第九章双变量回归与相关(简化版,正式)

1双变量回归与相关BivariateRegression&Correlation蒋红卫Email:JHWCCC@21CN.COM第9章2讲课内容：

第一节直线回归(重点)

第二节直线相关(重点)

第三节秩相关第六节两条回归直线的比较第七节曲线拟合3第2、第3、第4章介绍了单变量计量资料的统计描述与统计推断：P.13

例2-1：计算101名成年女子血清总胆固醇的平均指标与变异指标。P.51

例3-7：比较阿卡波糖胶囊(试验组)与拜糖苹胶囊(对照组)降低糖尿病人的空腹血糖值

有无差别。P.73例4-2：比较安慰剂组、降血脂新药2.4g

组、降血脂新药4.8g组、降血脂新药7.2g组降低患者的低密度脂蛋白含量有无差别。4在医学研究中常要分析两变量间或多变量间的关系：年龄与血压药物剂量与动物死亡率肺活量与身高、体重、胸围和肩宽等．．．5事物间的相关关系确定性关系两变量间的函数表达式

圆的周长与半径的关系：C＝2R

路程与速度、时间的关系：L＝ST

数学中X与Y的直线函数关系：Y＝a+bX

非确定性关系

两变量间存在关系，但未精确到可以用函数表达式来描述。

年龄与血脂的关系；身高与体重的关系；体重与体表面积的关系。6第一节直线回归LinearRegression7一、直线回归的概念“回归”是一个借用已久因而相沿成习的统计学术语。直线回归是分析成对观测数据中两变量间线性依存关系的方法。8生物遗传学上的“回归”

PearsonK(英,1857～1936)1903年搜集了1078个家庭人员的身高、前臂长等指标的记录，发现儿子身高(Y,英寸)与父亲身高间(X,英寸)存在线性依存关系：

=33.73+0.516X

但不少身材高的父亲的儿子成年后身高比其父亲矮，不少身材矮的父亲的儿子成年后身高比其父亲高。GaltonF(英,1822～1911)将这种现象称之为子一代身高向人群平均身高的“回归”。9Regression释义10FrancisGaltonFrancisGalton爵士(英,1822～1911)是达尔文(CharlesDarwin)的表弟。他对统计学的主要贡献是提出“相关”与“回归”的概念，用统计方法对进化论中的变异进行研究，开创了生物统计学。11KarlPearsonKarlPearson(英,1857～1936)是FrancisGalton的得意门生，他开创了统计方法学。他对统计学的主要贡献：变异数据的处理、分布曲线的选配、卡方检验的提出、回归与相关的发展。12天文学上的“回归”地球绕太阳公转，在公转的同时本身还自转，在本身自转的同时地球的假设轴心还来回摆动。由于地球轴心的来回摆动，太阳光垂直照射到地球上就有南、北两个极限位置(南、北纬23027’)，分别称南、北回归线，太阳光对赤道“回归”垂直照射到南、北回归线的时间分别为我国农历的冬至与夏至。

13日常生活中的“回归”现象

1岁姜二狗，7岁姜二狗同学，20岁小姜同志，30岁姜科长，40岁姜处长，50岁姜局长，60岁姜老，70岁老姜，80岁姜二狗。

目前“回归”已成为表示变量之间数量依存关系的统计术语，并且衍生出“回归方程”、“回归系数”等统计学概念。14例某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量(mmol/24h),试估计尿肌酐含量(Y)对其年龄(X)的回归方程。15年龄（岁）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)hat16各散点呈直线趋势但并非均在一条直线上根据原始数据拟合的直线方程与数理上二元一次函数方程在内涵上有区别，称为直线回归方程。17二、直线回归方程的求法最小二乘法在所有直线中最小18年龄（岁）X尿肌酐含量Y(mmol/24h)(8,2.8)(12,3.3)19b的意义斜率(slope)

年龄每增加1岁,尿肌酐含量平均增加0.1392(mmol/24h)b的单位为(Y的单位/X的单位)20a截距(intercept,constant)X=0时，Y的估计值a的单位与Y值相同当X可能取0时，a才有实际意义。a的意义21回归直线的有关性质直线通过均点各点到该回归线纵向距离平方和较到其它任何直线者为小。

为来自的一个样本对于X各个取值，相应Y的总体均数22XY23三、直线回归方程中的统计推断（一）回归方程的假设检验1.方差分析（1）建立检验假设并确定检验水准

H0:β=0H1:β≠0α=0.05的分解重点24因变量Y总变异的分解X

Y

Y25SS总=SS回+SS残26未引进回归时的总变异：

(sumofsquaresofdeviationfrommean)引进回归以后的剩余变异:

(sumofsquaresofresiduals)回归的贡献，回归平方和：

(sumofsquaresduetoregression)Y的总变异分解27

(3)计算检验统计量F值SS总=lYY=1.0462

SS回=blXY=l2XY/lXX=5.8452/42=0.8134SS残=SS总－SS回=1.0462－0.8134=0.2328v总=v回+v剩v总=n－1,v回=1,v残=n－228F0.01(1,6)=13.74292.t检验回归的剩余标准差扣除了X的影响后Y方面的变异;引进回归方程后,Y方面的变异。30（2）计算检验统计量t值（1）建立检验假设并确定检验水准（3）确定P值下结论

