第八章非线性系统

第八章非线性控制系统NonlinearControlSystem内容提要§8.1概述§8.2相平面图§8.3奇点和极限环§8.4非线性系统的相平面图分析§8.5非线性特性的描述函数§8.6用描述函数分析非线性系统§8.1概述典型非线性特性非线性系统的运动特点非线性系统的研究方法一、典型非线性特性(一)饱和非线性(Saturationnonlinear)输入近似饱和特性输出实际饱和特性M-Mt-t0输入0输出KKh-h(二)死区非线性(Deadzonenonlinear)一、典型非线性特性(三)间隙非线性(Backlashnonlinear)0输入输出Kb-b一、典型非线性特性(四)继电器型非线性输入输出M-M0(a)输出M-M0h-h输入(b)输入输出M-M0h-h(c)输出M-M0mh-mh输入h-h(d)(On-offnonlinear)当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统。一般地，非线性系统的数学模型可以表示为

其中f(0)和g(0)为非线性函数。

当非线性程度不严重时，可以忽略非线性特性的影响，从而可将非线性环节视为线性环节；当系统方程解析且工作在某一数值附近的较小范围时，可运用小偏差法将非线性模型线性化。

注意，对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，只有使用非线性的分析和设计方法，才能得到较为正确的结果。

要对系统进行高性能和高精度的控制，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器的设计。例如，为了获得最短时间控制，需对执行机构采用继电控制，使其始终工作在最大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力；这了兼顾系统的响应速率和稳态精度，需使用变增益控制器。

非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统分析和设计方法在非线性控制系统的研究中仍将发挥非常重要的作用

二、非线性系统的运动特点(一)稳定性与系统的结构和参数及系统的输入信号和初始条件有关。研究时应注意：1、系统的初始条件；2、系统的平衡状态。二、非线性系统的运动特点tE0e(t)(二)系统的零输入响应形式某些非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态有关。非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。二、非线性系统的运动特点(三)极限环（自激振荡）e(t)频率0振幅K′<0>0K

′K′=0K非线性弹簧M重物粘性阻尼器B系统微分方程：M+B+Kx+x=0K′3x..x.(四)频率响应系统进行强迫振荡实验时的微分方程是：M+B+Kx+x=PcoswtK′3x..x.频率响应具有硬弹簧的机械系统ωω00x123465K′>0具有软弹簧的机械系统ω0ω40x51326K′<0三、非线性系统的研究方法

相平面法(Phase-planetechnique)适用于一阶、二阶系统描述函数法(Describingfunctiontechnique)是一种等效线性化方法计算机仿真(Computersimulation)§8.2相平面图相平面法(Phase-planetechnique)是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究二阶系统。一、相平面图的基本概念二阶系统令x1=x,x2=x.以相变量x1和x2为坐标构成平面，称为相平面(phaseplane)。在相平面上，由(x1，x2)以时间为参变量构成的曲线，称为相轨迹(phasetrajectory)。ACBx1=xx2=x.二、相平面图的绘制对于二阶系统f(x,)x..x.=(x,)以x,为相变量，可得到相轨迹通过点的斜率x.x.x.=dxdx.f(x,)x.

(一)相平面图的特点1、对称性x.a.关于轴对称即f(x,)是关于x的奇函数。x.x.=f(x,)x.f(-x,)x.－x.f(x,)x.=f(-x,)x.－或b、关于x轴对称即f(x,)是的偶函数。x.x..f(x,-)x.x.=f(x,)x－x.f(x,)x.=f(x,-)x.或c、关于原点对称即f(x,)=-f(-x,-)x.x..x.=f(x,)x－x.f(-x,-)x.－普通点相平面上不同时满足=0和f(x,)=0的点。x.x.奇点相平面上，同时满足=0和f(x,)=0的点。x.x.2.奇点和普通点(一)相平面图的特点(一)相平面图的特点所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。在x轴上，所有点都满足=0。除奇点外相轨迹在x轴上的斜率为x.x.=dxdx.f(x,)x.

