初中数学浙教版八年级下册第4章平行四边形4．1多边形“黄冈赛”一等奖

第4章平行四边形4．1多边形(一)1．已知四边形各内角的度数的比为1∶2∶3∶4，则各内角的度数分别为36°，72°，108°，144°．2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝95°，∠D＝100°，外角∠ABE＝70°，则∠ABC＝__110°__，∠C＝__55°__．(第2题)(第3题)3．用四块形状一样的小四边形木板可以拼成一块面积较大的木板(如图所示)，这利用了四边形的什么性质？答：四边形的内角和为360°．4．若一个多边形共有14条对角线，则它是七边形．5．(1)在四边形ABCD中，若∠A的两条边与∠C的两条边互相垂直，且∠A－∠C＝60°，则∠A＝__120°__，∠B＝__90°__，∠C＝__60°__，∠D＝__90°__．(2)在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°；在△PQM中，∠P＝90°，∠Q＝37°，∠M＝53°，且BC＝QM.现将它们拼成一个四边形，则这个四边形内角的最大值为117°或133°．(第6题)6．如图，在四边形ABCD中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2等于(B)A．150°B．230°C．250°D．270°7．已知在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶4∶1∶5，求四边形ABCD的四个内角的度数．【解】设∠C＝x，则∠A＝2x，∠B＝4x，∠D＝5x.∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∴2x＋4x＋x＋5x＝360°，解得x＝30°.∴∠A＝2x＝60°，∠B＝4x＝120°，∠C＝x＝30°，∠D＝5x＝150°.8．若一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【解】设这个多边形的边数为n，则eq\f(n（n－3）,2)＝n，解得n1＝5，n2＝0(舍去)．∴这个多边形的边数为5.(第9题)9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠ADC.(1)求证：AB∥CD.(2)若∠ADC－∠A＝60°，过点D作DE∥BC交AB于点E.请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由.【解】(1)∵∠A＝∠B，∠C＝∠ADC，∴∠B＋∠C＝eq\f(1,2)(∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC)＝180°，∴AB∥CD.(2)△ADE是等边三角形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠ADC＋∠A＝180°.又∵∠ADC－∠A＝60°，∴∠A＝60°.∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B＝∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形．(第10题)10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠C＝45°，BC＝4，AD＝2，求四边形ABCD的面积．【解】延长BA，CD交于点E.∵∠B＝90°，∠C＝45°，∴∠E＝∠C＝45°，∴BE＝BC＝4.∵∠ADC＝90°，∴∠DAE＝∠ADC－∠E＝45°＝∠E，∴DE＝AD＝2，∴S四边形ABCD＝S△EBC－S△EAD＝eq\f(1,2)×4×4－eq\f(1,2)×2×2＝8－2＝6.(第11题)11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BD，则∠BCD等于(D)A.100°B.120°C.135°D.150°【解】∵AB＝AC＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，∴∠BAD＝60°.∵∠BAD＋∠ADC＋∠BCD＋∠ABC＝360°，∴∠ADC＋∠BCD＋∠ABC＝300°，∴2∠BCD＝300°，∴∠BCD＝150°.12．如图，在四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长分别为2，2，2eq\r(3)，2，且AB⊥BC，求∠BAD的度数和四边形ABCD的面积．(第12题)【解】连结AC.∵AB＝BC＝2，∠B＝90°，∴AC＝2eq\r(2)，∠BAC＝45°.又∵AD＝2，CD＝2eq\r(3)，∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠DAC＝90°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝45°＋90°＝135°，S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2＝2＋2eq\r(2).13．(1)如图①，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.(第13题)(2)如图②，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度数．【解】(1)在四边形BCDM中，∠C＋∠B＋∠D＋∠BMD＝360°，在四边形MEFN中，∠MNF＋∠EMN＋∠E＋∠F＝360°.∵∠MNF＝∠A＋∠G，∠BMD＋∠EMN＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝360°＋360°－180°＝540°.(2)∵∠7＝∠1＋∠5，∠8＝∠4＋∠6，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝∠2＋∠3＋∠7＋∠8＝360°.14．在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的数量关系．(1)如图①，∠A与∠B的数量关系是相等；如图②，∠A与∠B的数量关系是互补；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：在同一平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的数量关系是相等或互补．(2)请选择图①或图②的其中一种进行证明．(第14题)【解】(2)以选图②为例：∵四边形的内角和等于360°，∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠A＋∠B＝360°－90°－90°＝180°，∴∠A与∠B的数量关系是互补．15．我们把能平分四边形面积的直线称为好线，利用下面的方法，可以得到四边形的好线：如图①，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于点E，连结AE，则直线AE即为一条好线．(1)试说明直线AE是好线的理由．(2)如图②，AE为一条好线，F为AD上一点，请作出经过点F的好线，并对画图过程作适当的说明(不需要说明理由)．(第15题)【解】(1)∵OE∥AC，∴S△AOE＝S△COE(同底等高)，