第4章导热数值解法基础

numericalsolution数值解

第四章导热数值解法基础PrinciplesofNumericalMethodsofConduction

主要内容§4-0概述§4-1建立离散方程的方法§4-2稳态导热的数值计算（2D）§4-3非稳态导热的数值计算（1D）核心知识点掌握导热数值解法基础3第四章导热问题的数值解法45FluentPhoenicsParabolicHyperbolicOrEllipticNumericalIntegrationCodeSeries

6§4-0概述一、求解导热问题的三种基本方法（一）理论分析法Theoretical1.基本求解过程在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行求解，得到温度与空间变量和时间变量之间的函数关系式，通过这种关系式，获得物体内任意时刻的温度值，称为分析解，或理论解、精确解；2.主要特点（1）能获得问题的精确解，可为实验、数值计算提供比较依据；（2）局限性很大，对复杂的问题无法求解；（3）分析解具有普遍性，各种因素的影响清晰可见。

7（二）实验法Experimental1.基本求解过程

在传热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程利用相似理论搭建试验台，进行测试计算。主要特点

是传热学的基本研究方法

（1）适应性不好

（2）费用昂贵8（三）数值法Numerical基本求解过程

把原来在时间、空间上连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替。把原来在空间和时间上连续的物理量的场转变为有限个离散的网格单元节点上的物理量的集合，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值，称之为数值解，或离散解。建立控制方程、定解条件确定节点（区域离散化）建立节点离散方程设立t场的迭代初值求解代数方程改进初场是否收敛是否解的分析连续t10

2.主要特点（1）已成为传热学一个分支——

计算传热学（数值传热学）；（2）在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；（3）与实验法相比成本低（如航天飞机）。11有限差分法（FiniteDifferenceModel）有限元法（FiniteElementModel）边界元法（BoundaryElementModel）分子动力学模拟（MolecularDynamics）二、数值计算方法(i,j-1)(i,j)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)网格线：沿x和y方向分别按间距Δx和

Δy，用一系列与坐标轴平行的网格线，把求解区域分割成许多小的矩形网络，称为子区域。节点：网格线的交点（内、边界节点）边界节点：网格线与物体边界的交点步长：相邻两节点的距离，Δx，Δy均匀网格：Δx=Δy微元体：以每一个节点为中心的小区域（元体、控制容积）一、区域、时间的离散化1.描述：二维、稳态、常物性、无qv、矩形域§4-1建立离散方程的方法——二维13xyji(i,j)MN2.步骤1）划定网格线2）确定节点x0+iΔx,y0+jΔy

=(i,j)3）以每个节点为中心划分单元格。节点温度为所在微元体的平均温度。图2导热问题数值求解示例(i-1,j)(i+1,j)(i,j+1)(i,j-1)144）划分单元网格后，物体内温度由原来连续函数成为有限个离散数值，温度曲线成为阶梯状变化。5）列节点代数方程，求解有限个离散温度值Δx=Δy，(i,j)节点:15二、建立离散方程的常用方法（2）热平衡法（重点）将相邻节点间的温度分布视为线性，利用热平衡原理，认为某一节点与周围各节点区域之间的总换热量=0，进而建立离散方程。适用于内节点、边界节点。（1）TaylorSeries（泰勒级数）展开法

应用泰勒级数展开式，把导热微分方程中的各阶导数（微分）用相应的差分表达式来代替，进而建立离散方程。适用于内节点。161.TaylorSeries（泰勒级数）展开法1）根据泰勒级数(1715)展开式，用节点(i,j）的温度ti,j表示节点(i+1,j)的温度ti+1,j，展开式为2）移项整理并归并可得（一阶截差公式）截断误差:未明确写出的级数余项中的Δx的最低阶数为1一阶导数向前差分表达式173）同理，用节点(i,j)的温度ti,j

表示节点(i-1,j)的温度ti-1,j式(1)-式(2)：4）移项整理并归并可得（一阶截差公式）一阶导数中心差分表达式一阶导数向后差分表达式二阶截差公式185）式(1)+式(2)，移项整理，可得，二阶导数的中心差分：截断误差：未明确写出的级数余项中的Δx的最低阶数为26）同样可得：举例：二维、稳态、常物性、无qv