=∞3.相轨迹通过x轴的斜率(一)相平面图的特点在相平面的上半平面，系统状态沿相轨迹由左向右运动；在下半平面，系统状态沿相轨迹由右向左运动。系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。4.相轨迹移动的方向相轨迹方程(二)绘制相平面图的解析法x.=g(x)例8.1试绘制二阶系统的相平面图解：系统方程改写为积分得相轨迹方程xx.0x0图解法是通过逐步作图的方法，不必解出微分方程，而把结果直接描绘在相平面上。常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。在等倾线法中，首先用等倾线来确定相平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相轨迹曲线。(三)绘制相平面图的图解法——等倾线法(Isoclinemethod)

等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法，不需求解微分方程。对于求解困难的非线性微分方程，图解方法显得尤为实用。

基本思想：用有限段短的直线逼近相轨迹，而这些短线的斜率等于相应位置的相轨迹的斜率。先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。所有相轨斜率常量的点，构成了等斜率线即等倾线。相轨迹的斜率方程为当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为a。取a为若干不同的常数，即可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率为a的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。

x.=dxdx.f(x,)x.

等倾线方程为相轨迹的绘制过程如下：

1.在相平面画等傾线（实线）。2.在等倾线上画矢量，表示相轨迹在通过该等傾线时的方向，矢量的斜率等于给定相轨迹的斜率a。3.由初始点出发，按矢量方向作一条小线段，并与相邻一条等倾线相交；由该交点起，并按该交点矢量方向作一条小线段，再与其相邻的一条等倾线相交；循此步骤依次进行，就可以获得一条从初始点出了，由各小线段组成的折线，最后对该折线作光滑处理，即得到所求系统的相轨迹。

设系统方程为得等倾线方程：令=a

dxdx./x.a=-1a=-1.2a=-1.4a=-1.6a=-1.8a=-2a=-2.5a=-3a=-4a=-6a=-11a=9a=4a=2a=1a=0.5a=0a=-0.2a=-0.4a=-1xABCDE改写为：例8.2xx.解：

+a+x=0x..x.

-

a+x=0x..x.x.>0x.<0的相平面图求

+a||+x=0x..x.上半平面的等倾线方程：x.1a+a=-x线性二阶系统的轨迹特征根：相轨迹方程等倾线方程即等倾线是通过原点的直线。(1)0＜x＜1jωσ两个实部为负的共轭复根相轨迹(2)0＞x＞-1两个实部为正的共轭复根jωσ相轨迹

(3)x＞1两个负实根jωσ相轨迹(4)x＜-1两个正实根σjω相轨迹(5)x＝0两个实部为零的共轭复根jωσ相轨迹

xx.两个异号实根jωσ(6)相轨迹xx.相轨迹的斜率可表示为x.x.=dxdf(x,)x.

.x.=f(x,)x.在奇点处，相轨迹的斜率不确定，即同时满足x.=0f(x,)x.=0四奇点和极限环1.奇点(Singularpoint)线性二阶系统的奇点（1）a>0且a2-4b<0，两个实部为负的共轭复根，相轨迹奇点为稳定的焦点。（2）a<0且a2-4b<0两个实部为正的共轭复根，相轨迹奇点为不稳定的焦点。（3）a>0且a2-4b≥0两个负实根，相轨迹奇点为稳定的节点。（4）a<0且a2-4b≥0两个正实根，相轨迹奇点为不稳定的节点。（5）a=0，一对虚根，相轨迹奇点为中心点。（6）b<0，正负实根各一个，相轨迹奇点为鞍点。

对于非线性系统的各个平衡点，若描述非线性过程的非线性函数解析时，可以通过平衡点处的线性化方程，基于线性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附近相轨迹的运动形式。当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，则奇点类型决定该区域系统运动的形式。若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点位于其它区域，则称为虚奇点。

（2）奇线

当非线性系统存在多个奇点时，奇点类型只决定奇点附近相轨迹的运动形式，而整个系统的相轨迹，特别是离奇点较远的部分，还取决于多个奇点的共同作用，有的会产生特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区域划分为内部平面和外部平面两部分。

极限环是非线性系统中的特有现象，它只发生在非守恒系统中，产生的原因是由于系统中非线性的作用，使得系统能从非周期性的能源中获取能量，从而维持周期运动形式。

根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为三种类型：(1)稳定极限环(2)不稳定极限环极限环内外的相轨迹曲线都从极限环发散。xx.极限环内外的相轨迹曲线都收敛于该极限环。xx.(3)半稳定极限环极限环分割的两个区域都是稳定的，或都是不稳定的。xxx.x.三、由相轨迹求时间响应曲线根据系统的相轨迹可以采用图解计算的方法，从相轨迹逐步求出时间信息，从而获得系统的时间响应曲线x(t)。这里我们介绍一种称为按平均速度求时间信息Dt的方法。由x.=dxdtx.=dxdtΔxBCΔxCDΔtCDΔtABΔtBCtΔxABxABCDxABCDΔxABΔxCDΔxBCx.CDx.BCx.ABx.非线性系统的相平面分析一、继电型控制系统的分析根据非线性的线性分段情况，把相平面分成几个区域。在各区域内，求出相应的线性微分方程，做出各自的相平面图。根据连续性，将相邻区域的相轨迹彼此连接成连续曲线，即得非线性系统的相平面图。Ks(Ts+1)+M-Mmecr元件特性为：当e＞0时,m=M;当e＜0时,m=-M.因此分界线为直线e=0。它把相平面分成两个线性区Ⅰ区、Ⅱ区。

eⅠe.ⅡA0

eⅠe.ⅡA1A2在区域Ⅰ内T+=-KMe..e.等倾线方程：e.-KM/Ta+1/T=e>0,m=M，系统方程为：在区域Ⅱ内T+=KMe..e.e<0,m=-M系统方程为：与T+=-KMe..e.其相平面图对称于原点比较,M-MΔ-Δem若继电元件有滞环特性在＞0时的平面内，分界线为e=+D。在＜0时的平面内，分界线为e=-D。它们把相平面分为两部分。e&e&eⅠⅡe.其右半平面，系统在+M信号作用下，系统方程为：T+=-KMe..e.相轨迹为曲线族Ⅰ。其左半平面，系统在-M信号作用下，系统方程为：T+=KMe..e.相轨迹为曲线族Ⅱ。M-MΔ-Δem若继电元件有死区当e＞D,m=+M当e＜-D,m=-M当-D＜e＜D,m=0元件特性为：分界线为e=+D和e=-D，它们将相平面分为三个区域eⅠⅡe.Ⅲ在区域Ⅰ内T+=-KMe..e.在区域Ⅱ内T+=KMe..e.在区域Ⅲ内T+=0e..e.相轨迹斜率为：§8.3非线性特性的描述函数一、谐波线性化描述函数(describingfunction)是对非线性特性在正弦信号作用下的输出，进行谐波线性化处理之后得到的，表达形式上类似于线性理论中的幅相频率特性。描述函数法对系统的基本假设是：1、可归化为下图所示的典型结构。2、非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。3、线性部分的低通滤波效应较好。非线性特性G输入信号x(t)=Asinwt

ω0ωω3ω5ω7Y方波信号的富里叶级数Mxy0yM0ππ2ωt0ππ2ωtx推广到一般情况，设输出信号可以表示为富氏级数形式:式中若非线性特性具有奇对称特性，则A0=0式中二、描述函数(describingfunction)非线性元件输出信号y(t)中的一次谐波分量y1(t)与正弦输入信号x(t)的复数比，称为非线性元件的描述函数(describingfunction)，其数学表达式为式中：A为非线性元件正弦输入信号的振幅；Y1为非线性元件正弦输入信号中一次谐波分量的振幅；f1为非线性元件正弦输入信号中一次谐波分量的角位移。三、典型非线性特性的描述函数(一)饱和非线性输出y(t)k输入x(t)s-s0π2π0π-φ1φ1x(t)Xωtx(t)=Xsinwt

