第四章静定结构位移计算

第四章静定结构位移计算4-1概述

一、结构的位移(DisplacementofStructures)A位移转角位移线位移A点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角P一、结构的位移(DisplacementofStructures)AP引起结构位移的原因制造误差等荷载温度改变支座移动还有什么原因会使结构产生位移?为什么要计算位移?4-1概述

铁路工程技术规范规定:

二、计算位移的目的(1)刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。

最大层间位移<1/800层高。(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求三.刚体系虚位移原理刚体处于平衡的充分必要条件是：作用于刚体或刚体系的外力在任意虚位移上所做的总虚功恒等于零。

W=0应用：虚设可能位移求静定结构的约束力。虚位移：与外力无关的其他任何原因引起的，也可以是假想的。刚体体系：体系在位移的过程中，各杆件只发生刚体运动，不考虑材料应变；变形体系：体系在变形的过程中，不但各杆发生刚体运动，内部材料同时也产生应变。四.变形体虚功原理任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意虚位移时，外力所作虚功总和等于变形体系各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和。

W=WiW----体系的外力虚功；Wi----体系的内力虚功；单位荷载法：

在所求位移地点沿所求的位移方向虚设单位力FP=1，用这样一个虚设的单位平衡力系与给定位移建立虚功方程，求得位移。原理----变形体虚功原理4-3荷载引起的位移计算一.单位荷载法求k点竖向位移.4-3荷载引起的位移计算一.单位荷载法1.梁与刚架二.位移计算公式2.桁架3.组合结构4-3荷载引起的位移计算荷载作用下位移计算的步骤为：1.沿拟求位移Δ的位置和方向虚设相应的单位荷载FP=1；2.根据静力平衡条件，求出在单位荷载下结构的内力；3.根据静力平衡条件，求出在实际荷载下结构的内力FNP,FQP,MP练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.NPNi例:1)求A点水平位移一.单位荷载法二.位移计算公式

所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.三.单位力状态的确定2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角4-3荷载引起的位移计算BA(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)试确定指定广义位移对应的单位广义力。C(c)左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1(d)A试确定指定广义位移对应的单位广义力。

在杆件数量多的情况下,不方便.下面介绍计算位移的图乘法.4-4图乘法

刚架与梁的位移计算公式为：表达式图乘法应用条件：1.杆件为直杆，即杆轴为直杆；2.MP图中至少有一个弯矩图是直线图，3.截面抗弯刚度EI为一常数。这种用图和MP图两个图形相乘计算位移的方法就是图形相乘法。一、图乘法(对于等截面杆)(对于直杆)图乘法求位移公式为:图乘法的适用条件是什么?一、图乘法表达式将积分运算简化为图形的面积、形心和纵坐标的计算。应用图乘法时应注意以下两点：1.需满足三个应用条件，且纵坐标y0应取自于直线图形中；2.面积A与纵坐标y0在基线的同一侧时，其乘积Ay0取正号；面积A与纵坐标y0在基线的不同侧时，其乘积Ay0取负号。例.试求图示梁B端转角.解:MPMi为什么弯矩图在杆件同侧图乘结果为正?例.试求图示结构B点竖向位移.解:MPMi二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法Ch二次抛物线图（

）图BAq例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角解:三、图形分解求MPMi三、图形分解求MPMi

当两个图形均为直线图形时,取哪个图形的面积均可.MP三、图形分解求Mi

取

yc的图形必须是直线,不能是曲线或折线.能用

Mi图面积乘MP图竖标吗?三、图形分解求MPMi

例4.图示梁EI

为常数，求C点竖向位移。三、应用举例l/2ql/2MP三、图形分解求MPMi例题4-9三、图形分解求C截面竖向位移MPMi四、图乘法小结1.图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。3.计算结果为正，表示位移方向与单位力方向相同。1.当两个图形均为直线图形时,取哪个图形的面积均可.2.取

yc的图形必须是直线,不能是曲线或折线.3.如图形较复杂，可分解为简单图形.弯矩图的分解是叠加法做弯矩图的过程图形。4.纵坐标的杆件的同侧乘积为正；纵坐标的杆件的异侧乘积为负四、图乘法小结分段图乘1.图和MP图中，若一个是曲线图形，另一个是由几段直线组成的折线图形，则应分段图乘后再叠加计算；2.若杆件各段EI为不同常数，则应分段图乘，然后叠加计算。

例1.已知EI

为常数，求C、D两点相对水平位移。三、应用举例lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图

例4-11.已知EI

为常数，求铰C两侧截面相对转角。三、应用举例解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP

例4.图示梁EI

为常数，求C点竖向位移。三、应用举例l/2ql/2MP

已知：

E、I、A为常数，求。ABCPaD解：作荷载内力图和单位荷载内力图ABCPaDABC1aDK1K变形体虚功方程为:δWe=δWi

δWe=1ΔkC+R1C1+R2C2+R3C3δWi=0

其中:计算公式为:4-5静定结构支座移动时的位移计算

式中：Ci为实际状态的支座位移；

虚拟力状态中与Ci相对应的支座反力；支座反力在相应的支座移动Ci上所做的虚功，二者方向一致时乘积为正，反之为负。计算公式：计算步骤：1.虚设力状态；即单位广义力和支座反力2.由平衡条件求出虚设单位广义力引起的支座反力；3.代入位移公式（4-21）计算位移。例1：求CBAP=1解：构造虚设力状态CBAll解：构造虚设力状态()例2：已知l=12m,h=8m,,求如图(a)：设杆件的上边缘温度上升t1，下边缘上升t2，沿杆件截面厚度为线性分布，α为材料的线膨胀系数。上下边缘的温差由图(b)，杆件的轴线温度得若t0、△t、h沿每一杆长为常数则§4-6温度作用时的位移计算§4-6温度作用时的位移计算计算步骤：1.虚拟力状态；2.分别做图；3.计算t0和∆t04.代入公式计算位移例5-11试求图(a)所示刚架C点的竖向位移△C。各杆截面为矩形，截面高度h=60cm，α=0.00001℃-1。解：虚设力系作图和图，如图(b)、(c)得则1.功的互等定理:方法一第I状态2第Ⅱ状态由W1=W2先加广义力P1后再加广义力P2先加广义力P2后再加广义力P14-7线弹性体系的互等定理在线性变形体系中，I状态的外力在II状态位移上所做虚功，恒等于II状态外力在I状态位移上所做虚功。功的互等定理方法二由虚功原理2第II状态第I状态2.位移互等定理:2第II状态第I状态2第II状态第I状态单位广义力1引起，单位广义力2作用处沿广义力2方向的位移，恒等于单位广义力2引起，单位广义力1作用处沿广义力1方向的位移。-----位移互等定理2第II状态第I状态单位广义力是量纲为一的量；互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。如图示长l，EI

为常数的简支梁