初中数学北师大版七年级下册第五章生活中的轴对称5．2探索轴对称的性质(i)

1.理解轴对称的性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.2.能够综合运用常见的几类轴对称图形的性质解决一些简单的实际问题.1.经历探索轴对称性质的过程,积累数学活动经验,发展空间观念.2.通过观察、分析、探索轴对称的性质,体会数形结合的数学思想的应用.1.通过本节课的学习,帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系,体验到数学在解决实际问题中的作用,培养学生实事求是的态度及合作交流的能力.2.通过环环相扣的、层层深入的问题设置,鼓励学生积极参与,培养学生自主、合作、探究的能力,培养学生学习数学的兴趣.【重点】探索轴对称的性质.【难点】运用轴对称的性质作图及利用轴对称的性质解决一些实际问题.【教师准备】多媒体课件、三角板、直尺、圆规等.【学生准备】量角器、刻度尺、网格纸、操作纸、圆规等.导入一:【活动内容】复习轴对称图形和轴对称的定义、区别和联系.观察下面几组图片和图形,它们有什么特点?轴对称图形:.

成轴对称:.

探究活动1扎字实验思路一方法:(教师边叙述边引导学生操作,让一名学生利用实物投影展示操作过程.要点提示:①折痕要压实;②扎字时要注意利用格点和网格线)对折扎字,如图所示:打开铺平,如图所示:【问题】完成操作过程的同学,请将方格纸打开后铺平,标上相应的字母,然后根据你的操作心得在小组内讨论交流导学案活动一中的问题:(多媒体出示)(1)图中折痕两旁的“14”有什么关系?(2)在扎字的过程中,点E与点E'重合,点F与点F'重合.设折痕所在直线为l,连接点E与点E'的线段EE'与直线l有什么关系?连接点F与点F'的线段呢?(3)线段AB与线段A'B'有什么关系?线段CD与线段C'D'呢?(4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你的理由.[处理方式]学生讨论交流,教师巡视,了解各小组的讨论情况,适时点拨引导.完成后让各小组派代表展示结果;在学生叙述的同时教师借助多媒体播放Flash动画,进行演示,帮助学生理解.分组展示:1.折痕两旁的“14”关于直线l对称.2.都能被直线l垂直平分.3.线段AB=线段A'B',线段CD=线段C'D'.4.∠1=∠2,∠3=∠4.注:教师可让学生根据折叠过程中某些元素的重合说明理由.学生在回答问题(2)时,可能只会想到直线l垂直线段而想不到平分.此时教师可作如下引导:引导1:设线段EE'与直线l的交点为O,则线段OE与线段OE'有什么关系?你是如何发现的?引导2:由以上我们可以看出线段EE'与直线l的关系可描述为什么?学生在回答问题(3)时,可能会想到线段AB与线段A'B'的位置关系,即AB∥A'B'.此时教师可作如下引导:引导1:成轴对称的两个图形对应的线段一定平行吗?观察线段DC与线段D'C',你有什么发现?引导2:线段AB与线段A'B'的关系和线段DC与线段D'C'的关系有什么共同点?[设计意图]本环节从网络数字语言入手,进一步提高学生学习数学的兴趣.一方面,在不知不觉中达到了情感教育的目的;另一方面,把枯燥的数字赋予新的内涵,让学生感受数学的魅力.同时让学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自获取的数学知识,而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,使学生们对轴对称的基本性质认识得更为深刻.同时培养学生的动手能力、数学表达能力、团队合作意识.思路二【活动内容1】各小组派代表展示自己课前所做的“14”,再结合幻灯片引导学生完成以下几个问题:1.图中两个“14”有什么关系?2.如果连接CC',FF',分别与直线l交于点G,H,那么所构造的线段与直线l有什么关系?(提示:用测量的方法)3.线段AB与A'B',CD与C'D'有什么关系?4.∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?[处理方式]学生动手连接两点,不会的同学主动向小组的其他成员求助,谁掌握谁就是老师,激发学生学习兴趣,满足学生的好强心理.问题2要求学生用测量的方法,学生回答此问题时要追问直线l和FF'是什么样的位置关系,线段FH和HF'有什么样的等量关系.小组内互补,小组间互相竞争,学生通过连接讨论发现轴对称的基本性质,使学生们对轴对称的基本性质认识得更为深刻.[设计意图]本活动学生能够初步探索得到本节课的核心内容——轴对称的基本性质:对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等.至少让学生对本节课所要学习的内容有大致的了解.【活动内容2】沿对称轴对折后,点A与A'重合,我们称A关于对称轴的对应点是点A'.同理线段AB关于对称轴的对应线段就是线段A'B',∠1关于对称轴的对应角是∠2.通过以上的练习,在轴对称图形中,对应点所连的线段与对称轴有什么关系?对应线段有什么关系?对应角有什么关系?在两个成轴对称图形中呢?小组内讨论完成以上几个问题,并尝试说明你是怎么样得到结果的.学生回答后教师总结板书结论.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.[处理方式]小组讨论,多请不同小组的同学,不同层次的学生回答,了解他们的掌握情况,及时掌握学情.提问时小组长尽量让后进生回答,老师鼓励后进生回答,并及时给予肯定的评价,激发学习动力.最后教师指明本节课的知识点,明确所要学习的重点知识.[设计意图]学生初步了解的轴对称的性质不能完全说明白,学习较好同学的猜测基本是准确的,让他们成为基础薄弱学生的老师,首先让薄弱同学了解记住知识,让学生尝试去大胆猜想,鼓励学生积极发言,让更多的学生参与其中.学生在回答问题时,及时评价,明确知识点.探究活动2轴对称图形的性质上面我们研究了成轴对称的两个图形的特点.对于轴对称图形来说,还具有这些特点吗?现在老师给你一个轴对称图形(多媒体出示),你能利用手中操作图来进一步探索轴对称图形的性质吗?先做一做,再在小组内讨论交流相关问题.(多媒体出示)上图是一个轴对称图形,观察图回答下列问题:(1)找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分.(2)连接点A与点A'的线段与对称轴有什么关系?连接点B与点B'的线段呢?(3)线段AD与线段A'D'有什么关系?线段BC与B'C'呢?为什么?(4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你的理由.[处理方式]学生利用课前准备的操作纸,边操作边完成上面的4个问题.教师巡视观察学生的做题情况,及时点拨引导学困生.完成后,让学生借助学具在小组内讨论交流,互相交流,然后小组代表进行展示;在学生叙述的同时教师借助多媒体播放Flash动画,进行演示,帮助学生理解.分组展示:(1)图中的虚线就是它的对称轴.因为沿虚线对折后虚线两边的部分能够重合.(2)都被对称轴垂直平分.(3)分别相等.(4)∠1=∠2,∠3=∠4.注:关于每个结论产生的理由,学生可以根据折叠过程中某些元素的重合说明理由.教师适时做出评价.【问题】结合以上操作过程和对应元素的概念.我们发现,在轴对称图形中,对应点所连的线段与对称轴有什么关系?对应线段有什么关系?对应角有什么关系?在两个成轴对称的图形中呢?[处理方式]学生在小组内交流讨论,最后形成结论进行展示.(多媒体出示)总结:在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.(师板书轴对称的性质)[设计意图]让学生类比活动1,通过自主探究,使问题不断深化,促使学生不断思考,点燃了学生探究的热情,让学生在感受轴对称图形的性质,在解决问题的过程中增加自信.探究活动3轴对称性质的应用[过渡语]你能利用前面总结的轴对称图形性质解决以下问题吗?(1)在下列图形中,找出轴对称图形,并找出它的两组对应点.(2)给你一个点A,你能找到并画出点A关于直线l的对应点A'吗?你是如何做的?与同伴交流.(学生自主展示,教师以提问的方式强化作法,并规范作图)学生画法展示:如图所示,①过A点画AO⊥l于O点;②延长AO到点A'使OA'=AO.所以点A'就是所求的点A关于直线l的对应点.(3)同学们能够画出一个点的对称点,那么如果老师给的是一条线段呢?如图(多媒体出示),画出线段AB关于直线l成轴对称的线段A'B'.(此题在处理时引导学生明确确定线段的两个关键点的对应点即可以确定已知线段关于直线l成轴对称的线段)学生作图过程展示:(4)以上我们分别画出了一个点、一条线段的对称点、对称线段.复杂的图形都是由这些基本的图形组成的,如图,是一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴,你能画出这个图案的另一半吗?(此题在处理时引导学生明确:①选择关键点的个数;②对称轴上的点的对应点是它本身)学生作图过程展示:应用延伸:如图,某同学打台球时想绕过黑球,通过击主球,使主球撞击桌边MN后反弹回来击中彩球.请在图中标明,主球撞在MN上哪一点才能达到目的(以主球、彩球的球心A,B来代表两球)?[设计意图]利用轴对称的性质作图是本课的难点.为帮助学生突破这一难点,在设计上从点到线,再到复杂图形.遵循了由简单到复杂的过程,便于学生理解.解题时通过引导学生,利用所学过的知识来寻找解决问题的途径,锻炼学生画图的能力.[知识拓展](1)关于某直线成轴对称的两个图形一定是全等图形,而全等图形不一定成轴对称;(2)对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线;(3)对应点的连线互相平行(有时在一条直线上);(4)若两点所连线段被某直线垂直平分,则此直线为这两点的对称轴;(5)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或其延长线相交,那么交点一定在对称轴上.1.轴对称图形的性质:(1)对应点所连线段被对称轴垂直平分.(2)对应线段相等.(3)对应角相等.2.图形的折叠:折痕所在直线就是这个轴对称图形的对称轴.1.已知互不平行的两条线段AB,CD关于直线l对称,AB,CD所在直线交于点P,下列结论中:①AB=CD;②点P在直线l上;③若A,C是对称点,则l垂直平分线段AC;④若B,D是对称点,则PB=PD.其中正确的结论有

