第二节事件的概率

第二节概率1

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！2现在，让我们看一个的故事从死亡线上生还

本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”是一个随机事件，且抽到“生”和“死”的可能性各占一半，也就是各有1/2概率.但由于国王一伙“机关算尽”，通过偷换试验条件，想把这种概率只有1/2的“抽到死签”的随机事件，变为概率为1的必然事件，终于搬起石头砸了自己的脚，反使犯臣得以死里逃生.3

了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？下面举几个例子.

例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.4

了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.5

了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.6

对一个随机事件A，我们用一个数

P(A)来表示A发生的可能性大小，称之为随机事件A的概率。

那么，怎么来规定

P(A)的大小呢？

7定义在相同的条件下进行n次试验,其中事件A发生的次数nA称为频数,比值nA/n称为频率,记为fn(A).

既然概率

P(A)度量了随机事件A发生的可能性大小，可以预料，在大量的重复试验中，若P(A)较大，则频率也较大;反之，若P(A)较小，则频率也较小，而且概率P(A)应与频率有许多相似的性质。下面我们先对频率的性质进行一番考察。一、频率(概率与频率的关系)8抛硬币实验试验者德摩根蒲丰K．皮尔逊K．皮尔逊罗曼诺夫斯基2048404012000240008064010612048601912012396990.51810.50690.50160.50050.4923试验次数出现正面的次数出现正面的频率当常常会不一样不同时，得到的)(Afnn9这表明频率具有一定的随机波动性 因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值．我们称这一定义为概率的统计定义．这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性．10频率具有如下性质

1．非负性2．规范性3．有限可加性若是一组两两互不相容的事件则11根据上述频率稳定性的讨论，似乎可以提出这样的猜想，即当n足够大时，fn(A)与

P(A)应充分接近.

在不少实际问题中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值.这种用频率估计概率的方法称为频率方法.事件的频率在一定程度上能反映事件发生的概率，下面根据频率的基本特性，给出概率的公理化定义.12 设E是随机试验，W是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(•)满足下列条件：概率的公理化定义1．非负性2．规范性3．可列可加性13

数据引自L.Brillouin,ScienceandInformationTheory,NewYork,1956

例2

英文字母被使用的频率相当稳定.

字母使用频率的研究，对键盘设计、铅字铸造、信息编码、密码破译等方面都是十分有用的。14三、概率的性质

由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质.下面我们给出概率的一些重要性质.性质1

证利用概率的可列可加性及规范性，有

再由概率的非负性，15性质2(有限可加性)证由可列可加性及性质1，得

16性质3证特别地，对立事件的概率有事件组，则有17性质3证特别地，对立事件的概率有事件组，则有Ａ18性质4证由可加性知,移项即得结论.19推论2.对任意事件A,有注若没有条件则公式应改为性质4证由可加性知,移项即得结论.20性质5(加法公式)证明对任意两个事件A,B,有由性质4得

推论：一般地，21推广：三个事件的加法公式证明留作练习.一般地,22例3解23例4解(1)A发生但B不发生的概率为(2)B发生但A不发生的概率为(3)A与B至少有一个发生的概率为24例5解25四、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果

假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei

比任一其他结果例如ej

更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.e1,e2,…eN

,26常常把这样的试验结果称为“等可能的”.试验结果e1,e2,…，eN

你认为哪个结果出现的可能性大？2723479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1～10.把球搅匀，闭上眼睛，从中任取一球.

因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.

28称这种试验为古典概型.

若随机试验满足下述两个条件：

(1)它的样本空间只有有限多个样本点；

(2)每个样本点出现的可能性相同.称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法

.定义(概率的古典定义)在古典概型下，若所有基本事件总数为n，而事件A包含了其中的m个(称为有利场合数)，那么事件A的概率定义为

此公式由法国数学家Laplace于1812年给出，当时作为概率的一般定义，事实上它只适合古典概型。29求概率问题转化为计数问题

.排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理1.加法原理设完成一件事有m类方式，第一类方式有n1种方法，第二类方式有n2种方法,…；

第m类方式有nm种方法,则完成这件事总共有n1+n2+…+nm

种方法.特点:一步完成30例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3

+2

种方法回答是31基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；

第m个步骤有nm种方法,特点：多步完成例如,A地到B地有两种走法,B地到C地有三种走法,C地到D地有四种走法,则A地到D地共有种走法.32特别,k=n时称全排列排列、组合的定义及计算公式1、排列:从n个元素中取k个不同元素的排列数为：阶乘若允许重复,则从n个元素中取k个元素的排列数为：注意332、组合:从n个元素中取k个元素的组合数为：推广:n个元素分为s组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rs的分法总数为34例1在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任取7张，求其恰好排列成ability的概率。

设A={抽取的7张卡片恰好排列成ability}，

解古典概率计算举例35例2某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解问：错在何处？计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同.从10个数字中取5个不同数字的排列允许重复的排列551010P=p551010C=p36例3设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种非还原抽样,称超几何分布.次品正品M件次品N-M件正品解：设A={恰好取得k件次品}思考:若是还原抽样呢?37例4全班有50个学生，问至少有2人生日相同的概率为多少？（设一年有365天）解：设A={至少有2人生日相同}基本事件总数:事件A包含的基本事件总数:概率之大有点出乎意料.从下表中看出,当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.38200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994有人同生日的概率人数39例5

一个家庭中，若有两个孩子，问恰都是男孩的概率多大？假定男女出生率相同。

解以下解法是错误的:样本空间取为{两男,两女,一男一女},所以p

=

1/3.注意：在古典概型中，样本空间中的基本事件必须是等可能的。

错误在于样本点不是等可能的.