31

（二）总体回归系数的可信区间此区间不包括β=0，结论为b有统计学意义。32

（三）利用回归方程进行估计与预测1.总体均数的可信区间:给定X后对应Y的总体均数给定X后对应Y的样本均数332.个体Y值的容许区间

给定X后对应个体Y值波动范围34

XY(体重,kg)(体表面积,103cm2) 11.0 5.283 11.8 5.299 12.0 5.358 12.3 5.292 13.1 5.602 13.7 6.014 14.4 5.830 14.9 6.102 15.2 6.075 16.0 6.411例某地10名三岁儿童体重与体表面积351112131415164.55.05.56.06.57.0可信区间与容许区间示意

(confidenceband&toleranceband)X体重Y体表面积36第二节直线相关LinearCorrelation37生物遗传学上的“相关”在回归分析中，有理由认为父亲身高决定儿子身高，故把父亲身高作为自变量X，儿子身高作为应变量Y。PearsonK(英,1857～1936)在对同一家庭中兄弟与姐妹身高间关系进行分析时，发现两者难以象父亲与儿子身高间关系那样区别自变量X与应变量Y，也不必计算回归方程。GaltonF(英,1822～1911)将这种现象称之为“相关”。38

当一个变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我们称这种现象为共变，或相关。两个变量有共变现象，称为有相关关系。相关关系不一定是因果关系。一、直线相关的概念39相互关系示意图r=0(h)r＝0(f)r＝-1(d)r＝1(b)0<r<1(a)-1<r<0(c)r0(e)r

0(g)零相关正相关负相关完全正相关完全负相关零相关零相关零相关40相关系数的性质两变量间的线性关系密切程度与相关方向用直线相关系数r表示。－1≤r≤1r＞0为正相关r＜0为负相关r＝0为零相关或无相关41二、相关系数的意义与计算

Pearson相关系数标准化后的协方差4243三、相关系数的统计推断（一）相关系数的假设检验尿肌酐含量与年龄之间无直线相关关系44附表2附表1345（二）总体相关系数的可信区间相关系数的抽样分布在≠0时呈偏态分布Z的1-α可信区间：变换后r的1-α可信区间：Z变换后服从正态分布46相关系数的抽样分布

(||=0.8，n=100，1000次抽样)-0.8-0.6-0.4-0.20.00100200300-1.0

00.81.00100200300=-0.8=0.847R.A.Fisher(1921)的z变换

z近似服从均数为，标准差为的正态分布。

48相关系数的z变换值的抽样分布(=-0.8)00.51.01.52.0050100150200-0.8-0.6-0.4-0.20.00100200300-1.0变换前变换后49相关系数的z变换值的抽样分布(=0.8)

01234050100150200

00.81.00100200300变换前变换后50相关系数的可信区间估计1.将r变换为z。2.根据z服从正态分布，估计z的可信区间。3.再将z变换回r。51求得8名健康成人血清总胆固醇与低密度脂蛋白胆固醇含量间的r=0.974，试求总体相关系数ρ的95%可信区间。总体相关系数ρ的95%可信区间：（0.85870.9954）z的95%可信区间：

52四、决定系数0﹤R2﹤1

Y的总变异中回归关系所能解释的百分比年龄可解释尿肌酐含量变异性的77.75%53五、直线回归与直线相关的区别与联系

区别

r没有单位，b有单位；相关表示相互关系，没有依存关系；回归有依存关系；对资料的要求不同：

当X和Y都是随机的，可以进行相关和回归分析；

当Y是随机变量，X是控制变量时，理论上只能作回归而不能作相关分析；54

区别

I型回归：Y是随机变量，X是控制变量；

II型回归：Y与X均是随机变量。同一资料中由X推算Y与由Y推算X的回归方程不同：55

联系均表示线性关系符号相同：共变方向一致假设检验结果相同：tr=tb

可以互相换算：

56六、直线回归与相关应用的注意事项相关：X与Y没有主次，为双向。回归：Y依X变化而变化，为单向。自变量的选择：原因、容易测量、变异小要有实际意义。1.根据分析目的选择变量及统计方法57孩子的身高与小树的高度间显示出显著的相关性58有无异常点，谨慎剔除。2.进行相关、回归分析前要绘制散点图，进行判断59离群值对相关的影响60样本的间杂性对相关性的误导613.用残差图考察数据是否符合模型假设条件Y与X为线形关系误差服从均数为0的正态分布方差相等各观察单位独立回归模型应用前提条件：62e0630000eeee离群值缺乏二次项方差不齐不独立64P值越小越有理由认为变量间直线关系存在，不能说关系越密切。直线回归关系可以内插，不宜外延。当样本含量较大时，统计学检验的作用减弱。r0.05/2,100=0.1954.结果的解释及正确应用65第三节秩相关RankCorrelation一、Spearman秩相关66应用条件：1.不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析；2.总体分布类型未知；3.原始数据用等级表示。67死因类别死因构成(%)WYPLL构成(%)(1)X(2)Y(4)10.030.0520.140.3430.200.9340.430.6950.440.3860.450.7970.471.1980.654.7490.952.31100.965.95112.441.11122.693.53133.073.48147.785.65159.8233.951618.9317.161722.598.421827.969.33合计——WYPLL:workyearsofpotentiallifelost表9-3某省1995年到1999年居民死因构成与WYPLL构成68死因类别