8月28日例解定义域单调区间为33第三十三页，共七十页，2022年，8月28日例解单调区间为定义域34第三十四页，共七十页，2022年，8月28日区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,如,注不影响区间的单调性.单调增加.又如,内可导,且等号只在(无穷多个离散点)处成立,故内单调增加.35第三十五页，共七十页，2022年，8月28日f(x)在I上单调递增定理设f(x)在区间I上可导，则(减).(

)证明函数不等式的惯用手段！证明函数不等式的惯用手段！总结：§4.3函数的增减性例

讨论下列函数的单调性：f(x)在I上单调递增注意设f(x)在区间I上可导，则(递减).(

)且等号只在个别点处成立

36第三十六页，共七十页，2022年，8月28日例

证明证:设

∵当x>0时,故f在[0,+∞)单调递增；当x<0时,在(-∞,0]单调递减；即∴当x≠0时,有则f(0)=0.

例(另证).注意到及f′(0)=0.

37第三十七页，共七十页，2022年，8月28日定义

若函数f在某U(x0)有定义，且对一切xÎUo(x0)有则称f在x0处取得极大值,称点x0为极大值点.(小)(小)○·例：x3,x5x1,x2,x4注：极值

vs.最值1.局部vs.整体，2.极值不在端点，最值可以3.区间内的最值点是极值点多值vs.唯一极大值点：极小值点：非极值点：x6§4.4函数的极值38第三十八页，共七十页，2022年，8月28日极值的必要条件设f在U(x0)有定义,且在

x0可导.若点x0是f的极值点，则必有驻点注：极值点

vs.驻点1.可导的极值点是驻点,“可导”条件不可去，2.驻点不一定是极值点，例:f(x)=|x|;例：f(x)=x3.求极值点的步骤：①求不可导点、驻点②检查上述点左右的取值，根据极值定义做判断39第三十九页，共七十页，2022年，8月28日定理（极值的第一充分条件）设f(x)

在点x0

连续，在某

上可导，(1)若当时,当时，则x0

是

f

的极小值点；(2)若当时,当时，则x0

是

f

的极大值点；(3)若f在内不变号，则x0

不是

f

的极值点.（左减右增极小）（左增右减极大）40第四十页，共七十页，2022年，8月28日令f

(x)0

得驻点x1不可导点为x0

列表

f(x)

f

(x)无0↗↗↘0极大值x(0)01(1

)(01)解:例1.求函数的极值点与极值.即是极小值.41第四十一页，共七十页，2022年，8月28日(1)若则x0

是

f

的极小值点；设

定理（极值的第二充分条件）(2)若则x0

是

f

的极大值点；则若常无法判断,注:例1(续).判断x=1是否函数的极值点.例如，y=x3或x4，其中x0=0.42第四十二页，共七十页，2022年，8月28日设是方程的一解,若且则在(A)

取得极大值(B)

取得极小值(C)

在某邻域内单调增加(D)

在某邻域内单调减少提示得A练习利用方程,代入43第四十三页，共七十页，2022年，8月28日区间端点（区间内）极值点不可导点驻点最值点§

4.5

最大值与最小值，极值的应用问题已知：若

f在[a,b]上连续,则f

在[a,b]上有最大(小)值.问题：如何找出最大(小)值点?求f

在[a,b]上最值的步骤：①列出区间端点、区间内不可导点及驻点，求对应点函数值；②以上函数值之最大(小)者，即f在[a,b]上的最大(小)值。44第四十四页，共七十页，2022年，8月28日解:例1.求在

上的最大值与最小值.函数的驻点x1,不可导点为x0,

所以f在处取得最大值0，在处取得最小值.45第四十五页，共七十页，2022年，8月28日问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，例2.

解:设正方形的边长为a,每个小正方形的边长为x.而则盒子的容积为又所以为V(x)在区间内唯一驻点,所以为唯一的极大值点，此时盒子容积最大.46第四十六页，共七十页，2022年，8月28日问题?如何研究曲线的弯曲方向§

4.6

曲线的凹向与拐点47第四十七页，共七十页，2022年，8月28日§

4.6

曲线的凹向与拐点定义若函数f在区间I

上满足:(1)曲线总在曲线上点的切线的上方，则称f

在I

上上凹(凹)；(2)曲线总在曲线上点的切线的下方，则称f

在I

上下凹(凸).48第四十八页，共七十页，2022年，8月28日定理若函数f在区间I

上二阶可导，(1)若则f

在I

上上凹(凹)；(2)若则f

在I

上下凹(凸).定义曲线上凹、下凹的分界点称作拐点.注:1.二阶导为零、或二阶不可导的点可能是拐点.2.二阶导为零不一定是拐

点

，例：y=x4

,x0=0.49第四十九页，共七十页，2022年，8月28日

解

例1

求曲线yx42x31的凹向与拐点

y4x36x2

y12x212x12x(x1)