正确的解法是:样本空间取为{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.

所以p

=

1/4.40四只猫的性别M：很容易作出错误的概率计算。这儿有两只猫已住在一起。猫先生：亲爱的，我们的新房舍中有几只小猫？猫太太：你不会数呀？四只，你这个笨蛋。猫先生：几只雄猫？猫太太：很难说，我也不知道呢。猫先生：四只猫都是雄的不太可能。猫太太：也不可能四只都是雌猫。猫先生：也许只有一只是雄猫。猫太太：或许只有一只是雌猫。课外读物41M：猫先生的理由对不对？让我们来检验它的理论。用B表示雄猫，用G表示雌猫，这就很容易列出十六种同等可能的情况。M：在十六种中只有两种是所有猫都具有同样性别，所以，这种情况发生的概率是2/16，或1/8。猫先生认为这种情况具有最低概率是对的。M：现在，让我们检验一下2~2分配，猫先生认为这是可能性最大的一种。这种情况有六次，所以其概率是6/16，或3/8。这显然比1/8高。猫先生也许是对的。

猫先生：这也不是很难想出来的,亲爱的。每只猫是雄是雌的机会是一半对一半,所以很明显,最有可能的结果是两个雄的,两个雌的。你还不能把它们算出来吗？42M：可是，我们还有一个更大可能的情况要考虑：3~1分配，由于这种情况有8次，其概率是8/16，或1/2。这就比2—2分配高。我们大概是搞错了吧？一家四个孩子最可能的情况是三个孩子是一种性别，另一孩子是另一种性别，而不是两个男孩，两个女孩，这一点使大多数学生感到惊讶。M：如果我们算出的概率是对的，它们相加应等于l。加一加果然为1。这就向我们说明，三种情况都会发生，猫先生猜错了，最可能的情况是3~1，而不是2~2。

在班级里，用4个硬币反复抛掷很容易作出试验。将每次抛掷结果记录下来。在抛了100次之后，差不多有50次是3~1组合，而2~2组合大约是33次。

43在做了这个练习之后，大家可以考虑在一个有五个孩子或六个孩子的家庭中不同性别组合的概率。—个类似的问题是关于一手桥牌中四种花色的最可能分布，其答案也同样违反直觉。最不可能的情形自然是拿到同一花色的13张牌（你拿到这手牌的可能性是158753389899分之一）。可是最可能出现的情况是什么呢？

即使是很有经验的桥牌手也往往猜想答案是4，3，3，3。这就错了。最可能的一手牌是4，4，3，2。你可以期望这类牌大约要五圈拿到一次；而4，3，3，3这种分布则大约要每九圈或十圈才能拿一次。就是5，3，3，2这种分布也可能是每六圈拿一次。44至少有两张同号的情况比较复杂，但它的反面即没有同号的概率比较容易求，例6

某一副扑克牌13张黑桃，有放回取3次，求至少有两张同号的概率.分析解45例7

在12000的整数中任取一数，求取到的数（1）能被6或8整除的概率；（2）既不能被6也不能被8整除的概率；（3）能被6整除而不能被8整除的概率.设A—取到的数能被6整除；解B—取到的数能被8整除.46例7

在12000的整数中任取一数，求取到的数（1）能被6或8整除的概率；（2）既不能被6也不能被8整除的概率；（3）能被6整除而不能被8整除的概率.47例8假设电话号码为八位数（第一位数不为0），解引进事件：则易见所以48THTHHHTT例9将一枚硬币抛二次（2）解（1）49先给出一个记号，它是组合数的推广，规定

50例10设袋中有只4白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次摸出2只球（即第一次取一球不放回袋中，第二次再从剩余的球中再取一球，此种抽取方式称为无放回抽样）.试求（1）取到的两只球都是白球的概率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；

（3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率

解记51(1)52（3）类似于（1），可求得（2）53例11将个球随机地放入个盒子中去，盒子的容量不限，试求（1）每个盒子至多有一只球的概率；（2）个盒子中各有一球的概率

解将个球放入个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入个盒子中的任一个盒子，故共有种不同的方法．54个盒子可以有种不同的选法。对选定的个

盒子，每个盒子各有一个球的放法有种。由乘

法原理，共有种放法，因此所求概率为

(1)每个盒子中至多只有一只球,共有

种不同的方法，因此所求的概率为55例12：袋内有a个白球与b个黑球，每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，连续取k个球.