导热问题A:首先，写出通用微分表达式：化简20小结——一阶导数的各种差分形式1.向前差分（以x向为例）2.向后差分3.中心差分1.向前差分2.向后差分3.中心差分t对坐标t对τ2.热平衡法xyjiMNLPTRB仍以二维、稳态、常物性、无qv导热问题为例由傅里叶定律：由能量守恒定律：22小结——物理问题的数值求解过程建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程≤ε解的分析改进初场是否相对误差10-6~10-323

仍以二维、稳态、常物性、无qv导热问题为例。1）在直角坐标中，其导热微分方程为：代入上式，得节点方程为：1.内节点离散方程的建立2）将二阶差分式§4-2稳态导热的数值计算——2D243）若Δx=Δy，化简得：重要说明：所求节点温度前的系数≡∑所有相邻节点温度前的系数。但不包括热流(或热流密度)前的系数。

这一结论也适用于边界节点。P89表4-1(内部节点的导出在本书中简单，在<传热学>数值计算中内部节点的导出、具体方程还有许多)与左邻右舍关系如何??25

第一类边界条件：处理比较简单，因为已知边界温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。第二类边界条件或第三类边界条件：必须用热平衡法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。

为求解方便，将第二类、第三类边界条件合并考虑，用qw表示边界上的热流密度值或热流密度表达式。用qv表示内热源强度。2.边界节点离散方程的建立26qwxyqw(1)平直边界上的节点P89

序号227(2)外部角点序号3xyqw课后作业：将qw=h(tf

-ti,j)带入外部角点的温度离散方程，化简28(3)内部角点29qw的情况：（1）第二类边界条件：将qw=Const，带入上面各式即可

绝热或对称边界条件？（2）第三类边界条件：将qw=h(tf-ti,j)，带入上面各式即可

（3）辐射边界条件：或其他30设有一矩形平板，如图示。a=2b。在边界x=0和y=0是绝热的，在x=a处给出第三类边界条件，即给定h和tf。而y=b处，是第一类边界条件，即温度为已知，t=c11，c12，···C15

。试写出各节点的离散方程。例1解：采用均匀网格Δy

=Δx=b/2，给各未知节点编号t1，t2，···t10。

按节点所在位置和题目所示边界条件，写出各节点的离散方程。3132×=系数矩阵变量矩阵常数矩阵332.节点方程组的求解前已写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度t1、t2、t3….tn，n个代数方程式：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法34直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解;

矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中不断更新）迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi雅克比迭代）、

高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等35解：二维稳态导热问题。对内部节点，应用P89表4-1序号1的公式一各向同性材料的方形物体，其λ为常量。已知各边界的温度如图所示，且Δx=Δy。试用高斯-赛德尔迭代求其内部网格节点1,2,3,4的温度。例21234t=240℃t=60℃t=60℃t=60℃36开始，假设t1(0)=

t2(0)=120℃;t3(0)

=t4(0)

=80℃。带入上式进行迭代，第1~5次迭代值汇总如下：例21234t=240℃t=60℃t=60℃t=60℃迭代次数t1/℃t2/℃t3/℃t4/℃012012080801125126.2581.2581.8752126.875127.1982.1982.3453127.345127.4282.4282.464127.46127.4882.4882.495127.49127.49582.49582.5037§4-3非稳态导热的数值计算---1D一、显式差分格式2.物体温度沿x方向变化，物体在x方向被分割为n段，所取步长Δx

，其中第i个节点坐标为iΔx

，简记为i。3.物体中温度随时间变化，所取时间间隔步长Δτ，其中第k个节点坐标为kΔτ，简记为k。

表示物体中kΔτ时刻，iΔx位置处温度：1.导热微分方程式一维、非稳态、常物性、无qv384.

内节点（i,k）温度对x的二阶导数，采用中心差分表达式应为：5.

温度对时间的一阶导数，取向前差分：6.

将4与5带入1的非稳态导热方程7.

内节点在计算时刻节点温度的差分方程代入上式得：网格Fo数39由初始时刻(τ=0)的温度算出Δτ时刻的温度由Δτ的温度,算出2Δτ时刻的温度依次进行，就可算出各时刻的温度—显式差分格式

对应隐式差分格式P97

公式（4-15）……………………..由k时刻的温度,算出k+1时刻的温度8.分析409.稳定性判据——为保证数值计算的稳定性，必须有: