第8章弯曲变形

第8章弯曲变形§8.1

梁的挠度和转角§8.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§8.3叠加法求梁的位移§8.4梁的刚度条件及提高梁刚度的措施

8.1.1工程中的弯曲变形问题（观看动画1.2

）§8.1

梁的挠度和转角

但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要.

例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用.§8.1

梁的挠度和转角（1）挠度

横截面形心C（即轴线上的点）在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.§8.1

梁的挠度和转角

8.1.2弯曲变形——挠度和转角（2）转角

横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用表示。§8.1

梁的挠度和转角（3）挠曲线

梁变形后的轴线称为挠曲线..式中,x

为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w

为该点的挠度

挠曲线方程为§8.1

梁的挠度和转角（4）挠度与转角的关系§8.1

梁的挠度和转角（5）挠度和转角符号的规定

挠度向下为正,向上为负.

转角自x转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.§8.1

梁的挠度和转角8.2.1梁的挠曲线近似微分方程推导公式1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系

横力弯曲时,M

和都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,则§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分2.由数学得到平面曲线的曲率§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w"

，正弯矩对应于负值的w"，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程

此式称为

梁的挠曲线近似微分方程

近似原因:（1）略去了剪力的影响;

（2）略去了

项;

（3）§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分8.2.2用积分法求挠度和转角

§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分（1）挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件确定积分常数。§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分

当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有

以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分

边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分

若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件。这两类条件统称为边界条件。§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分

例:试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得于是得该梁的边界条件为：在x=0

处

，w=0§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分从而有转角方程挠曲线方程

根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分

由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数是有其几何意义的：此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0，因而也有C1=0，C2=0。§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有事实上，当以x为自变量时§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分思考:

试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分

例:试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得：§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分该梁的边界条件为在x=0处w=0，在x=l处w=0于是有即从而有转角方程挠曲线方程

根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相等，且均为最大值，故最大挠度在跨中，其值为§8.2

梁的挠曲线微分方程及其积分叠加原理

§8.3

叠加法求梁的位移

当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理。

(1)载荷叠加

多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.

(2)结构形式叠加（逐段刚化法）§8.3

叠加法求梁的位移

悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角。§8.3

叠加法求梁的位移§8.3

叠加法求梁的位移

例:试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度wC和两支座截面的转角qA及qB。(a)

解：此梁wC及qA，qB实际上可不按叠加原理而直接利用本教材附录Ⅳ表中序号13情况下的公式得出。这里是作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直接利用的现成公式来讲述的。§8.3

叠加法求梁的位移

作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。(b)(a)§8.3

叠加法求梁的位移

在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录Ⅳ表中序号8的公式有C注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁AC和右半跨梁CB分别视为受集度为q/2的均布荷载作用而跨长为l/2的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号8情况下的公式有

在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有C§8.3

叠加法求梁的位移§8.3

叠加法求梁的位移按叠加原理得最大位移控制指定截面的位移控制例如滑动轴承处:8.4.1梁的刚度计算§8.4

梁的刚度条件及提高梁刚度的措施[例]下图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=80mm,杆的E=210GPa,工程规定C点的[w/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试核此杆的刚度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB§8.4

梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§8.4

梁的刚度条件及提高梁刚度的措施8.4.2提高梁刚度的措施减小梁的长度增加约束

跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如

l缩短

20％，dmax

将减少

48.8%（增加约束，制作成静不定梁）