π2π0φ1π-φ1ksy(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

饱和非线性输出由于饱和非线性是原点单值奇对称所以，A0=0，A1=0从图中可得饱和非线性的描述函数为0x(t)Xπ2ππ-φ1φ1ωtx(t)=Xsinwt

输出y(t)k输入x(t)Δ0-Δkπ2π0φ1π-φ1y(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

(二)死区非线性

非线性的输出死区非线性的描述函数为mhM-M-mhh-hy(t)x(t)0π2π0x(t)Xωtx(t)=Xsinwt

j3j1j2j4π2πy(t)ωty(t)y1(t)=Y1sin(wt+j1)0j3j4j2j1(三)具有死区和滞环的继电器型非线性非线性的输出式中：由于具有死区和滞环的继电器特性是对原点多值奇对称，它在正弦输入作用下的输出量y(t)既不是奇函数又不偶函数，所以A1和B1都必须计算，但A0=0于是具有死区和滞环继电器的描述函数为§8.6用描述函数分析非线性函数非线性系统的典型结构非线性系统的稳定性分析非线性系统自激振荡的稳定性分析非线性系统结构图的简化对非线性系统进行分析，首先考虑的是稳定性和自激振荡问题。描述函数法对于系统的稳定性、产生自激振荡的条件、自激振荡的振幅和频率的确定、以及如何抑制自激振荡等问题，都能够给出比较符合实际的解答。一、非线性系统的典型结构一个非线性环节的描述函数只是表示了该环节在正弦输入下，环节输出的一次谐波分量与输入的关系。如果这个系统发生了自激振荡，我们总可以假定非线性环节输入端的振荡是接近于正弦波的形式。如图所表示的非线性控制系统，其中G代表系统的线性部分。非线性特性G二、非线性系统的稳定性分析若已知系统中非线性特性的描述函数N(X)和线性部分的频率特性G(jw)，则系统的特征方程为1+N(X)G(jw)=0或N(X)G(jw)=-1可改写为G(jw)=N(X)-1线性系统的特征方程为G(jw)=-1根据复平面内系统的开环频率特性G(jw)曲线与临界点(-1，j0)的相对位置，应用乃奎斯特(Nyquist)稳定判据，可以分析线性控制系统的稳定性。在同一复平面内画以w为参变量的系统线性部分的频率特性G(jw)曲线和以X为参变量的非线性特性的负倒描述函数-1/N(X)曲线，根据两者的相对位置，应用乃奎斯稳定性判据，可以分析谐波线性化后非线性系统零平衡状态的稳定性。可以把乃奎斯特稳定判据，推广应用于谐波线性化的非线性系统，需要修改的仅仅是将复平面内的临界点(-1，j0)扩展为临界曲线-1/N(X)曲线。利用乃奎斯特稳定性判据，如果-1/N(X)曲线不被G(jw)曲线包围，则系统的零平衡状态是稳定的。ω=0+Xω→∞ReImG(jw)ω=0-1N(X)(a)0如果-1/N(X)曲线被G(jw)曲线全部包围或部分包围，则系统状态在干扰作用下，不能回到零平衡状态，所以系统就是不稳定的。

Xω→∞0ReImG(jw)ω=0-1N(X)(b)AA"ω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0X-1N(X)A′B′BB"(c)三、非线性系统自激振荡的分析如果非线系统的负倒描述函数-1/N(X)曲线与线性部分频率特性G(jw)曲线相交，交点处的参数—振幅Xi和频率wi使系统的特征方程成立，非线性系统可能产生Xisinwit的自激振荡。AA"ω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0X-1N(X)A′B′BB"(c)在复平面内G(jw)曲线与-1/N(X)曲线有交点，在交点处，沿A增加的方向-1/N(X)曲线由不稳定区进入稳定区，则该交点处的代表的是稳定周期运动（自激振荡）；反之，该交点处的代表的是不稳定周期运动。

分析非线性系统自激振荡稳定性的判据为：例8.4解：Xω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0-2-1N(X)8Mπ,ω=1X=4s(s+1)2

M-My(t)x(t)-