第九讲(边缘分布及随机变量的独立性)

练习七

参考答案一解：所以可能的取值为0，1，4，9,且Y0149P0.250.400.150.10所以Y的分布律为1二解：方法一方法二由于函数在R上为严格单调减函数，从而有反函数2三解：1）当时当时34第九讲边缘分布及随机变量的独立性5二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?这一节里,我们就来探求这个问题.二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数而和都是随机变量,也有各自的分布函数,分别记为变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机一、边缘分布函数一般地，对离散型

r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为X和Y的联合分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律(X,Y)关于

Y的边缘分布律为例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=0}=3/8=3/8P{X=0}=P{X=1}=P{X=2}=P{X=3}=P{Y=1}=P{Y=3}==1/8,P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=3}=3/8,P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=3}=3/8,P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=3}P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=3}=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.对连续型

r.v(X,Y)，X和Y的联合概率密度为则(X,Y)关于

X的边缘概率密度为事实上,三、连续型随机变量的边缘概率密度(X,Y)关于Y的边缘概率密度为例2

设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为联合分布函数为求边缘概率密度与边缘分布函数F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<

1,0

y<x，2x2y2–y4,

0

x<

1,x

y<1，2x2–x4,0

x<

1,y1，y4,x

1,0

y<x，1,x

1,y

x，16解：=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,1,x

1当x<0时当时当时170,y<0y4,0

y<

1,1,y1=v=u10uv118v=u10uv119或202122

那么要问，在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？24两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.四、随机变量的独立性1、两个随机变量的相互独立性定义用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.

它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.因此,二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布.其中是X,Y的联合密度，几乎处处成立，则称X,Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连续型r.v

，则上述独立性的定义等价于：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.分别是X的边缘密度和Y

的边缘密度.若(X,Y)是离散型r.v

，则上述独立性的定义等价于：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即若两个随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互独立，则X-11-110.250.25Y0.250.25P{X=Y}=0.5,故不能说X=Y.注意29证对任何x,y有取相互独立命题30故将代入即得31因为X与Y相互独立,解所以于是例4设两个独立的随机变量X与Y的分布律为Y24PY0.60.4X13PX0.70.3求随机变量(X,Y)的分布律因此（X,Y)的联合分布律为YX240.180.1230.420.28

例5

已知(X,Y)的联合概率密度为(1)(2)讨论X,Y是否独立？34解(1)11显然，故X,Y相互独立35(2)显然，故X,Y不独立1136例63738例7

甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？解:设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,X~U(15,45),Y~U(0,60)39所求为P{|X-Y|5}及P{X<Y}解:设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻以12时为起点，以分为单位，依题意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率40解一：P{|X-Y|5}=P{-5<X-Y<5}=1/6=1/2P{X<Y}41解二：P{X<Y}=1/6=1/2被积函数为常数，直接求面积=P{X>Y}P{|X-Y|5}42随机变量相互独立的概念可以推广到n

维随机变量则称随机变量X

1,X

2,,X

n

相互独立若43判断二维连续型随机变量相互独立的

两个重要结论1、设f(x,y)是二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数，r(x),g(y)为非负可积函数，且则(X,Y)相互独立且44利用此结果，不需计算即可得出(1)中的随机变量X与Y是相互独立的.再如，服从矩形域{(x,y)|a<x<b,c<y<d}上的均匀分布的二维随机变量(X,Y),X,Y是相互独立的.且其边缘分布也是均匀分布45若则X,Y是相互独立的.且其边缘概率密度为46若则X,Y是相互独立的.且其边缘概率密度为47对于分布函数也有类似的结果设F(x,y)是二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数，则(X,Y)相互独立的充要条件为且482、设X,Y为相互独立的随机变量，u(x),v(y)为连续函数,则U=u(X),V=v(