得x10

x21

令y0列表

所以曲线在(0)(1

)上是凹的,在(01)上是凸的.

y

yx(-,0)0(0,1)1(1,+)001(拐点)0(拐点)(01)和(10)是拐点

50第五十页，共七十页，2022年，8月28日

解

当x2时

y0y不存在

列表

因此曲线在(,2)上是凸的,在(2,)上是凹的,

拐点(2,0)

y

y

x

(-,2)2(2,+)不存在0(拐点)

例2

求曲线y(x

2)5/3

的凹向与拐点

51第五十一页，共七十页，2022年，8月28日上周内容回顾函数单调性单调递增：单调递减：（分界点:驻点、导数不存在的点）凹凸性与拐点凹：凸：拐点：两侧二阶导数异号（可疑拐点:二阶导数为0或不存在的点）52第五十二页，共七十页，2022年，8月28日上周内容回顾(1)极值可疑点:使导数为0

或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过符号不变为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值极值最值极值可疑点和边界点中验证过由负变正不是极值§

4.7函数图形的作法第五十三页，共七十页，2022年，8月28日点M与某一直线L的距离趋于0,曲线的渐近线定义.

若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C的渐近线.或“纵坐标差”思考：求曲线的渐近线？54第五十四页，共七十页，2022年，8月28日水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.(垂直于x轴的渐近线)(平行于x轴的渐近线)55第五十五页，共七十页，2022年，8月28日

斜渐近线

斜渐近线若则曲线56第五十六页，共七十页，2022年，8月28日注如果57第五十七页，共七十页，2022年，8月28日例求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.58第五十八页，共七十页，2022年，8月28日一、曲线的渐近线§

4.7函数图形的作法定义如果曲线y=f(x)上的点沿着曲线趋于无穷远时该点与直线L

的距离趋于0

则称L

为曲线的渐近线.1)若或称yb

为水平渐近线

称xc

为铅垂渐近线

2)若或称y=kx+b

为斜渐近线，

3)若其中，

注:水平渐近线是斜渐近线的特例.59第五十九页，共七十页，2022年，8月28日

解

因为所以x1是曲线的铅垂渐近线

因为所以yx1是曲线的斜渐近线

例1.

求曲线的渐近线

所以曲线没有水平渐近线

60第六十页，共七十页，2022年，8月28日函数作图基本步骤：1.求函数的定义域；3.求函数的某些特殊点，比如：4.确定函数的单调区间、极值点,凹向区间、拐点；5.考察渐近线；6.综合上述结果,列表并作图.与坐标轴的交点、不连续点、不可导点；二、函数图形的作法2.考察函数的奇偶性、周期性；61第六十一页，共七十页，2022年，8月28日例2.解:f的定义域为x≠0，且知f无不可导点.令得故函数图象过点与令=0,得驻点x=-2，令=0,得特殊点x=-3.f是非奇、非偶、非周期的连续函数.凹/减凹/增极小值点凹/减拐点凸/减++++0--+0---f(0,+∞)(-2,0)-2(-3,-2)-3(-∞,-3)x列表确定函数单调区间、凹向及极值点和拐点：62第六十二页，共七十页，2022年，8月28日f的图象过点：例2.解(续):由及得斜渐近线y=-2；由得铅垂渐近线x=0.补充函数图象上的点：根据以上结果绘制函数图象(左图).凹减凹增凹减凸减f(0,+∞)(-2,0)(-3,-2)(-∞,-3)x63第六十三页，共七十页，2022年，8月28日真实图象：草图：64第六十四页，共七十页，2022年，8月28日眼睛1.8m,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角最大)?例.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的解:

设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,驻点又唯一,因此观察者站在距离墙2.4m

处看图最清楚。65第六十五页，共七十页，2022年，8月28日定义

若函数f(x)可导，称f'(x)为边际函数.C'(Q)----边际成本,§4.8边际分析与弹性分析介绍R'(Q)----边际收益,例：设Q为产量.C=C(Q),

R=R(Q),

L=L(Q)为成本,收益,利润在

x=x0

处，若注：C'(100)/R'(100)/L'(100)的经济意义:当Q=10