()个

个个

个解析:根据轴对称的性质,4个结论都正确.故选D.2.若直角三角形是轴对称图形,这个三角形三个内角的度数为.

答案:45°,45°,90°3.如图所示的是轴对称图形,根据轴对称图形的性质,你可以得到相等的线段是,相等的角是.

答案:AB=CD,BE=CE∠ABE=∠DCE4.如图所示,两个三角形关于直线l成轴对称,根据图中的数据,你认为∠α的度数应是.

答案:20°5.如图所示,矩形纸片ABCD中,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,∠AEB=30°,那么∠EFB=.

答案:75°

2探索轴对称的性质探究活动1扎字实验探究活动2轴对称图形的性质探究活动3轴对称性质的应用一、教材作业【必做题】教材第120页习题知识技能第1,2题.【选做题】教材第120页习题问题解决第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.用扎纸的方法得到如图所示的轴对称图案.(1)在对称轴的右边的图中,分别标出A,B,C,D,E,F的对称点A',B',C',D',E',F'.(2)若AF=cm,BC=2cm,则A'F'=cm,B'C'=cm;

(3)若∠EDC=90°,则它的对应角的度数是;

(4)成轴对称的两个图形的对应线段,对应角,线段DD'与直线l的位置关系是.

2.如图所示,在方格纸上请你以树干为对称轴画出树的另一半.3.(2023·安徽中考)如图所示,在边长为1个单位长度的小正方形网格中,给出了△ABC(顶点是网格线的交点).请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.【能力提升】4.如图所示,将一个长方形的纸片沿着EF折叠后,ED'和BC的交点为G,点D,C分别落在D',C'的位置上,若∠EFG=55°,则∠1=,∠2=.

5.下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题,请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线空白处填上恰当的图形.【拓展探究】6.在一次晚会上,主持人出了一道题目:“如何把变成一个真正的等式?”很长时间没有人答出,小兰仅仅拿出了一面镜子,就很快解决了这道题目,你知道她是怎样做的吗?【答案与解析】1.解:(1)如图所示.(2)2(3)∠E'D'C'90°(4)相等相等垂直2.解:如图所示.3.解:如图所示.°110°(解析:由题意可知四边形CDEF与四边形C'D'EF关于EF对称,于是有∠DEF=∠D'EF,又因为AD∥BC,所以∠DEF=∠D'EF=∠EFG=55°,所以∠1=180°-55°-55°=70°,∠2=180°-70°=110°.)5.(解析:是阿拉伯数字1,2,3,4,5,6的轴对称,答案应为数字6的轴对称图形.)6.解:用镜子照一下,可以得到关于镜面成轴对称的图形,如图所示,算式得以成立.

积极发挥评价在教学中的激励作用,对学生的表现,及时进行评价和激励,对于有一定难度的题目,鼓励学生积极思考,充分利用小组的智慧,群策群力完成对知识的学习和掌握.学生作图较慢,耽搁时间,在画图时,找关键点的对称点,学生掌握还不够,还没有形成基本能力,练习题注意向有利于学生学习和节省